Теорема Кельвина – Стокса - Kelvin–Stokes theorem

Иллюстрация теоремы Кельвина – Стокса с поверхностью

Σ

, его граница

\partialΣ

и нормальный вектор

п

.

В Теорема Кельвина – Стокса,^[1]^[2] названный в честь Лорд Кельвин и Джордж Стоукс, также известный как Теорема Стокса,^[3] то основная теорема для локонов или просто локтевая теорема,^[4] это теорема в векторное исчисление на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ . Учитывая векторное поле, теорема связывает интеграл из завиток векторного поля над некоторой поверхностью к линейный интеграл векторного поля вокруг границы поверхности. Классическую теорему Кельвина-Стокса можно сформулировать одним предложением: линейный интеграл векторного поля над петлей равна поток завитка через закрытую поверхность.

Теорема Кельвина – Стокса является частным случаем «обобщенного Теорема Стокса."^[5]^[6] В частности, векторное поле на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ можно рассматривать как 1-форма в этом случае его локон - это его внешняя производная, 2-форма.

Теорема

Если векторное поле ${ Displaystyle mathbf {A} = (P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z))}$ определяется в области с гладкой ориентированной поверхностью ${ displaystyle Sigma}$ и имеет непрерывный первый порядок частные производные тогда:

{ Displaystyle { begin {align} iint limits _ { Sigma} ( nabla times mathbf {A}) cdot d mathbf {a} & = iint limits _ { Sigma} { Bigg (} left ({ frac { partial R} { partial y}} - { frac { partial Q} { partial z}} right) , dy , dz + left ({ frac { partial P} { partial z}} - { frac { partial R} { partial x}} right) , dz , dx + left ({ frac { partial Q} { partial x }} - { frac { partial P} { partial y}} right) , dx , dy { Bigg)} & = oint limits _ { partial Sigma} { Big ( } P , dx + Q , dy + R , dz { Big)} = oint limits _ { partial Sigma} mathbf {A} cdot d mathbf {l}, end {выровнено }}}

куда ${ Displaystyle partial Sigma}$ граница области с гладкой поверхностью ${ displaystyle Sigma}$ .

Основная проблема точной формулировки теоремы Стокса заключается в определении понятия границы. Такие поверхности, как Коха снежинка, например, хорошо известно, что у них нет интегрируемой по Риману границы, а понятие поверхностной меры в Теория Лебега не может быть определен для не-Липшиц поверхность. Один (продвинутый) прием - перейти к слабая формулировка а затем применить технику геометрическая теория меры; для этого подхода см. формула coarea. В этой статье мы вместо этого используем более элементарное определение, основанное на том факте, что граница может быть различима для полномерных подмножеств $ℝ 2$ .

Позволять $γ : [а, б] \to р 2$ быть кусочно гладкий Плоская кривая Жордана. В Теорема Жордана подразумевает, что $γ$ разделяет $р 2$ на два компонента: компактный одно и другое некомпактное. Позволять $D$ обозначим компактную часть; тогда $D$ ограничен $γ$ . Теперь достаточно перенести это понятие границы вдоль непрерывного отображения на нашу поверхность в $ℝ 3$ . Но у нас уже есть такая карта: параметризация из $Σ$ .

Предполагать $ψ : D \to р 3$ гладкая, с $Σ = ψ (D)$ . Если $Γ$ это пространственная кривая определяется $Γ (т) = ψ (γ (т))$ ,^{[примечание 1]} тогда мы звоним $Γ$ граница $Σ$ , написано $\partial Σ$ .

