Формула Фаа ди Бруно - Википедия - Faà di Brunos formula

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  (обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Товар Цепь Мощность Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный интеграл  (неподходящий ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Замена  (тригонометрический, Weierstrass, Эйлер ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла
Серии Геометрический  (арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Мощность Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Глоссарий исчисления Глоссарий исчисления Список тем по математике

Формула Фаа ди Бруно личность в математика обобщая Правило цепи к высшим производным. Хотя он назван в честь Франческо Фаа ди Бруно  (1855, 1857 ), он не был первым, кто сформулировал или доказал эту формулу. В 1800 году, более чем за 50 лет до Фа ди Бруно, французский математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст сформулировал формулу в учебнике математического анализа,^[1] который считается первой опубликованной ссылкой на эту тему.^[2]

Пожалуй, самая известная форма формулы Фаа ди Бруно гласит:

${ displaystyle {d ^ {n} over dx ^ {n}} f (g (x)) = sum { frac {n!} {m_ {1}! , 1! ^ {m_ {1} } , m_ {2}! , 2! ^ {m_ {2}} , cdots , m_ {n}! , n! ^ {m_ {n}}}} cdot f ^ {(m_ {1} + cdots + m_ {n})} (g (x)) cdot prod _ {j = 1} ^ {n} left (g ^ {(j)} (x) right) ^ {m_ {j}},}$

где сумма по всем п-кортежи неотрицательных целых чисел (м₁, ..., м_п) удовлетворяющий ограничению

${ displaystyle 1 cdot m_ {1} +2 cdot m_ {2} +3 cdot m_ {3} + cdots + n cdot m_ {n} = n.}$

Иногда, чтобы придать ему запоминающийся узор, он написан таким образом, что коэффициенты, которые имеют комбинаторную интерпретацию, обсуждаемую ниже, менее явны:

${ displaystyle {d ^ {n} over dx ^ {n}} f (g (x)) = sum { frac {n!} {m_ {1}! , m_ {2}! , cdots , m_ {n}!}} cdot f ^ {(m_ {1} + cdots + m_ {n})} (g (x)) cdot prod _ {j = 1} ^ {n} left ({ frac {g ^ {(j)} (x)} {j!}} right) ^ {m_ {j}}.}$

Комбинируя термины с одинаковым значением м₁ + м₂ + ... + м_п = k и заметив, что м_j должен быть нулевым для j > п − k + 1 приводит к несколько более простой формуле, выраженной через Полиномы Белла B_п,k(Икс₁,...,Икс_п−k+1):

${ displaystyle {d ^ {n} over dx ^ {n}} f (g (x)) = sum _ {k = 1} ^ {n} f ^ {(k)} (g (x)) cdot B_ {n, k} left (g '(x), g' '(x), dots, g ^ {(n-k + 1)} (x) right).}$

Комбинаторная форма

Формула имеет «комбинаторный» вид:

${ displaystyle {d ^ {n} over dx ^ {n}} f (g (x)) = (f circ g) ^ {(n)} (x) = sum _ { pi in Pi} f ^ {( left | pi right |)} (g (x)) cdot prod _ {B in pi} g ^ {( left | B right |)} (x) }$

куда

• π пробегает множество Π всех перегородки набора { 1, ..., п },
• "B ∈ π"означает переменную B проходит по списку всех "блоков" раздела π, и
• |А| обозначает мощность множества А (так что |π| количество блоков в разделе π и |B| размер блока B).

Пример

Ниже приводится конкретное объяснение комбинаторной формы для п = 4 дело.

