Интеграл Дирихле - Dirichlet integral

В математика, есть несколько интегралы известный как Интеграл Дирихле, в честь немецкого математика Питер Густав Лежен Дирихле, одним из которых является несобственный интеграл из функция sinc над положительной реальной линией:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} {x}} , dx = { frac { pi} {2}}.}$

Этот интеграл не абсолютно сходящийся, смысл ${ Displaystyle { Biggl |} { гидроразрыва { sin x} {x}} { Biggl |}}$ не интегрируем по Лебегу, поэтому интеграл Дирихле не определен в смысле Интеграция Лебега. Однако он определяется в смысле неправильного Интеграл Римана или обобщенный Риман, или Интеграл Хенстока – Курцвейла.^[1][2] Значение интеграла (в смысле Римана или Хенстока) может быть получено различными способами, включая преобразование Лапласа, двойное интегрирование, дифференцирование под знаком интеграла, контурное интегрирование и ядро ​​Дирихле.

Оценка

Преобразование Лапласа

Позволять ${ displaystyle f (t)}$ быть функцией, определенной всякий раз, когда ${ Displaystyle т geq 0}$. Тогда его Преобразование Лапласа дан кем-то

${ Displaystyle { mathcal {L}} {е (т) } = F (s) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- st} f (t) , dt,}$

если интеграл существует.^[3]

Свойство Преобразование Лапласа полезно для вычисления несобственных интегралов является

${ Displaystyle { mathcal {L}} { Biggl [} { frac {f (t)} {t}} { Biggl]} = int _ {s} ^ { infty} F (u) , du,}$

при условии ${ displaystyle lim _ {t rightarrow 0} { frac {f (t)} {t}}}$ существуют.

Это свойство можно использовать для вычисления интеграла Дирихле следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ { infty} { frac { sin t} {t}} , dt & = lim _ {s rightarrow 0} int _ {0 } ^ { infty} e ^ {- st} { frac { sin t} {t}} , dt = lim _ {s rightarrow 0} { mathcal {L}} { Biggl [} { frac { sin t} {t}} { Biggl]} [6pt] & = lim _ {s rightarrow 0} int _ {s} ^ { infty} { frac {du} { u ^ {2} +1}} = lim _ {s rightarrow 0} arctan u { Biggl |} _ {s} ^ { infty} [6pt] & = lim _ {s rightarrow 0} { Biggl [} { frac { pi} {2}} - arctan (s) { Biggl]} = { frac { pi} {2}}, end {выровнено}}}$

потому что ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin t } = { frac {1} {s ^ {2} +1}}}$ - преобразование Лапласа функции ${ Displaystyle грех т}$. (См. Вывод в разделе «Дифференцирование под знаком интеграла».)

Двойная интеграция

Вычисление интеграла Дирихле с использованием преобразования Лапласа эквивалентно попытке вычислить один и тот же дважды определенный интеграл двумя разными способами, путем обращения порядок интеграции, а именно:

${ displaystyle left (I_ {1} = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- st} sin t , dt , ds right ) = left (I_ {2} = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- st} sin t , ds , dt right) ,}$

${ displaystyle left (I_ {1} = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} {s ^ {2} +1}} , ds = { frac { pi} { 2}} right) = left (I_ {2} = int _ {0} ^ { infty} { frac { sin t} {t}} , dt right), { text {при условии }} s> 0.}$

Дифференцирование под знаком интеграла (трюк Фейнмана)

Сначала перепишем интеграл как функцию дополнительной переменной ${ displaystyle a}$. Позволять

${ displaystyle f (a) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- a omega} { frac { sin omega} { omega}} , d omega.}$

Чтобы вычислить интеграл Дирихле, нам необходимо определить${ displaystyle f (0)}$.

Дифференцировать по ${ displaystyle a}$ и применить Правило Лейбница дифференцирования под знаком интеграла чтобы получить

${ displaystyle { begin {align} { frac {df} {da}} & = { frac {d} {da}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- a omega} { frac { sin omega} { omega}} , d omega = int _ {0} ^ { infty} { frac { partial} { partial a}} e ^ {- a omega} { frac { sin omega} { omega}} , d omega [6pt] & = - int _ {0} ^ { infty} e ^ {- a omega} sin омега , д омега. конец {выровнено}}}$

Теперь, используя формулу Эйлера ${ Displaystyle е ^ {я омега} = соз омега + я грех омега,}$ можно выразить синусоиду через комплексные экспоненциальные функции. Таким образом, мы имеем

${ displaystyle sin ( omega) = { frac {1} {2i}} left (e ^ {i omega} -e ^ {- i omega} right).}$