С указанными выше обозначениями, если $F$ любое гладкое векторное поле на $р 3$ , тогда^[7]^[8]

{ Displaystyle oint _ { partial Sigma} mathbf {F} , cdot , d { mathbf { Gamma}} = iint _ { Sigma} nabla times mathbf {F} , cdot , d mathbf {S}.}

Доказательство

Доказательство теоремы состоит из 4 шагов. Мы предполагаем Теорема Грина, поэтому нас беспокоит, как свести трехмерную сложную задачу (теорема Кельвина – Стокса) к двумерной элементарной задаче (теорема Грина).^[9] При доказательстве этой теоремы математики обычно выводят ее как частный случай более общий результат, что выражается в дифференциальные формы, и доказал, что использует более сложную технику. Несмотря на свою мощь, эти методы требуют значительного опыта, поэтому приведенное ниже доказательство их избегает и не предполагает каких-либо знаний, кроме знакомства с основным векторным исчислением.^[8] В конце этого раздела дается краткое альтернативное доказательство теоремы Кельвина-Стокса как следствие обобщенной теоремы Стокса.

Элементарное доказательство

Первый шаг доказательства (параметризация интеграла)

Как в § Теорема, мы уменьшаем размерность, используя естественную параметризацию поверхности. Позволять $ψ$ и $γ$ быть как в этом разделе, и обратите внимание, что при замене переменных

{ Displaystyle oint _ { partial Sigma} { mathbf {F} ( mathbf {x}) cdot , d mathbf {l}} = oint _ { gamma} { mathbf {F} ( mathbf { psi} ( mathbf {y})) cdot , d mathbf { psi} ( mathbf {y})} = oint _ { gamma} { mathbf {F} ( mathbf { psi} ( mathbf {y})) J _ { mathbf {y}} ( mathbf { psi}) , d mathbf {y}}}

куда $Jψ$ стоит за Матрица якобиана из $ψ$ .

Теперь позвольте ${е ты, е v}$ быть ортонормированным базисом в координатных направлениях $ℝ 2$ . Признавая, что столбцы $J y ψ$ являются в точности частными производными от $ψ$ в $y$ , мы можем разложить предыдущее уравнение по координатам как

{ Displaystyle { begin {align} oint _ { partial Sigma} { mathbf {F} ( mathbf {x}) cdot , d mathbf {l}} & = oint _ { gamma } { mathbf {F} ( mathbf { psi} ( mathbf {y})) J _ { mathbf {y}} ( mathbf { psi}) mathbf {e} _ {u} ( mathbf {e} _ {u} cdot , d mathbf {y}) + mathbf {F} ( mathbf { psi} ( mathbf {y})) J _ { mathbf {y}} ( mathbf { psi}) mathbf {e} _ {v} ( mathbf {e} _ {v} cdot , d mathbf {y})} & = oint _ { gamma} { left ( left ( mathbf {F} ( mathbf { psi} ( mathbf {y})) cdot { frac { partial mathbf { psi}} { partial u}} ( mathbf {y }) right) mathbf {e} _ {u} + left ( mathbf {F} ( mathbf { psi} ( mathbf {y})) cdot { frac { partial mathbf { psi}} { partial v}} ( mathbf {y}) right) mathbf {e} _ {v} right) cdot , d mathbf {y}} end {align}}}

Второй шаг доказательства (определение отката)

На предыдущем шаге предлагается определить функцию

{ displaystyle mathbf {P} (u, v) = left ( mathbf {F} ( mathbf { psi} (u, v)) cdot { frac { partial mathbf { psi}} { partial u}} (u, v) right) mathbf {e} _ {u} + left ( mathbf {F} ( mathbf { psi} (u, v)) cdot { frac { partial mathbf { psi}} { partial v}} right) mathbf {e} _ {v}}

Это откат из $F$ вдоль $ψ$ , и, согласно вышеизложенному, удовлетворяет

{ Displaystyle oint _ { partial Sigma} { mathbf {F} ( mathbf {x}) cdot , d mathbf {l}} = oint _ { gamma} { mathbf {P} ( mathbf {y}) cdot , d mathbf {l}}}

Мы успешно свели одну сторону теоремы Стокса к двумерной формуле; Теперь перейдем к другой стороне.