${ displaystyle { begin {align} (е circ g) '' '' (x) = {} & f '' '' (g (x)) g '(x) ^ {4} + 6f' '' (g (x)) g '' (x) g '(x) ^ {2} [8pt] & {} + ; 3f' '(g (x)) g' '(x) ^ {2 } + 4f '' (g (x)) g '' '(x) g' (x) [8pt] & {} + ; f '(g (x)) g' '' '(x) . end {выравнивается}}}$

Шаблон такой:

${ displaystyle { begin {array} {cccccc} g '(x) ^ {4} && leftrightarrow && 1 + 1 + 1 + 1 && leftrightarrow && f' '' '(g (x)) && leftrightarrow && 1 [12pt] g '' (x) g '(x) ^ {2} && leftrightarrow && 2 + 1 + 1 && leftrightarrow && f' '' (g (x)) && leftrightarrow && 6 [12pt] g '' (x) ^ {2} && leftrightarrow && 2 + 2 && leftrightarrow && f '' (g (x)) && leftrightarrow && 3 [12pt] g '' '(x) g' (x) && leftrightarrow && 3 + 1 && leftrightarrow && f '' (g (x)) && leftrightarrow && 4 [12pt] g '' '' (x) && leftrightarrow && 4 && leftrightarrow && f '(g (x)) && leftrightarrow && 1 end { множество}}}$

Фактор ${ Displaystyle г '' (х) г '(х) ^ {2}}$ очевидным образом соответствует разбиению 2 + 1 + 1 целого числа 4. Фактор ${ Displaystyle f '' '(г (х))}$ это соответствует тому факту, что есть три слагаемые в этом разделе. Коэффициент 6, связанный с этими факторами, соответствует тому факту, что есть ровно шесть разделов набора из четырех элементов, которые разбивают его на одну часть размера 2 и две части размера 1.

Точно так же фактор ${ displaystyle g '' (х) ^ {2}}$ в третьей строке соответствует разделению 2 + 2 целого числа 4 (4, потому что мы находим четвертую производную), а ${ Displaystyle F '' (г (х))}$ соответствует тому, что есть два слагаемые (2 + 2) в этом разбиении. Коэффициент 3 соответствует тому, что есть ${ Displaystyle { tfrac {1} {2}} { tbinom {4} {2}} = 3}$ способы разделения 4 объектов на группы по 2. То же самое относится и к остальным.

Запоминающаяся схема выглядит следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} & { frac {D ^ {1} (f circ {} g)} {1!}} & = left (f ^ {(1)} circ {} g right) { frac { frac {g ^ {(1)}} {1!}} {1!}} [8pt] & { frac {D ^ {2} (f circ g)} {2!}} & = Left (f ^ {(1)} circ {} g right) { frac { frac {g ^ {(2)}} {2!}} {1!}} & {} + left (f ^ {(2)} circ {} g right) { frac {{ frac {g ^ {(1)}} {1!}} { frac {g ^ { (1)}} {1!}}} {2!}} [8pt] & { frac {D ^ {3} (f circ g)} {3!}} & = Left (f ^ {(1)} circ {} g right) { frac { frac {g ^ {(3)}} {3!}} {1!}} & {} + Left (f ^ {(2 )} circ {} g right) { frac { frac {g ^ {(1)}} {1!}} {1!}} { frac { frac {g ^ {(2)}} {2!}} {1!}} & {} + Left (f ^ {(3)} circ {} g right) { frac {{ frac {g ^ {(1)}} {1 !}} { frac {g ^ {(1)}} {1!}} { frac {g ^ {(1)}} {1!}}} {3!}} [8pt] & { frac {D ^ {4} (f circ g)} {4!}} & = left (f ^ {(1)} circ {} g right) { frac { frac {g ^ { (4)}} {4!}} {1!}} & {} + Left (f ^ {(2)} circ {} g right) left ({ frac { frac {g ^ { (1)}} {1!}} {1!}} { Frac { frac {g ^ {(3)}} {3!}} {1!}} + { Frac {{ frac {g ^ {(2)}} {2!}} { Frac {g ^ {(2)}} {2!}}} {2!}} Right) & {} + left (f ^ {(3 )} circ {} g right) { frac {{ frac {g ^ {(1)}} {1!}} { frac {g ^ {(1)}} {1!}}} { 2!}} { Frac { frac {g ^ {(2)}} {2!}} {1!}} & {} + left (f ^ {(4)} circ {} g right) { frac {{ frac {g ^ {(1)}} {1!}} { Frac {g ^ {(1)}} {1!}} { Frac {g ^ {(1)}} {1!}} { Frac { g ^ {(1)}} {1!}}} {4!}} end {выровнено}}}$

