Трехчленное разложение - Trinomial expansion

В математика, а трехчленное разложение представляет собой разложение степени суммы трех членов в мономы. Расширение дается

{ displaystyle (a + b + c) ^ {n} = sum _ { stackrel {i, j, k} {i + j + k = n}} {n select i, j, k} , a ^ {i} , b ^ {; ! j} ; ! c ^ {k},}

где $п$ - целое неотрицательное число, и сумма берется по всем комбинациям неотрицательных индексов $я, j,$ и $k$ такой, что $я + j + k = п$ .^[1] В трехчленные коэффициенты даны

{ displaystyle {n choose i, j, k} = { frac {n!} {i! , j! , k!}} ,.}

Эта формула является частным случаем полиномиальная формула для $м = 3$ . Коэффициенты можно определить с помощью обобщения Треугольник Паскаля в трех измерениях, называемых Пирамида паскаля или тетраэдр Паскаля.^[2]

Свойства

Количество членов расширенного трехчлена - это треугольное число

{ displaystyle t_ {n + 1} = { frac {(n + 2) (n + 1)} {2}},}

где $п$ - показатель степени, до которого возводится трехчлен.^[3]

пример

Пример трехчленного разложения с ${ displaystyle n = 2}$ является :

${ displaystyle (a + b + c) ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + 2ab + 2bc + 2ca}$

Смотрите также

использованная литература

^ Коши, Томас (2004), Дискретная математика с приложениями, Academic Press, стр. 889, г. ISBN 9780080477343.
^ Харрис, Джон; Херст, Джеффри Л .; Моссингхофф, Майкл (2009), Комбинаторика и теория графов, Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.), Springer, p. 146, ISBN 9780387797113.
^ Розенталь, Э. Р. (1961), "Пирамида Паскаля для трехчленных коэффициентов", Учитель математики, 54 (5): 336–338.

[1] Коши, Томас (2004), Дискретная математика с приложениями, Academic Press, стр. 889, г. ISBN 9780080477343.

[2] Харрис, Джон; Херст, Джеффри Л .; Моссингхофф, Майкл (2009), Комбинаторика и теория графов, Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.), Springer, p. 146, ISBN 9780387797113.

[3] Розенталь, Э. Р. (1961), "Пирамида Паскаля для трехчленных коэффициентов", Учитель математики, 54 (5): 336–338.

[1]

[2]

[3]