Третий шаг доказательства (второе уравнение)

Сначала вычислите частные производные, входящие в Теорема Грина, через правило продукта:

{ displaystyle { begin {align} { frac { partial P_ {1}} { partial v}} & = { frac { partial ( mathbf {F} circ psi)} { partial v }} cdot { frac { partial psi} { partial u}} + ( mathbf {F} circ psi) cdot { frac { partial ^ {2} psi} { partial v partial u}} { frac { partial P_ {2}} { partial u}} & = { frac { partial ( mathbf {F} circ psi)} { partial u}} cdot { frac { partial psi} { partial v}} + ( mathbf {F} circ psi) cdot { frac { partial ^ {2} psi} { partial u partial v}} end {выровнено}}}

Удобно, что второй член в разности обращается в нуль: равенство смешанных частных. Так,

{ displaystyle { begin {align} { frac { partial P_ {1}} { partial v}} - { frac { partial P_ {2}} { partial u}} & = { frac { partial ( mathbf {F} circ psi)} { partial v}} cdot { frac { partial psi} { partial u}} - { frac { partial ( mathbf {F} circ psi)} { partial u}} cdot { frac { partial psi} { partial v}} & = { frac { partial psi} { partial u}} (J_ { psi (u, v)} mathbf {F}) { frac { partial psi} { partial v}} - { frac { partial psi} { partial v}} (J _ { psi (u, v)} mathbf {F}) { frac { partial psi} { partial u}} && { text {(цепное правило)}} & = { frac { partial psi} { partial u}} (J _ { psi (u, v)} mathbf {F} - (J _ { psi (u, v)} mathbf {F}) ^ { mathsf {T}} ) { frac { partial psi} { partial v}} end {align}}}

Но теперь рассмотрим матрицу в этой квадратичной форме, то есть ${ Displaystyle J _ { psi (u, v)} mathbf {F} - (J _ { psi (u, v)} mathbf {F}) ^ { mathsf {T}}}$ . Мы утверждаем, что эта матрица на самом деле описывает перекрестное произведение.

Если быть точным, пусть ${ displaystyle A = (A_ {ij}) _ {ij}}$ быть произвольным $3 \times 3$ матрица и пусть

{ displaystyle mathbf {a} = { begin {pmatrix} A_ {32} -A_ {23} A_ {13} -A_ {31} A_ {21} -A_ {12} end {pmatrix }}}

Обратите внимание, что $Икс \mapsto а \times Икс$ является линейным, поэтому определяется его действием на базисные элементы. Но прямым расчетом

{ displaystyle { begin {align} (AA ^ { mathsf {T}}) mathbf {e} _ {1} & = { begin {pmatrix} 0 a_ {3} - a_ {2 } end {pmatrix}} = mathbf {a} times mathbf {e} _ {1} (AA ^ { mathsf {T}}) mathbf {e} _ {2} & = { begin {pmatrix} -a_ {3} 0 a_ {1} end {pmatrix}} = mathbf {a} times mathbf {e} _ {2} (AA ^ { mathsf { T}}) mathbf {e} _ {3} & = { begin {pmatrix} a_ {2} - a_ {1} 0 end {pmatrix}} = mathbf {a} times mathbf {е} _ {3} конец {выровнено}}}

Таким образом $(А - А Т) Икс = а \times Икс$ для любого $Икс$ . Подстановка $J F$ за $А$ , мы получаем

{ Displaystyle ({(J _ { psi (u, v)} mathbf {F})} _ { psi (u, v)} - {(J _ { psi (u, v)} mathbf {F })} ^ { mathsf {T}}) mathbf {x} = ( nabla times mathbf {F}) times mathbf {x}, quad { text {для всех}} , mathbf {x} in mathbf {R} ^ {3}}

Теперь мы можем распознать различие частичных чисел как (скалярное) тройное произведение:

{ displaystyle { begin {align} { frac { partial P_ {1}} { partial v}} - { frac { partial P_ {2}} { partial u}} & = { frac { partial psi} { partial u}} cdot ( nabla times mathbf {F}) times { frac { partial psi} { partial v}} & = det left [ ( nabla times mathbf {F}) ( psi (u, v)) quad { frac { partial psi} { partial u}} (u, v) quad { frac { partial psi} { partial v}} (u, v) right] end {align}}}

С другой стороны, определение поверхностный интеграл также включает тройной продукт - тот самый!

