Simplex Pascals - Википедия - Pascals simplex

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: "Симплекс Паскаля"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Октябрь 2020) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, Симплекс Паскаля является обобщением Треугольник Паскаля на произвольное количество размеры, на основе полиномиальная теорема.

Общий Паскаля м-суплекс

Позволять м (м > 0) - количество слагаемых многочлена и п (п ≥ 0) - степень возведения полинома.

Позволять ${ Displaystyle клин ^ {м}}$ обозначают Паскаля м-симплекс. Каждый Паскаля м-симплекс это полубесконечный объект, состоящий из бесконечного ряда своих компонентов.

Позволять ${ Displaystyle клин _ {п} ^ {м}}$ обозначить его п^th компонент, сам по себе конечный (м - 1)-симплекс с длиной кромки п, с условным эквивалентом ${ displaystyle vartriangle _ {n} ^ {m-1}}$.

п^th компонент

${ Displaystyle клин _ {п} ^ {m} = vartriangle _ {п} ^ {м-1}}$ состоит из коэффициенты полиномиального разложения полинома с м термины возведены в степень п:

${ displaystyle | x | ^ {n} = sum _ {| k | = n} {{ binom {n} {k}} x ^ {k}}; x in mathbb {R} ^ {m}, k in mathbb {N} _ {0} ^ {m}, n in mathbb {N} _ {0}, m in mathbb {N}}$

куда ${ displaystyle textstyle | x | = sum _ {i = 1} ^ {m} {x_ {i}}, | k | = sum _ {i = 1} ^ {m} {k_ {i} }, x ^ {k} = prod _ {i = 1} ^ {m} {x_ {i} ^ {k_ {i}}}}$.

Пример для ${ Displaystyle клин ^ {4}}$

4-симплекс Паскаля (последовательность A189225 в OEIS ), разрезанный по k₄. Все точки одного цвета принадлежат одному и тому же п-й компонент, от красного (для п = 0) в синий (для п = 3).

Конкретные симплексы Паскаля

1-симплекс Паскаля

${ Displaystyle клин ^ {1}}$ не известен под каким-либо особым именем.

п^th компонент

${ Displaystyle клин _ {п} ^ {1} = vartriangle _ {п} ^ {0}}$ (точка) - это коэффициент полиномиального расширения полинома с одним членом в степени п:

${ displaystyle (x_ {1}) ^ {n} = sum _ {k_ {1} = n} {n select k_ {1}} x_ {1} ^ {k_ {1}}; k_ { 1}, n in mathbb {N} _ {0}}$

Организация ${ displaystyle vartriangle _ {n} ^ {0}}$

${ displaystyle textstyle {п выбрать п}}$

что равно 1 для всех п.

2-симплекс Паскаля

${ Displaystyle клин ^ {2}}$ известен как Треугольник Паскаля (последовательность A007318 в OEIS ).

п^th компонент

${ Displaystyle клин _ {п} ^ {2} = vartriangle _ {п} ^ {1}}$ (линия) состоит из коэффициентов при биномиальное разложение полинома с двумя членами в степени п:

${ displaystyle (x_ {1} + x_ {2}) ^ {n} = sum _ {k_ {1} + k_ {2} = n} {n select k_ {1}, k_ {2}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}}; k_ {1}, k_ {2}, n in mathbb {N} _ {0}}$

Организация ${ Displaystyle vartriangle _ {п} ^ {1}}$

${ Displaystyle textstyle {п выбрать n, 0}, {n выбрать n-1,1}, cdots, {n выбрать 1, n-1}, {n выбрать 0, n}}$

3-симплекс Паскаля

${ Displaystyle клин ^ {3}}$ известен как Тетраэдр Паскаля (последовательность A046816 в OEIS ).

п^th компонент

${ Displaystyle клин _ {п} ^ {3} = vartriangle _ {п} ^ {2}}$ (треугольник) состоит из коэффициентов при трехчленное разложение полинома с тремя членами в степени п:

${ displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3}) ^ {n} = sum _ {k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} = n} {n select k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} x_ {3} ^ {k_ {3}}; k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, n in mathbb {N} _ {0}}$

Организация ${ Displaystyle vartriangle _ {п} ^ {2}}$

${ displaystyle { begin {align} textstyle {n choose n, 0,0} &, textstyle {n choose n-1,1,0}, cdots cdots, {n select 1, n -1,0}, {n choose 0, n, 0} textstyle {n choose n-1,0,1} &, textstyle {n choose n-2,1,1}, cdots cdots, {п выбрать 0, п-1,1} & vdots textstyle {п выбрать 1,0, п-1} &, textstyle {п выбрать 0,1, п -1} textstyle {n выбрать 0,0, n} end {align}}}$

Характеристики

Наследование компонентов

${ Displaystyle клин _ {п} ^ {m} = vartriangle _ {п} ^ {м-1}}$ численно равен каждому (м - 1) -лицо (есть м + 1 из них) из ${ displaystyle vartriangle _ {n} ^ {m} = wedge _ {n} ^ {m + 1}}$, или же:

${ displaystyle wedge _ {n} ^ {m} = vartriangle _ {n} ^ {m-1} subset vartriangle _ {n} ^ {m} = wedge _ {n} ^ {m + 1}}$

Из этого следует, что весь ${ Displaystyle клин ^ {м}}$ является (м + 1) -включено в ${ Displaystyle клин ^ {м + 1}}$, или же:

${ Displaystyle клин ^ {м} подмножество клин ^ {м + 1}}$

Пример

        ${ Displaystyle  клин ^ {1}}$         ${ Displaystyle  клин ^ {2}}$        ${ Displaystyle  клин ^ {3}}$         ${ Displaystyle  клин ^ {4}}$${ displaystyle  wedge _ {0} ^ {m}}$     1          1          1          1${ Displaystyle  клин _ {1} ^ {м}}$     1         1 1        1 1        1 1  1                             1          1${ displaystyle  wedge _ {2} ^ {m}}$     1        1 2 1      1 2 1      1 2 1  2 2  1                            2 2        2 2    2                             1          1${ displaystyle  wedge _ {3} ^ {m}}$     1       1 3 3 1    1 3 3 1    1 3 3 1  3 6 3  3 3  1                           3 6 3      3 6 3    6 6    3                            3 3        3 3      3                             1          1

Дополнительные термины в приведенном выше массиве см. В (последовательность A191358 в OEIS )

Равноправие лиц

Наоборот, ${ Displaystyle клин _ {n} ^ {m + 1} = vartriangle _ {n} ^ {m}}$ является (м +1) -кратное время, ограниченное ${ displaystyle vartriangle _ {n} ^ {m-1} = wedge _ {n} ^ {m}}$, или же:

${ Displaystyle клин _ {n} ^ {m + 1} = vartriangle _ {n} ^ {m} supset vartriangle _ {n} ^ {m-1} = wedge _ {n} ^ {m }}$

Из этого следует, что при данном п, все я-лицы численно равны в п^th компоненты всех языков Паскаля (м > я) -симплексы, или:

${ Displaystyle клин _ {п} ^ {я + 1} = vartriangle _ {n} ^ {i} subset vartriangle _ {n} ^ {m> i} = wedge _ {n} ^ {m > я + 1}}$

Пример

3-я компонента (2-симплекс) 3-симплекса Паскаля ограничена 3 равными 1-гранями (линиями). Каждая 1-грань (линия) ограничена двумя равными 0-гранями (вершинами):

2-симплексные 1-грани 2-симплексных 0-граней 1-грани 1 3 3 1 1. . . . . . 1 1 3 3 1 1. . . . . . 1 3 6 3 3. . . . 3. . . 3 3 3. . 3. . 1 1 1.

Также для всех м и все п:

${ displaystyle 1 = wedge _ {n} ^ {1} = vartriangle _ {n} ^ {0} subset vartriangle _ {n} ^ {m-1} = wedge _ {n} ^ {m }}$

Количество коэффициентов

Для п^th компонент ((м - 1) -симплекс) Паскаля м-симплекс, количество коэффициенты полиномиального разложения он состоит из:

${ Displaystyle {(п-1) + (м-1) выбрать (м-1)} + {п + (м-2) выбрать (м-2)} = {п + (м-1) выбрать ( m-1)} = left ({ binom {m} {n}} right),}$

(где последний множественный выбор обозначение). Мы можем видеть это либо как сумму числа коэффициентов при (п − 1)^th компонент ((м - 1) -симплекс) Паскаля м-симплекс с числом коэффициентов п^th компонент ((м - 2) -симплекс) Паскаля (м - 1) -симплекс, или рядом всех возможных разбиений п^th власть среди м экспоненты.

Пример

Термины этой таблицы представляют собой треугольник Паскаля в формате симметричной Матрица Паскаля.

Симметрия

An п^th компонент ((м - 1) -симплекс) Паскаля м-simplex имеет (м!) - складная пространственная симметрия.

Геометрия

Ортогональные оси ${ displaystyle k_ {1} ... k_ {m}}$ в m-мерном пространстве вершины компонента в n на каждой оси, вершина в [0, ..., 0] для ${ displaystyle n = 0}$.

Числовая конструкция

Завернутый п-я степень большого числа дает мгновенно п-й компонент симплекса Паскаля.

${ displaystyle left | b ^ {dp} right | ^ {n} = sum _ {| k | = n} {{ binom {n} {k}} b ^ {dp cdot k}}; b, d in mathbb {N}, n in mathbb {N} _ {0}, k, p in mathbb {N} _ {0} ^ {m}, p: p_ {1} = 0, p_ {i} = (n + 1) ^ {i-2}}$

куда ${ displaystyle textstyle b ^ {dp} = (b ^ {dp_ {1}}, cdots, b ^ {dp_ {m}}) in mathbb {N} ^ {m}, p cdot k = { sum _ {i = 1} ^ {m} {p_ {i} k_ {i}}} in mathbb {N} _ {0}}$.