Следовательно,

${ displaystyle { begin {align} { frac {df} {da}} & = - int _ {0} ^ { infty} e ^ {- a omega} sin omega , d omega = - int _ {0} ^ { infty} e ^ {- a omega} { frac {e ^ {i omega} -e ^ {- i omega}} {2i}} d omega [6pt] & = - { frac {1} {2i}} int _ {0} ^ { infty} left [e ^ {- omega (ai)} - e ^ {- omega (a + i)} right] d omega [6pt] & = - { frac {1} {2i}} left [{ frac {-1} {ai}} e ^ {- omega (ai )} - { frac {-1} {a + i}} e ^ {- omega (a + i)} right] { Biggl |} _ {0} ^ { infty} [6pt] & = - { frac {1} {2i}} left [0- left ({ frac {-1} {ai}} + { frac {1} {a + i}} right) right ] = - { frac {1} {2i}} left ({ frac {1} {ai}} - { frac {1} {a + i}} right) [6pt] & = - { frac {1} {2i}} left ({ frac {a + i- (ai)} {a ^ {2} +1}} right) = - { frac {1} {a ^ { 2} +1}}. End {выравнивается}}}$

Интегрируя по ${ displaystyle a}$ дает

${ displaystyle f (a) = int { frac {-da} {a ^ {2} +1}} = A- arctan a,}$

куда ${ displaystyle A}$ - постоянная интегрирования, которую предстоит определить. С ${ Displaystyle lim _ {а к infty} е (а) = 0,}$ ${ displaystyle A = lim _ {a to infty} arctan (a) = { frac { pi} {2}},}$ используя главное значение. Это означает

${ displaystyle f (a) = { frac { pi} {2}} - arctan {a}.}$

Наконец, для ${ displaystyle a = 0}$, у нас есть ${ displaystyle f (0) = { frac { pi} {2}} - arctan (0) = { frac { pi} {2}}}$, как прежде.

Комплексная интеграция

Тот же результат может быть получен путем сложного интегрирования. Учитывать

${ displaystyle f (z) = { frac {e ^ {iz}} {z}}.}$

Как функция комплексной переменной ${ displaystyle z}$, у него есть простой полюс в начале координат, который предотвращает применение Лемма Джордана, остальные гипотезы которого выполнены.

Затем определите новую функцию^[4]

${ displaystyle g (z) = { frac {e ^ {iz}} {z + i varepsilon}}.}$

Полюс был перемещен от реальной оси, поэтому ${ displaystyle g (z)}$ интегрируется по полукругу радиуса ${ displaystyle R}$ сосредоточен на ${ displaystyle z = 0}$ и замкнута по реальной оси. Затем вы берете предел ${ displaystyle varepsilon rightarrow 0}$.

Комплексный интеграл равен нулю по теореме о вычетах, так как внутри пути интегрирования нет полюсов.

${ displaystyle 0 = int _ { gamma} g (z) , dz = int _ {- R} ^ {R} { frac {e ^ {ix}} {x + i varepsilon}} , dx + int _ {0} ^ { pi} { frac {e ^ {i (Re ^ {i theta} + theta)}} {Re ^ {i theta} + i varepsilon}} iR , d theta.}$

Второй член исчезает при ${ displaystyle R}$ уходит в бесконечность. Что касается первого интеграла, то можно использовать одну версию Теорема Сохоцкого – Племеля. для интегралов по вещественной прямой: для сложный -значная функция ж определенные и непрерывно дифференцируемые на действительной прямой и действительных константах ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ с ${ displaystyle a <0$ можно найти

${ displaystyle lim _ { varepsilon to 0 ^ {+}} int _ {a} ^ {b} { frac {f (x)} {x pm i varepsilon}} , dx = mp i pi f (0) + { mathcal {P}} int _ {a} ^ {b} { frac {f (x)} {x}} , dx,}$

куда ${ Displaystyle { mathcal {P}}}$ обозначает Главное значение Коши. Возвращаясь к приведенному выше исходному расчету, можно написать

${ displaystyle 0 = { mathcal {P}} int { frac {e ^ {ix}} {x}} , dx- pi i.}$

Взяв мнимую часть с обеих сторон и отметив, что функция ${ Displaystyle грех (х) / х}$ чётно, получаем

${ displaystyle int _ {- infty} ^ {+ infty} { frac { sin (x)} {x}} , dx = 2 int _ {0} ^ {+ infty} { гидроразрыв { sin (x)} {x}} , dx.}$

Ну наконец то,

${ displaystyle lim _ { varepsilon to 0} int _ { varepsilon} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} , dx = int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} , dx = { frac { pi} {2}}.}.$

В качестве альтернативы выберите в качестве контура интегрирования для ${ displaystyle f}$ объединение верхних полуплоскостей радиусов ${ displaystyle varepsilon}$ и ${ displaystyle R}$ вместе с двумя соединяющими их отрезками реальной линии. С одной стороны, контурный интеграл равен нулю независимо от ${ displaystyle varepsilon}$ и ${ displaystyle R}$; с другой стороны, как ${ displaystyle varepsilon to 0}$ и ${ displaystyle R to infty}$ мнимая часть интеграла сходится к ${ Displaystyle 2I + Im { big (} ln 0- ln ( pi i) { big)} = 2I- pi}$ (здесь ${ displaystyle ln z}$ - любая ветвь логарифма в верхней полуплоскости), приводящая к ${ displaystyle I = { frac { pi} {2}}}$.

