В математика, то полиномиальная теорема описывает, как расширить мощность суммы с точки зрения полномочий членов этой суммы. Это обобщение биномиальная теорема от биномов к полиномам.
Теорема
Для любого положительного целого числа м и любое неотрицательное целое число п, полиномиальная формула говорит нам, как сумма с м термины расширяются при возведении в произвольную степень п:
![{ displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {m}) ^ {n} = sum _ {k_ {1} + k_ {2} + cdots + k_ {m} = n } {n выберите k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}} prod _ {t = 1} ^ {m} x_ {t} ^ {k_ {t}} ,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dccd561875a89864a7def8fbf7d8c9405234bbeb)
куда
![{n select k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}} = { frac {n!} {k_ {1}! , k_ {2}! cdots k_ {m}! }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7165fdb93f8d28ab738a85570ce10529dcdad8)
это полиномиальный коэффициент. Сумма берется по всем комбинациям неотрицательный целое число индексы k1 через kм так что сумма всех kя является п. То есть для каждого члена в разложении показатели степени Икся должно составлять до п. Также, как и в случае с биномиальная теорема, количества вида Икс0 которые появляются, принимаются равными 1 (даже если Икс равно нулю).
В случае м = 2, это утверждение сводится к утверждению биномиальной теоремы.
Пример
Третья степень трехчлена а + б + c дан кем-то
![(a + b + c) ^ {3} = a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} + 3a ^ {2} b + 3a ^ {2} c + 3b ^ {2} a + 3b ^ {2} c + 3c ^ {2} a + 3c ^ {2} b + 6abc.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515b39087a5bd2172cc7c65b2e118932c93fd30e)
Это можно вычислить вручную, используя распределительное свойство умножения над сложением, но это также можно сделать (возможно, более легко) с помощью полиномиальной теоремы, которая дает нам простую формулу для любого коэффициента, который нам может понадобиться. Можно "считать" полиномиальные коэффициенты из членов, используя формулу полиномиальных коэффициентов. Например:
имеет коэффициент ![{ displaystyle {3 choose 2,0,1} = { frac {3!} {2! cdot 0! cdot 1!}} = { frac {6} {2 cdot 1 cdot 1} } = 3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a094ab32909420461db07a3730eff4bc94c4944)
имеет коэффициент ![{ displaystyle {3 choose 1,1,1} = { frac {3!} {1! cdot 1! cdot 1!}} = { frac {6} {1 cdot 1 cdot 1} } = 6.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19aa73ee4548c4f3b7326c3a65ddea61f490a04e)
Альтернативное выражение
Формулировку теоремы можно кратко записать, используя мультииндексы:
![(x_ {1} + cdots + x_ {m}) ^ {n} = sum _ {{| alpha | = n}} {n choose alpha} x ^ { alpha}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc6ec7c98dbbb25a3f874ee1118e2892a128822)
куда
![{ Displaystyle альфа = ( альфа _ {1}, альфа _ {2}, точки, альфа _ {м})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a6126660396526ff1c7cc0e1d3b838a724a0c6)
и
![{ displaystyle x ^ { alpha} = x_ {1} ^ { alpha _ {1}} x_ {2} ^ { alpha _ {2}} cdots x_ {m} ^ { alpha _ {m} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c55634a7a0607e1ba144f45b0e609ba860bc83)
Доказательство
Это доказательство полиномиальной теоремы использует биномиальная теорема и индукция на м.
Во-первых, для м = 1, обе стороны равны Икс1п так как есть только один термин k1 = п в сумме. Для шага индукции предположим, что полиномиальная теорема верна для м. потом
![{ displaystyle { begin {align} & (x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {m} + x_ {m + 1}) ^ {n} = (x_ {1} + x_ {2 } + cdots + (x_ {m} + x_ {m + 1})) ^ {n} [6pt] = {} & sum _ {k_ {1} + k_ {2} + cdots + k_ {m-1} + K = n} {n выбрать k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m-1}, K} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2 } ^ {k_ {2}} cdots x_ {m-1} ^ {k_ {m-1}} (x_ {m} + x_ {m + 1}) ^ {K} end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adc5f8add6e0ee01e9fc422b22e5d75ac722cc7)
по предположению индукции. Применяя биномиальную теорему к последнему множителю,
![= sum _ {{k_ {1} + k_ {2} + cdots + k _ {{m-1}} + K = n}} {n выбрать k_ {1}, k_ {2}, ldots, k _ {{m-1}}, K} x_ {1} ^ {{k_ {1}}} x_ {2} ^ {{k_ {2}}} cdots x _ {{m-1}} ^ {{ k _ {{m-1}}}} sum _ {{k_ {m} + k _ {{m + 1}} = K}} {K выберите k_ {m}, k _ {{m + 1}}} x_ {m} ^ {{k_ {m}}} x _ {{m + 1}} ^ {{k _ {{m + 1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700d5ffcfe1326131b0a75b1c16b5bfa5a10410f)
![= sum _ {{k_ {1} + k_ {2} + cdots + k _ {{m-1}} + k_ {m} + k _ {{m + 1}} = n}} {n выбрать k_ {1}, k_ {2}, ldots, k _ {{m-1}}, k_ {m}, k _ {{m + 1}}} x_ {1} ^ {{k_ {1}}} x_ { 2} ^ {{k_ {2}}} cdots x _ {{m-1}} ^ {{k _ {{m-1}}}} x_ {m} ^ {{k_ {m}}} x _ {{ м + 1}} ^ {{к _ {{м + 1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22353333d5fb55b5b01c209c7aefafe1f630bbe6)
что завершает индукцию. Последний шаг следует, потому что