{ displaystyle { begin {align} iint _ {S} ( nabla times mathbf {F}) cdot , d ^ {2} mathbf {S} & = iint _ {D} {( nabla times mathbf {F}) ( psi (u, v)) cdot left ({ frac { partial psi} { partial u}} (u, v) times { frac { partial psi} { partial v}} (u, v) , du , dv right)} & = iint _ {D} det left [( nabla times mathbf {F }) ( psi (u, v)) quad { frac { partial psi} { partial u}} (u, v) quad { frac { partial psi} { partial v}} (u, v) right] , du , dv end {align}}}

Итак, получаем

{ displaystyle iint _ {S} ( nabla times mathbf {F}) cdot , d ^ {2} mathbf {S} = iint _ {D} left ({ frac { partial P_ {2}} { partial u}} - { frac { partial P_ {1}} { partial v}} right) , du , dv}

Четвертый шаг доказательства (сведение к теореме Грина)

Объединяя второй и третий шаги, а затем применяя Теорема Грина завершает доказательство.

Доказательство с помощью дифференциальных форм

$ℝ \to ℝ 3$ можно отождествить с дифференциальными 1-формами на $ℝ 3$ через карту

{ displaystyle F_ {1} mathbf {e} _ {1} + F_ {2} mathbf {e} _ {2} + F_ {3} mathbf {e} _ {3} mapsto F_ {1} , dx + F_ {2} , dy + F_ {3} dz}

.

Напишите дифференциальную 1-форму, связанную с функцией $F$ в качестве $ω F$ . Тогда можно вычислить, что

{ displaystyle star omega _ { nabla times mathbf {F}} = d omega _ { mathbf {F}}}

куда $★$ это Ходжа звезда и ${ displaystyle d}$ это внешняя производная. Таким образом, обобщенная теорема Стокса,^[10]

{ displaystyle oint _ { partial Sigma} { mathbf {F} cdot , d mathbf {l}} = oint _ { partial Sigma} { omega _ { mathbf {F}} } = int _ { Sigma} {d omega _ { mathbf {F}}} = int _ { Sigma} { star omega _ { nabla times mathbf {F}}} = iint _ { Sigma} { nabla times mathbf {F} cdot , d ^ {2} mathbf {S}}}

Приложения

В гидродинамике

В этом разделе мы обсудим ламеллярное векторное поле на основе теоремы Кельвина – Стокса.

Безвихревые поля

Определение 2-1 (Безвихревое поле). Гладкое векторное поле $F$ на открыто $U \subseteq р 3$ является безвихревый если $\nabla \times F = 0$ .

Если домен F является односвязный, тогда $F$ это консервативное векторное поле.

Теоремы Гельмгольца

В этом разделе мы представим теорему, которая выводится из теоремы Кельвина – Стокса и характеризует векторные поля без вихрей. В гидродинамике это называется Теоремы Гельмгольца.

Теорема 2-1 (теорема Гельмгольца в гидродинамике).^[5]^[2]^:142 Позволять $U \subseteq р 3$ быть открыто подмножество с ламеллярным векторным полем $F$ и разреши $c 0, c 1 : [0, 1] \to U$ быть кусочно гладкими петлями. Если есть функция $ЧАС : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ такой, что

[TLH0] $ЧАС$ кусочно гладкая,
[TLH1] $ЧАС (т, 0) = c 0 (т)$ для всех $т \in [0, 1]$ ,
[TLH2] $ЧАС (т, 1) = c 1 (т)$ для всех $т \in [0, 1]$ ,
[TLH3] $ЧАС (0, s) = ЧАС (1, s)$ для всех $s \in [0, 1]$ .