Ядро Дирихле

Позволять

${ displaystyle D_ {n} (x) = 1 + 2 sum _ {k = 1} ^ {n} cos (2kx) = { frac { sin [(2n + 1) x]} { sin (Икс)}}}$

быть Ядро Дирихле.^[5]

Отсюда сразу следует, что${ displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} D_ {n} (x) dx = { frac { pi} {2}}.}$

Определять

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} { frac {1} {x}} - { frac {1} { sin (x)}} & x neq 0 [6pt] 0 & x = 0 end {case}}}$

Четко, ${ displaystyle f}$ непрерывно, когда ${ Displaystyle х neq 0}$, чтобы увидеть его непрерывность в 0, примените Правило Л'Опиталя:

${ displaystyle lim _ {x to 0} { frac { sin (x) -x} {x sin (x)}} = lim _ {x to 0} { frac { cos ( x) -1} { sin (x) + x cos (x)}} = lim _ {x to 0} { frac {- sin (x)} {2 cos (x) -x sin (x)}} = 0.}$

Следовательно, ${ displaystyle f}$ выполняет требования Лемма Римана-Лебега.. Это означает

${ displaystyle lim _ { lambda to infty} int _ {a} ^ {b} f (x) sin ( lambda x) dx = 0 Rightarrow lim _ { lambda to infty } int _ {a} ^ {b} { frac { sin ( lambda x)} {x}} dx = lim _ { lambda to infty} int _ {a} ^ {b} { frac { sin ( lambda x)} { sin (x)}} dx.}$

(Используемая здесь форма леммы Римана-Лебега доказана в цитируемой статье.)

Выберите лимиты ${ displaystyle a = 0}$ и ${ displaystyle b = pi / 2}$. Мы хотели бы сказать что

${ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (t)} {t}} dt = & lim _ { lambda to infty} int _ {0} ^ { lambda { frac { pi} {2}}} { frac { sin (t)} {t}} dt [6pt] = & lim _ { lambda to infty} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac { sin ( lambda x)} {x}} dx [6pt] = & lim _ { lambda to infty} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac { sin ( lambda x)} { sin (x)}} dx [6pt] = & lim _ {n to infty} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac { sin ((2n + 1) x)} { sin (x )}} dx [6pt] = & lim _ {n to infty} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} D_ {n} (x) dx = { гидроразрыв { pi} {2}} end {align}}}$

Однако для этого мы должны обосновать переключение реального предела в ${ displaystyle lambda}$ к интегральному пределу в ${ displaystyle n}$. На самом деле это оправдано, если мы можем показать, что предел действительно существует, что мы и делаем сейчас.

С помощью интеграция по частям, у нас есть:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} { frac { sin (x)} {x}} dx = int _ {a} ^ {b} { frac {d (1- cos ( x))} {x}} dx = left. { frac {1- cos (x)} {x}} right | _ {a} ^ {b} + int _ {a} ^ {b } { frac {1- cos (x)} {x ^ {2}}} dx}$

Теперь, когда ${ displaystyle a to 0}$ и ${ displaystyle b to infty}$ термин слева сходится без проблем. Увидеть список пределов тригонометрических функций. Теперь покажем, что ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1- cos (x)} {x ^ {2}}} dx}$ абсолютно интегрируемо, откуда следует, что предел существует.^[6]

Сначала мы стремимся оценить интеграл вблизи начала координат. Используя разложение косинуса около нуля в ряд Тейлора,

${ displaystyle 1- cos (x) = 1- sum _ {k geq 0} { frac {x ^ {2k}} {2k!}} = - sum _ {k geq 1} { гидроразрыв {x ^ {2k}} {2k!}}.}$

Следовательно,

${ displaystyle left | { frac {1- cos (x)} {x ^ {2}}} right | = left | - sum _ {k geq 0} { frac {x ^ { 2k}} {2 (k + 1)!}} Right | leq sum _ {k geq 0} { frac {| x | ^ {k}} {k!}} = E ^ {| x |}.}$

Разбив интеграл на части, получим

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} left | { frac {1- cos (x)} {x ^ {2}}} right | dx leq int _ {- infty} ^ {- varepsilon} { frac {2} {x ^ {2}}} dx + int _ {- varepsilon} ^ { varepsilon} e ^ {| x |} dx + int _ { varepsilon} ^ { infty} { frac {2} {x ^ {2}}} dx leq K,}$

для некоторой постоянной ${ displaystyle K> 0}$. Это показывает, что интеграл абсолютно интегрируем, что означает, что исходный интеграл существует, и переключение с ${ displaystyle lambda}$ к ${ displaystyle n}$ был фактически оправдан, и доказательство завершено.

Смотрите также

• Распределение Дирихле
• Принцип Дирихле
• Функция Sinc
• Интеграл Френеля

Примечания

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Интегралы Дирихле». MathWorld.