Обратные функции и дифференцирование - Inverse functions and differentiation

Правило:

{ displaystyle { color {CornflowerBlue} {f '}} (x) = { frac {1} {{ color {Salmon} {(f ^ {- 1})'}} ({ color {Синий} {f}} (x))}}}

Пример произвольного

{ displaystyle x_ {0} приблизительно 5,8}

:

{ displaystyle { color {CornflowerBlue} {f '}} (x_ {0}) = { frac {1} {4}}}

{ displaystyle { color {Salmon} {(f ^ {- 1}) '}} ({ color {Blue} {f}} (x_ {0})) = 4 ~}

В математика, то обратный из функция ${ Displaystyle у = е (х)}$ это функция, которая каким-то образом "отменяет" эффект ${ displaystyle f}$ (увидеть обратная функция для формального и подробного определения). Обратное ${ displaystyle f}$ обозначается как ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ , где ${ displaystyle f ^ {- 1} (y) = x}$ если и только если ${ Displaystyle е (х) = у}$ .

Две их производные, если они существуют, равны взаимный, как Обозначение Лейбница предлагает; это:

{ displaystyle { frac {dx} {dy}} , cdot , { frac {dy} {dx}} = 1.}

Это соотношение получается дифференцированием уравнения ${ displaystyle f ^ {- 1} (y) = x}$ с точки зрения $Икс$ и применяя Правило цепи, что дает:

{ displaystyle { frac {dx} {dy}} , cdot , { frac {dy} {dx}} = { frac {dx} {dx}}}

учитывая, что производная от $Икс$ относительно $Икс$ равно 1.

Написав явно зависимость $y$ на $Икс$ , и точка, в которой происходит дифференцирование, формула для производной обратной принимает вид (в обозначениях Лагранжа):

{ displaystyle left [f ^ {- 1} right] '(a) = { frac {1} {f' left (f ^ {- 1} (a) right)}}}

.

Эта формула, вообще говоря, верна всякий раз, когда ${ displaystyle f}$ является непрерывный и инъективный на интервале $я$ , с участием ${ displaystyle f}$ быть дифференцируемым в ${ displaystyle f ^ {- 1} (а)}$ ( ${ displaystyle in I}$ ) и где ${ displaystyle f '(f ^ {- 1} (а)) neq 0}$ .^[1] Эта же формула эквивалентна выражению

{ displaystyle { mathcal {D}} left [f ^ {- 1} right] = { frac {1} {({ mathcal {D}} f) circ left (f ^ {- 1 }правильно)}},}

где ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ обозначает оператор унарной производной (в пространстве функций) и ${ displaystyle circ}$ обозначает функциональная композиция.

Геометрически функция и обратная функция имеют графики которые размышления, в соответствии ${ displaystyle y = x}$ . Эта операция отражения превращает градиент любой строки в ее взаимный.^[2]

При условии, что ${ displaystyle f}$ имеет инверсию окрестности из ${ displaystyle x}$ и что его производная в этой точке отлична от нуля, обратная к нему гарантированно дифференцируема в ${ displaystyle x}$ и имеют производную, заданную приведенной выше формулой.

Примеры

${ Displaystyle у = х ^ {2}}$ (для положительных $Икс$ ) имеет обратный ${ displaystyle x = { sqrt {y}}}$ .

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = 2x { mbox {}} { mbox {}} { mbox {}} { mbox {}}; { mbox {}} { mbox { }} { mbox {}} { mbox {}} { frac {dx} {dy}} = { frac {1} {2 { sqrt {y}}}} = { frac {1} { 2x}}}

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} , cdot , { frac {dx} {dy}} = 2x cdot { frac {1} {2x}} = 1.}

В ${ displaystyle x = 0}$ Однако возникает проблема: график функции квадратного корня становится вертикальным, что соответствует горизонтальной касательной для функции квадрата.

${ Displaystyle у = е ^ {х}}$ (серьезно $Икс$ ) имеет обратный ${ displaystyle x = ln {y}}$ (для положительных ${ displaystyle y}$ )

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = e ^ {x} { mbox {}} { mbox {}} { mbox {}} { mbox {}}; { mbox {}} { mbox {}} { mbox {}} { mbox {}} { frac {dx} {dy}} = { frac {1} {y}}}

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} , cdot , { frac {dx} {dy}} = e ^ {x} cdot { frac {1} {y}} = { гидроразрыв {e ^ {x}} {e ^ {x}}} = 1}

Дополнительные свойства

Интеграция эти отношения дают

{ displaystyle {f ^ {- 1}} (x) = int { frac {1} {f '({f ^ {- 1}} (x))}} , {dx} + C.}

Это полезно, только если существует интеграл. В частности нам нужны

{ displaystyle f '(x)}

быть ненулевым во всем диапазоне интеграции.

Отсюда следует, что функция, имеющая непрерывный производная имеет обратную окрестности каждой точки, где производная отлична от нуля. Этого не должно быть, если производная не является непрерывной.

Еще одно очень интересное и полезное свойство:

{ displaystyle int f ^ {- 1} (x) , {dx} = xf ^ {- 1} (x) -F (f ^ {- 1} (x)) + C}

куда

{ displaystyle F}

обозначает обратную функцию

{ displaystyle f ^ {- 1}}

.

Высшие производные

В Правило цепи данное выше получается дифференцированием тождества ${ Displaystyle е ^ {- 1} (е (х)) = х}$ относительно $Икс$ . Можно продолжить тот же процесс для более высоких производных. Дважды дифференцируя тождество относительно $Икс$ , получается