Потом,

{ displaystyle int _ {c_ {0}} mathbf {F} , dc_ {0} = int _ {c_ {1}} mathbf {F} , dc_ {1}}

Некоторые учебники, такие как Лоуренс^[5] назвать отношения между $c 0$ и $c 1$ заявленная в теореме 2-1 как «гомотопная», а функция $ЧАС : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ как "гомотопия между $c 0$ и $c 1$ ». Однако« гомотопия »или« гомотопия »в указанном выше смысле различны (сильнее чем) типичные определения «гомотопия» или «гомотопия»; последнее опускает условие [TLH3]. Поэтому с этого момента мы будем называть гомотопию (гомотоп) в смысле теоремы 2-1 как трубчатая гомотопия (соответственно трубчато-гомотопическая).^{[заметка 2]}

Доказательство теоремы

Определения

γ 1, ..., γ 4

В дальнейшем мы обозначение злоупотребления и используйте " $+$ "для объединения путей в фундаментальный группоид и " $-$ "для изменения ориентации пути.

Позволять $D = [0, 1] \times [0, 1]$ , и разделить $\partial D$ на 4 отрезка $γ j$ .

{ Displaystyle { begin {align} gamma _ {1}: [0,1] to D; quad & gamma _ {1} (t) = (t, 0) gamma _ {2 }: [0,1] в D; quad & gamma _ {2} (s) = (1, s) gamma _ {3}: [0,1] to D; quad & gamma _ {3} (t) = (1-t, 1) gamma _ {4}: [0,1] to D; quad & gamma _ {4} (s) = (0 , 1-с) partial D = gamma _ {1} + gamma _ {2} + gamma _ {3} + gamma _ {4} end {align}}}

По нашему предположению, что $c 1$ и $c 2$ кусочно гладкие гомотопны, существует кусочно гладкая гомотопия $ЧАС : D \to M$

{ Displaystyle { begin {align} Gamma _ {i} (t) & = H ( gamma _ {i} (t)) && i = 1,2,3,4 Gamma (t) & = H ( gamma (t)) = ( Gamma _ {1} oplus Gamma _ {2} oplus Gamma _ {3} oplus Gamma _ {4}) (t) end {выровнено}} }

Позволять S быть изображением $D$ под ЧАС. Который

{ Displaystyle iint _ {S} набла раз mathbf {F} , dS = oint _ { Gamma} mathbf {F} , d Gamma}

непосредственно следует из теоремы Кельвина – Стокса. $F$ ламеллярная, поэтому левая часть исчезает, т.е.

{ Displaystyle 0 = oint _ { Gamma} mathbf {F} , d Gamma = sum _ {i = 1} ^ {4} oint _ { Gamma _ {i}} mathbf {F } , d Gamma}

В качестве ЧАС трубчатый, $Γ 2 =- Γ 4$ . Таким образом, линейные интегралы вдоль $Γ 2 (s)$ и $Γ 4 (s)$ отменить, уйти

{ Displaystyle 0 = oint _ { Gamma _ {1}} mathbf {F} , d Gamma + oint _ { Gamma _ {3}} mathbf {F} d Gamma}

С другой стороны, $c 1 = Γ 1$ и $c 3 =- Γ 3$ , так что искомое равенство следует почти сразу.

Консервативные силы

Теорема Гельмгольца объясняет, почему работа, выполняемая консервативной силой при изменении положения объекта, не зависит от пути. Сначала введем лемму 2-2, которая является следствием и частным случаем теоремы Гельмгольца.

Лемма 2-2.^[5]^[6] Позволять $U \subseteq р 3$ быть открыто подмножество, с ламеллярным векторным полем $F$ и кусочно-гладкая петля $c 0 : [0, 1] \to U$ . Зафиксируйте точку $п \in U$ , если существует гомотопия (трубчатая гомотопия) $ЧАС : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ такой, что

[SC0] ЧАС является кусочно гладкий,
[SC1] ЧАС(т, 0) = c₀(т) для всех т ∈ [0, 1],
[SC2] ЧАС(т, 1) = п для всех т ∈ [0, 1],
[SC3] ЧАС(0, s) = ЧАС(1, s) = п для всех s ∈ [0, 1].