![{n выбрать k_ {1}, k_ {2}, ldots, k _ {{m-1}}, K} {K выбрать k_ {m}, k _ {{m + 1}}} = {n выберите k_ {1}, k_ {2}, ldots, k _ {{m-1}}, k_ {m}, k _ {{m + 1}}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b2f4b3a147691c33e91e95242ce7323ed2232d)
в этом легко убедиться, записав три коэффициента с использованием факториалов следующим образом:
![{ frac {n!} {k_ {1}! k_ {2}! cdots k _ {{m-1}}! K!}} { frac {K!} {k_ {m}! k _ {m +1}}!}} = { Frac {n!} {K_ {1}! K_ {2}! Cdots k _ {{m + 1}}!}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cfe00db0b498412d198e56b4af8b4d2d8c1c73a)
Полиномиальные коэффициенты
Цифры
![{ displaystyle {n select k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a96fa79c67c62c56f09607af0e0ba24a2d56782)
фигурируют в теореме полиномиальные коэффициенты. Они могут быть выражены различными способами, в том числе как продукт биномиальные коэффициенты или из факториалы:
![{ displaystyle {n select k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}} = { frac {n!} {k_ {1}! , k_ {2}! cdots k_ { m}!}} = {k_ {1} choose k_ {1}} {k_ {1} + k_ {2} choose k_ {2}} cdots {k_ {1} + k_ {2} + cdots + k_ {m} выбрать k_ {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0618a64f7b9624fd8ae0df67100096d16cf016c2)
Сумма всех полиномиальных коэффициентов
Замена Икся = 1 для всех я в полиномиальную теорему
![{ displaystyle sum _ {k_ {1} + k_ {2} + cdots + k_ {m} = n} {n select k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} cdots x_ {m} ^ {k_ {m}} = (x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {m}) ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61d180aaa841eb80841959a48ba78a0b2068a467)
сразу дает, что
![{ displaystyle sum _ {k_ {1} + k_ {2} + cdots + k_ {m} = n} {n select k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}} = м ^ {п}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2099df0e9c29db97d9e588ea5ef39a5afcda2178)
Количество полиномиальных коэффициентов
Количество членов в полиномиальной сумме, #п,м, равно количеству одночленов степени п по переменным Икс1, …, Иксм:
![{ displaystyle #_ {n, m} = {n + m-1 select m-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c29ce06f15b43f19f6d3c92bee787f95ba83cd2)
Подсчет можно легко произвести с помощью метода звезды и решетки.
Оценка полиномиальных коэффициентов
Наибольшая степень простого числа
который делит полиномиальный коэффициент, может быть вычислен с использованием обобщения Теорема Куммера.
Интерпретации
Способы складывать предметы в мусорные ведра
Полиномиальные коэффициенты имеют прямую комбинаторную интерпретацию, поскольку количество способов внесения п отдельные объекты в м отдельные бункеры, с k1 объекты в первой корзине, k2 объекты во второй корзине и так далее.[1]
Количество способов выбора в зависимости от распределения
В статистическая механика и комбинаторика если имеется несколько распределений меток, то полиномиальные коэффициенты естественным образом возникают из биномиальных коэффициентов. Учитывая числовое распределение {пя} на наборе N всего предметов, пя представляет количество элементов, которым будет присвоена метка я. (В статистической механике я это метка состояния энергии.)
Количество аранжировок определяется по
- Выбор п1 от общего N быть помеченным 1. Это можно сделать
способами. - Из оставшихся N − п1 предметы выбрать п2 на метку 2. Это можно сделать
способами. - Из оставшихся N − п1 − п2 предметы выбрать п3 на метку 3. Опять же, это можно сделать
способами.
Умножение количества вариантов на каждом шаге дает:
![{ displaystyle {N choose n_ {1}} {N-n_ {1} choose n_ {2}} {N-n_ {1} -n_ {2} choose n_ {3}} cdots = { frac {N!} {(N-n_ {1})! n_ {1}!}} cdot { frac {(N-n_ {1})!} {(N-n_ {1} -n_ {2 })! n_ {2}!}} cdot { frac {(N-n_ {1} -n_ {2})!} {(N-n_ {1} -n_ {2} -n_ {3}) ! n_ {3}!}} cdots.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25915f8c54c4a0bdacebdd92ec034cf0fb42bc67)
После отмены мы приходим к формуле, приведенной во введении.
Количество уникальных перестановок слов
Мультиномиальный коэффициент - это также количество различных способов переставлять а мультимножество из п элементы и kя являются множественность каждого из отдельных элементов. Например, количество различных перестановок букв слова MISSISSIPPI, которое имеет 1 M, 4 Is, 4 Ss и 2 Ps, равно
![{11 choose 1,4,4,2} = { frac {11!} {1! , 4! , 4! , 2!}} = 34650.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3ca758de254769f21464cb04f8af80ae36f4a4)
(Это все равно что сказать, что существует 11! Способов переставлять буквы - обычное толкование факториал как количество уникальных перестановок. Однако мы создали повторяющиеся перестановки, потому что некоторые буквы совпадают и должны разделиться, чтобы исправить наш ответ.)
Обобщенный треугольник Паскаля
Можно использовать полиномиальную теорему для обобщения Треугольник Паскаля или же Пирамида паскаля к Симплекс Паскаля. Это обеспечивает быстрый способ создания таблицы поиска для полиномиальных коэффициентов.
Смотрите также
Рекомендации