Комбинаторика коэффициентов Фаа ди Бруно

Эти подсчета разделов Коэффициенты Фаа ди Бруно иметь выражение в закрытой форме. Количество перегородки набора размера п соответствующий целочисленный раздел

${ displaystyle displaystyle n = underbrace {1+ cdots +1} _ {m_ {1}} , + , underbrace {2+ cdots +2} _ {m_ {2}} , + , underbrace {3+ cdots +3} _ {m_ {3}} + cdots}$

целого числа п равно

${ displaystyle { frac {n!} {m_ {1}! , m_ {2}! , m_ {3}! , cdots 1! ^ {m_ {1}} , 2! ^ {m_ {2}} , 3! ^ {M_ {3}} , cdots}}.}$

Эти коэффициенты также возникают в Полиномы Белла, которые актуальны для изучения кумулянты.

Вариации

Многовариантная версия

Позволять у = грамм(Икс₁, ..., Икс_п). Тогда следующее тождество выполняется независимо от того, п все переменные различны, или все идентичны, или разделены на несколько различимых классов неотличимых переменных (если это кажется непрозрачным, см. очень конкретный пример ниже):^[3]

${ displaystyle { partial ^ {n} over partial x_ {1} cdots partial x_ {n}} f (y) = sum _ { pi in Pi} f ^ {( left | pi right |)} (y) cdot prod _ {B in pi} { partial ^ { left | B right |} y over prod _ {j in B} partial x_ {j}}}$

где (как указано выше)

• π пробегает множество Π всех перегородки набора { 1, ..., п },
• "B ∈ π"означает переменную B проходит по списку всех "блоков" раздела π, и
• |А| обозначает мощность множества А (так что |π| количество блоков в разделе π и |B| размер блока B).

Более общие версии справедливы для случаев, когда все функции являются векторными и даже Банахово-пространственнозначный. В этом случае необходимо учитывать Производная Фреше или же Производная Гато.

Пример

Пять членов в следующем выражении очевидным образом соответствуют пяти разбиениям множества {1, 2, 3}, и в каждом случае порядку производной ж количество частей в разделе:

${ displaystyle { begin {align} { partial ^ {3} over partial x_ {1} , partial x_ {2} , partial x_ {3}} f (y) = {} & f ' (y) { partial ^ {3} y over partial x_ {1} , partial x_ {2} , partial x_ {3}} [10pt] & {} + f '' (y ) left ({ partial y over partial x_ {1}} cdot { partial ^ {2} y over partial x_ {2} , partial x_ {3}} + { partial y over partial x_ {2}} cdot { partial ^ {2} y over partial x_ {1} , partial x_ {3}} + { partial y over partial x_ {3}} cdot { partial ^ {2} y over partial x_ {1} , partial x_ {2}} right) [10pt] & {} + f '' '(y) { partial y over partial x_ {1}} cdot { partial y over partial x_ {2}} cdot { partial y over partial x_ {3}}. end {align}}}$

Если три переменные неотличимы друг от друга, тогда три из пяти указанных выше терминов также неотличимы друг от друга, и тогда у нас есть классическая формула с одной переменной.

Формальная версия серии power

Предполагать ${ Displaystyle е (х) = сумма _ {п = 0} ^ { infty} {а_ {п}} х ^ {п}}$и ${ displaystyle g (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} {b_ {n}} x ^ {n}}$находятся формальный степенной ряд и ${ displaystyle b_ {0} = 0}$.

Тогда композиция ${ displaystyle f circ g}$ снова формальный степенной ряд,

${ Displaystyle f (г (х)) = сумма _ {n = 0} ^ { infty} {c_ {n}} x ^ {n},}$

куда c₀ = а₀ а другой коэффициент c_п за п ≥ 1 можно выразить как сумму по композиции из п или как эквивалентная сумма более перегородки из п:

${ displaystyle c_ {n} = sum _ { mathbf {i} in { mathcal {C}} _ ​​{n}} a_ {k} b_ {i_ {1}} b_ {i_ {2}} cdots b_ {i_ {k}},}$

куда

${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{n} = {(i_ {1}, i_ {2}, dots, i_ {k}) ,: 1 leq k leq n, i_ {1} + i_ {2} + cdots + i_ {k} = n }}$