Потом,

{ displaystyle int _ {c_ {0}} mathbf {F} , dc_ {0} = 0}

Лемма 2-2 следует из теоремы 2-1. В лемме 2-2 существование $ЧАС$ выполнение [SC0] - [SC3] имеет решающее значение. Если U односвязно, такое ЧАС существуют. Определение Просто связанное пространство следует:

Определение 2-2 (Простое связное пространство).^[5]^[6] Позволять $M \subseteq р п$ быть непустым и соединенный путём. $M$ называется односвязный тогда и только тогда, когда для любого непрерывного цикла, $c : [0, 1] \to M$ существует непрерывная трубчатая гомотопия $ЧАС : [0, 1] \times [0, 1] \to M$ из $c$ к фиксированной точке $п \in c$ ; то есть,

[SC0 '] ЧАС является непрерывный,
[SC1] ЧАС(т, 0) = c(т) для всех т ∈ [0, 1],
[SC2] ЧАС(т, 1) = п для всех т ∈ [0, 1],
[SC3] ЧАС(0, s) = ЧАС(1, s) = п для всех s ∈ [0, 1].

Утверждение, что «для консервативной силы работа по изменению положения объекта не зависит от пути», может показаться, что последует немедленно. Но помните, что простое соединение гарантирует только существование непрерывный гомотопия, удовлетворяющая [SC1-3]; вместо этого мы ищем кусочно гладкую гомотопию, удовлетворяющую этим условиям.

Однако разрыв в регулярности устраняется Аппроксимационная теорема Уитни.^[6]^:136,421^[11] Таким образом, мы получаем следующую теорему.

Теорема 2-2.^[5]^[6] Позволять $U \subseteq р 3$ быть открыто и просто связана с безвихревым векторным полем $F$ . Для всех кусочно-гладких петель $c : [0, 1] \to U$

{ displaystyle int _ {c_ {0}} mathbf {F} , dc_ {0} = 0}

Уравнения Максвелла

В физике электромагнетизм, теорема Кельвина-Стокса дает обоснование эквивалентности дифференциальной формы Уравнение Максвелла – Фарадея и Уравнение Максвелла – Ампера и интегральная форма этих уравнений. Для закона Фарадея теорема Кельвина-Стокса применяется к электрическому полю: ${ displaystyle mathbf {E}}$ .

${ displaystyle oint _ { partial Sigma} mathbf {E} cdot mathrm {d} { boldsymbol {l}} = iint _ { Sigma} mathbf { nabla} times mathbf { E} cdot mathrm {d} mathbf {S}}$

Для закона Ампера теорема Кельвина-Стокса применяется к магнитному полю: ${ displaystyle mathbf {B}}$ .

${ displaystyle oint _ { partial Sigma} mathbf {B} cdot mathrm {d} { boldsymbol {l}} = iint _ { Sigma} mathbf { nabla} times mathbf { Б} cdot mathrm {d} mathbf {S}}$

Примечания

^ $Γ$ не может быть Кривая Иордании, если петля $γ$ плохо взаимодействует с $ψ$ . Тем не менее, $Γ$ всегда петля, а топологически a связанная сумма из счетно-много Жордановы кривые, так что интегралы определены корректно.
^ Существуют учебники, в которых используются термины «гомотопия» и «гомотопия» в смысле теоремы 2-1.^[5] Действительно, это очень удобно для конкретной проблемы консервативных сил. Тем не менее, оба использования гомотопии появляются достаточно часто, чтобы устранить неоднозначность, и термин «трубчатая гомотопия», принятый здесь, служит достаточно хорошо для этой цели.