Вероятностная функция масс - Probability mass function

График функции массы вероятности. Все значения этой функции должны быть неотрицательными и в сумме равняться 1.

В вероятность и статистика, а функция массы вероятности (PMF) - функция, дающая вероятность того, что дискретная случайная величина в точности равно некоторому значению.^[1] Иногда ее также называют дискретной функцией плотности. Функция массы вероятности часто является основным средством определения дискретное распределение вероятностей, и такие функции существуют либо для скаляр или многомерные случайные величины чья домен дискретно.

Вероятностная функция масс отличается от функция плотности вероятности (PDF) в том смысле, что последний связан с непрерывными, а не дискретными случайными величинами. PDF-файл должен быть интегрированный через интервал, чтобы получить вероятность.^[2]

Значение случайной величины, имеющей наибольшую вероятностную массу, называется Режим.

Формальное определение

Функция массы вероятности представляет собой распределение вероятностей дискретной случайной величины и предоставляет возможные значения и связанные с ними вероятности. Это функция ${ displaystyle p: mathbb { mathbb {R}}}$ ${ Displaystyle rightarrow [0,1]}$ определяется

${ Displaystyle p_ {X} (x_ {i}) = P (X = x_ {i})}$

для ${ Displaystyle - infty <х < infty}$ ,^[2] где ${ displaystyle P}$ это вероятностная мера. ${ displaystyle p_ {X} (x)}$ также можно упростить как ${ displaystyle p (x)}$ .^[3]

Вероятности, связанные с каждым возможным значением, должны быть положительными и в сумме равняться 1. Для всех остальных значений вероятности должны быть равны 0.

{ Displaystyle сумма p_ {X} (x_ {i}) = 1}

{ displaystyle p (x_ {i})> 0}

{ displaystyle p (x) = 0}

для всех остальных x

Представление о вероятности как о массе помогает избежать ошибок, поскольку сохраняется физическая масса, как и общая вероятность всех гипотетических результатов. ${ displaystyle x}$ .

Теоретическая формулировка меры

Вероятностная функция масс дискретной случайной величины ${ displaystyle X}$ можно рассматривать как частный случай двух более общих теоретико-мерных конструкций: распространение из ${ displaystyle X}$ и функция плотности вероятности из ${ displaystyle X}$ с уважением к счетная мера. Ниже мы уточним это.

Предположим, что ${ displaystyle (А, { mathcal {A}}, P)}$ это вероятностное пространство и это ${ displaystyle (B, { mathcal {B}})}$ измеримое пространство, лежащее в основе σ-алгебра является дискретным, поэтому, в частности, содержит одноэлементные наборы ${ displaystyle B}$ . В этом случае случайная величина ${ displaystyle X двоеточие от A до B}$ дискретно, если его изображение счетно. предварительная мера ${ displaystyle X _ {*} (P)}$ - называется распределением ${ displaystyle X}$ в данном контексте - это вероятностная мера на ${ displaystyle B}$ чье ограничение на одноэлементные множества индуцирует функцию массы вероятности ${ displaystyle f_ {X} двоеточие B to mathbb {R}}$ поскольку ${ displaystyle f_ {X} (b) = P (X ^ {- 1} (b)) = [X _ {*} (P)] ( {b })}$ для каждого ${ displaystyle b in B}$ .

Теперь предположим, что ${ displaystyle (B, { mathcal {B}}, mu)}$ это измерить пространство снабженный счетной мерой μ. Функция плотности вероятности ${ displaystyle f}$ из ${ displaystyle X}$ относительно счетной меры, если она существует, является Производная Радона – Никодима опережающей меры ${ displaystyle X}$ (относительно счетной меры), поэтому ${ displaystyle f = dX _ {*} P / d mu}$ и ${ displaystyle f}$ это функция от ${ displaystyle B}$ к неотрицательным реалам. Как следствие, для любого ${ displaystyle b in B}$ у нас есть

{ Displaystyle P (X = Ь) = P (X ^ {- 1} ( {b })): = int _ {X ^ {- 1} ( {b })} dP =}

{ displaystyle int _ { {b }} fd mu = f (b),}

демонстрируя это ${ displaystyle f}$ на самом деле функция массы вероятности.

Когда есть естественный порядок среди потенциальных результатов ${ displaystyle x}$ , может быть удобно присвоить им числовые значения (или п-наборы в случае дискретного многомерная случайная величина ) и учитывать также значения, не входящие в образ из ${ displaystyle X}$ . Это, ${ displaystyle f_ {X}}$ можно определить для всех действительные числа и ${ displaystyle f_ {X} (x) = 0}$ для всех ${ Displaystyle х notin X (S)}$ как показано на рисунке.

Образ ${ displaystyle X}$ имеет счетный подмножество, на котором функция массы вероятности ${ displaystyle f_ {X} (x)}$ является одним. Следовательно, функция массы вероятности равна нулю для всех, кроме счетного числа значений ${ displaystyle x}$ .

Разрыв вероятностных массовых функций связан с тем, что кумулятивная функция распределения дискретной случайной величины также является разрывной. Если ${ displaystyle X}$ дискретная случайная величина, то ${ Displaystyle Р (Х = х) = 1}$ означает, что случайное событие ${ Displaystyle (Х = х)}$ достоверно (верно в 100% случаев); наоборот, ${ Displaystyle P (X = x) = 0}$ означает, что случайное событие ${ Displaystyle (Х = х)}$ всегда невозможно. Это утверждение неверно для непрерывная случайная величина ${ displaystyle X}$ , для которого ${ Displaystyle P (X = x) = 0}$ для любых возможных ${ displaystyle x}$ : фактически, по определению, непрерывная случайная величина может иметь бесконечный набор возможных значений и, следовательно, вероятность того, что он имеет одно конкретное значение Икс равно ${ displaystyle { frac {1} { infty}} = 0}$ . Дискретность представляет собой процесс преобразования непрерывной случайной величины в дискретную.