это набор композиций п с k обозначающее количество частей,

или же

${ displaystyle c_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} sum _ { mathbf { pi} in { mathcal {P}} _ {n, k}} { binom {k} { pi _ {1}, pi _ {2}, ..., pi _ {n}}} b_ {1} ^ { pi _ {1}} b_ {2} ^ { pi _ {2}} cdots b_ {n} ^ { pi _ {n}},}$

куда

${ displaystyle { mathcal {P}} _ {n, k} = {( pi _ {1}, pi _ {2}, dots, pi _ {n}) ,: pi _ {1} + pi _ {2} + cdots + pi _ {n} = k, pi _ {1} cdot 1+ pi _ {2} cdot 2+ cdots + pi _ {n} cdot n = n }}$

набор разделов п в k частей, в форме частотных частей.

Первая форма получается подбором коэффициента при Икс^пв ${ displaystyle (b_ {1} x + b_ {2} x ^ {2} + cdots) ^ {k}}$ "путем проверки", а вторая форма затем получается путем сбора подобных терминов или, альтернативно, путем применения полиномиальная теорема.

Особый случай ж(Икс) = е^Икс, грамм(Икс) = ∑_{п ≥ 1} а_п/п! Икс^п дает экспоненциальная формула.Частный случай ж(Икс) = 1/(1 − Икс), грамм(Икс) = ∑_{п ≥ 1} (−а_п) Икс^п дает выражение для взаимный формального степенного ряда ∑_{п ≥ 0} а_п Икс^п в случае а₀ = 1.

Стэнли ^[4]дает версию для экспоненциального степенного ряда. формальный степенной ряд

${ displaystyle f (x) = sum _ {n} { frac {a_ {n}} {n!}} x ^ {n},}$

у нас есть п-я производная в 0:

${ displaystyle f ^ {(n)} (0) = a_ {n}.}$

Это не следует рассматривать как значение функции, поскольку эти ряды являются чисто формальными; в этом контексте не бывает конвергенции или расхождения.

Если

${ displaystyle g (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {b_ {n}} {n!}} x ^ {n}}$

и

${ displaystyle f (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n!}} x ^ {n}}$

и

${ Displaystyle г (е (х)) = час (х) = сумма _ {n = 0} ^ { infty} { frac {c_ {n}} {n!}} x ^ {n},}$

тогда коэффициент c_п (что было бы п-я производная от час оценивается в 0, если мы имели дело со сходящимися рядами, а не с формальными степенными рядами)

${ displaystyle c_ {n} = sum _ { pi = left {B_ {1}, ldots, B_ {k} right }} a _ { left | B_ {1} right |} cdots a _ { left | B_ {k} right |} b_ {k}}$

куда π пробегает множество всех разбиений множества {1, ..., п} и B₁, ..., B_k блоки перегородки π, и |B_j | количество членов j-й блок, дляj = 1, ..., k.

Эта версия формулы особенно хорошо подходит для целей комбинаторика.

Мы также можем написать с учетом обозначений выше

${ Displaystyle г (е (х)) = b_ {0} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} B_ {n, k} (a_ {1}, ldots, a_ {n-k + 1})} {n!}} x ^ {n},}$

куда B_п,k(а₁,...,а_п−k+1) находятся Полиномы Белла.

Особый случай

Если ж(Икс) = е^Икс, то все производные от ж одинаковы и являются общим фактором для каждого термина. В случае грамм(Икс) это кумулянт-производящая функция, тогда ж(грамм(Икс)) это момент-производящая функция, а многочлен от различных производных от грамм - многочлен, который выражает моменты как функции кумулянты.

