Серия телескопов - Википедия - Telescoping series

В математика, а телескопическая серия это серии частичные суммы которых в конечном итоге имеют только конечное число членов после отмены.[1][2] Техника отмены, при которой часть каждого термина отменяется частью следующего термина, известна как метод различий.

Например, сериал

(серия взаимные из пронические числа ) упрощается как

Похожая концепция, телескопический продукт,[3][4][5] конечный продукт (или частичный продукт бесконечного продукта), который может быть сокращен метод частных быть в конечном итоге лишь конечным числом факторов.

Например, бесконечное произведение[4]

упрощается как

В целом

Телескопическая серия сил

Телескопирование суммы представляют собой конечные суммы, в которых пары последовательных членов уравновешивают друг друга, оставляя только начальный и последний члены.[6]

Позволять быть последовательностью чисел. Потом,

Если

Телескопирование товары являются конечными произведениями, в которых последовательные члены отменяют знаменатель с числителем, оставляя только начальные и конечные члены.

Позволять быть последовательностью чисел. Потом,

Если

Еще примеры

  • Много тригонометрические функции также допускают представление как разность, что позволяет телескопически отменять между последовательными терминами.
  • Некоторые суммы вида
куда ж и грамм находятся полиномиальные функции чье частное может быть разбито на частичные фракции, не признаем суммирование этим методом. В частности, есть
Проблема в том, что сроки не отменяют.
  • Позволять k быть положительным целым числом. потом
куда ЧАСk это kth номер гармоники. Все термины после 1 / (k - 1) отменить.

Приложение в теории вероятностей

В теория вероятности, а Пуассоновский процесс представляет собой случайный процесс, в простейшем случае которого "возникают" в случайные моменты времени, а время ожидания до следующего события имеет без памяти экспоненциальное распределение, и количество «вхождений» в любой временной интервал, имеющий распределение Пуассона ожидаемое значение которого пропорционально длине временного интервала. Позволять Икст быть количеством "появлений" до времени т, и разреши ТИкс время ожидания, пока Иксth "вхождение". Мы ищем функция плотности вероятности из случайная переменная ТИкс. Мы используем функция массы вероятности для распределения Пуассона, которое говорит нам, что

где λ - среднее количество появлений в любом временном интервале длиной 1. Отметим, что событие {Икст ≥ x} совпадает с событием {ТИкст}, и, следовательно, они имеют одинаковую вероятность. Поэтому искомая функция плотности имеет вид

Сумма телескопов, уходя

Другие приложения

Для других приложений см .:

Примечания и ссылки

  1. ^ Том М. Апостол, Исчисление, Том 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, страницы 422–3.
  2. ^ Брайан С. Томсон и Эндрю М. Брукнер, Элементарный действительный анализ, второе издание, CreateSpace, 2008, стр. 85
  3. ^ Чудесное решение ЖЕСТКОЙ тестовой задачи, получено 2020-02-09
  4. ^ а б "Серия телескопов - продукт | Блестящая вики по математике и науке". brilliant.org. Получено 2020-02-09.
  5. ^ «Телескопические суммы, серии и изделия». www.cut-the-knot.org. Получено 2020-02-09.
  6. ^ http://mathworld.wolfram.com/TelescopingSum.html "Телескопическая сумма" Wolfram Mathworld