Примеры

Конечный

Связаны три основных дистрибутива: Распределение Бернулли, то Биномиальное распределение и геометрическое распределение.

Распределение Бернулли, Ber (p), используется для моделирования эксперимента только с двумя возможными исходами. Два результата часто кодируются как 1 и 0.

{ displaystyle p_ {X} (x) = { begin {case} p, & { text {if}} x { text {is 1}} 1-p, & { text {if}} х { текст {0}} end {case}}}

Пример распределения Бернулли - подбрасывание монеты. Предположим, что

{ displaystyle S}

- это пространство выборки всех результатов одного броска справедливой монеты, и

{ displaystyle X}

- случайная величина, определенная на

{ displaystyle S}

присвоение 0 категории "решки" и 1 категории "решка". Поскольку монета честная, функция массы вероятности равна

{ displaystyle p_ {X} (x) = { begin {case} { frac {1} {2}}, & x in {0,1 }, 0, & x notin {0, 1 }. End {case}}}

Биномиальное распределение, Bin (n, p), моделирует количество успехов, когда кто-то набирает n раз с заменой. Каждый розыгрыш или эксперимент независимы, с двумя возможными исходами. Соответствующая функция массы вероятности ${ displaystyle { binom {n} {k}} p ^ {k} (1-p) ^ {n-k}}$ .

Функция масс вероятности a честная смерть. Все числа на умри имеют равные шансы оказаться сверху, когда кубик перестанет катиться.

Примером биномиального распределения является вероятность получить ровно одну 6, если кто-то трижды бросит правильный кубик.

Геометрическое распределение описывает количество попыток, необходимое для достижения одного успеха, обозначается как Geo (p). Его функция массы вероятности ${ displaystyle p_ {X} (k) = (1-p) ^ {k-1} p}$ .

Например, подбрасывание монеты до появления первой головы.

Другие распределения, которые можно смоделировать с помощью функции массы вероятности, - это Категориальное распределение (также известное как обобщенное распределение Бернулли) и полиномиальное распределение.

Если дискретное распределение имеет две или более категорий, одна из которых может иметь место, независимо от того, имеют ли эти категории естественный порядок, когда есть только одно испытание (ничья), это категориальное распределение.
Пример многомерное дискретное распределение, и его вероятностно-массовой функции обеспечивается полиномиальное распределение. Здесь множественные случайные величины - это количество успехов в каждой из категорий после заданного количества испытаний, и каждая ненулевая вероятностная масса дает вероятность определенной комбинации количества успехов в различных категориях.

Бесконечный

Следующее экспоненциально убывающее распределение является примером распределения с бесконечным числом возможных результатов - всеми положительными целыми числами:

{ displaystyle { text {Pr}} (X = i) = { frac {1} {2 ^ {i}}} quad { text {for}} quad i = 1,2,3, точки.}

Несмотря на бесконечное количество возможных исходов, общая вероятностная масса равна 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1, что удовлетворяет требованию единичной полной вероятности для распределения вероятностей.

Многомерный случай

Две или более дискретных случайных величин имеют совместную функцию масс вероятности, которая дает вероятность каждой возможной комбинации реализаций для случайных величин.

использованная литература

^ Стюарт, Уильям Дж. (2011). Вероятность, цепи Маркова, очереди и моделирование: математическая основа моделирования производительности. Издательство Принстонского университета. п. 105. ISBN 978-1-4008-3281-1.
^ ^а ^б Современное введение в вероятность и статистику: понимание, почему и как. Деккинг, Мишель, 1946-. Лондон: Спрингер. 2005 г. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.CS1 maint: другие (ссылка на сайт)
^ Рао, Сингиресу С., 1944- (1996). Инженерная оптимизация: теория и практика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-55034-5. OCLC 62080932.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)

дальнейшее чтение

Johnson, N.L .; Kotz, S .; Кемп, А. (1993). Одномерные дискретные распределения (2-е изд.). Вайли. п.36. ISBN 0-471-54897-9.

[1] Стюарт, Уильям Дж. (2011). Вероятность, цепи Маркова, очереди и моделирование: математическая основа моделирования производительности. Издательство Принстонского университета. п. 105. ISBN 978-1-4008-3281-1.

[:0-2] а ^б Современное введение в вероятность и статистику: понимание, почему и как. Деккинг, Мишель, 1946-. Лондон: Спрингер. 2005 г. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.CS1 maint: другие (ссылка на сайт)

[3] Рао, Сингиресу С., 1944- (1996). Инженерная оптимизация: теория и практика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-55034-5. OCLC 62080932.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)

[1]

[2]

[3]

Теория распределения вероятностей
функция массы вероятности (pmf) функция плотности вероятности (pdf) кумулятивная функция распределения (cdf) квантильная функция
грубый момент центральный момент значить отклонение среднеквадратичное отклонение перекос эксцесс L-момент
момент-производящая функция (мгс) характеристическая функция функция, генерирующая вероятность (пгф) кумулянт комбинант