Примечания

Рекомендации

Исторические обзоры и очерки

• Бригалья, Альдо (2004), «L'Opera Matematica», в Джакарди, Ливия (ред.), Франческо Фаа ди Бруно. Ricerca Scientifica Insegnamento e Divulgazione, Studi e fonti per la storia dell'Università di Torino (на итальянском языке), XII, Турин: Deputazione Subalpina di Storia Patria, стр. 111–172.. "Математическая работа"- это эссе о математической деятельности, описывающее как исследовательскую, так и педагогическую деятельность Франческо Фа ди Бруно.
• Крейк, Алекс Д. Д. (февраль 2005 г.), «Предыстория формулы Фаа ди Бруно», Американский математический ежемесячный журнал, 112 (2): 217–234, Дои:10.2307/30037410, JSTOR  30037410, МИСТЕР  2121322, Zbl  1088.01008.
• Джонсон, Уоррен П. (март 2002 г.), «Любопытная история формулы Фаа ди Бруно» (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, 109 (3): 217–234, CiteSeerX  10.1.1.109.4135, Дои:10.2307/2695352, JSTOR  2695352, МИСТЕР  1903577, Zbl  1024.01010.

Исследовательские работы

• Арбогаст, Л.Ф.А. (1800), Du Calcul des выводов [Об исчислении производных] (на французском языке), Страсбург: Левро, стр. xxiii + 404, Полностью бесплатно доступен из Книги Google.
• Фа ди Бруно, Ф. (1855), "Sullo sviluppo delle funzioni" [О развитии функций], Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (на итальянском), 6: 479–480, LCCN  06036680. Полностью бесплатно доступен из Книги Google. Известная статья, в которой Франческо Фаа ди Бруно представляет две версии формулы, которая теперь носит его имя, опубликована в журнале, основанном Барнаба Тортолини.
• Фаа ди Бруно, Ф. (1857 г.), "Обратите внимание на новую формулу расчета дифференциала" [О новой формуле дифференциального исчисления], Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики (На французском), 1: 359–360. Полностью бесплатно доступен из Книги Google.
• Фа ди Бруно, Франческо (1859), Théorie générale de l'élimination [Общая теория исключения] (на французском языке), Париж: Leiber et Faraguet, стр. x + 224. Полностью бесплатно доступен из Книги Google.
• Фландрия, Харлей (2001) «От Форда до Фаа», Американский математический ежемесячный журнал 108(6): 558–61 Дои:10.2307/2695713
• Френкель, Л. Е. (1978), "Формулы для высоких производных сложных функций", Математические труды Кембриджского философского общества, 83 (2): 159–165, Дои:10.1017 / S0305004100054402, МИСТЕР  0486377, Zbl  0388.46032.
• Кранц, Стивен Г.; Паркс, Гарольд Р. (2002), Учебник по реальным аналитическим функциям, Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher (второе издание), Бостон: Birkhäuser Verlag, стр. xiv + 205, ISBN  978-0-8176-4264-8, МИСТЕР  1916029, Zbl  1015.26030
• Портеус, Ян Р. (2001), «Пункт 4.3: формула Фаа ди Бруно», Геометрическая дифференциация (Второе изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 83–85, ISBN  978-0-521-00264-6, МИСТЕР  1871900, Zbl  1013.53001.
• Т. А. (Тибурсе Абади, Дж. Ф. К.) (1850 г.), "Sur la différentiation des fonctions de fonctions" [О выводе функций], Nouvelles annales de mathématiques, Journal des Candats aux écoles polytechnique et normale, Série 1 (на французском языке), 9: 119–125, доступны на NUMDAM. Эта статья, согласно Джонсон (2002, п. 228) является одним из предшественников Faà di Bruno 1855: обратите внимание, что автор подписывается только как «T.A.», и авторство J. F. C. Tiburce Abadie снова связано с Джонсоном.
• А., (Тибурсе Абади, Дж. Ф. К.) (1852 г.), "Sur la différentiation des fonctions de fonctions. Сери де Бурманн, де Лагранж, де Вронски" [О выводе функций. Бурманн, ряды Лагранжа и Вронского.], Nouvelles annales de mathématiques, Journal des Candats aux écoles polytechnique et normale, Série 1 (на французском языке), 11: 376–383, доступны на NUMDAM. Эта статья, согласно Джонсон (2002, п. 228) является одним из предшественников Faà di Bruno 1855: обратите внимание, что автор подписывается только как «А», и авторство Дж. Ф. С. Тибурса Абади снова связано с Джонсоном.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Формула Фаа ди Бруно". MathWorld.