Периодическая последовательность - Periodic sequence

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Периодическая последовательность»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июль 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а периодическая последовательность (иногда называемый цикл) это последовательность для чего то же термины повторяются снова и снова:

а₁, а₂, ..., а_п,  а₁, а₂, ..., а_п,  а₁, а₂, ..., а_п, ...

Номер п повторных сроков называется период (период ).

Определение

Периодическая последовательность - это последовательность а₁, а₂, а₃, ... сытно

а_п+п = а_п

для всех значений п. Если последовательность рассматривается как функция чей домен является набором натуральные числа, то периодическая последовательность - это просто особый тип периодическая функция.

Примеры

Последовательность цифр в десятичный расширение 1/7 периодично с периодом 6:

${ displaystyle { frac {1} {7}} = 0,142857 , 142857 , 142857 , ldots}$

В более общем смысле, последовательность цифр в десятичном разложении любого Рациональное число в конечном итоге является периодическим (см. ниже).

Последовательность степеней −1 периодична с периодом два:

${ Displaystyle -1,1, -1,1, -1,1, ldots}$

В более общем смысле, последовательность полномочий любого корень единства периодический. То же верно и для степеней любого элемента конечного порядок в группа.

А периодическая точка для функции ж : Икс → Икс это точка Икс чей орбита

${ Displaystyle х, , е (х), , е (е (х)), , е ^ {3} (х), , е ^ {4} (х), , ldots}$

периодическая последовательность. Здесь, ${ Displaystyle е ^ {п} (х)}$ означает п-складывать сочинение из ж применительно к Икс. Периодические моменты важны в теории динамические системы. Каждая функция из конечный набор себе имеет периодическую точку; обнаружение цикла алгоритмическая проблема нахождения такой точки.

Периодические 0, 1 последовательности

Любую периодическую последовательность можно построить поэлементным сложением, вычитанием, умножением и делением периодических последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Периодические последовательности нулей и единиц могут быть выражены как суммы тригонометрических функций:

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {1} cos (- pi { frac {n (k-1)} {1}}) / 1 = 1,1,1,1,1, 1,1,1,1 ...}$

${ Displaystyle сумма _ {к = 1} ^ {2} соз (2 пи { гидроразрыва {п (к-1)} {2}}) / 2 = 0,1,0,1,0, 1,0,1,0 ...}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {3} cos (2 pi { frac {n (k-1)} {3}}) / 3 = 0,0,1,0,0, 1,0,0,1,0,0,1,0,0,1 ...}$

${ displaystyle ...}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {N} cos (2 pi { frac {n (k-1)} {N}}) / N = 0,0,0 ..., 1 { text {последовательность с периодом}} N}$

Обобщения

Последовательность в конечном итоге периодический если его можно сделать периодическим, отбросив с самого начала некоторое конечное число членов. Например, последовательность цифр в десятичном разложении 1/56 в конечном итоге будет периодической:

1 / 56 = 0 . 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ...

Последовательность асимптотически периодический если его члены приближаются к условиям периодической последовательности. То есть последовательность Икс₁, Икс₂, Икс₃, ... асимптотически периодичен, если существует периодическая последовательность а₁, а₂, а₃, ... для которого

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} x_ {n} -a_ {n} = 0.}$

Например, последовательность

1 / 3,  2 / 3,  1 / 4,  3 / 4,  1 / 5,  4 / 5,  ...

является асимптотически периодическим, так как его члены приближаются к членам периодической последовательности 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....