Тесты сходимости - Википедия - Convergence tests

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  (обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Товар Цепь Мощность Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный интеграл  (неподходящий ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Замена  (тригонометрический, Weierstrass, Эйлер ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла
Серии Геометрический  (арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Мощность Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Глоссарий исчисления Глоссарий исчисления Список тем по математике

В математика, тесты сходимости методы тестирования на конвергенция, условная сходимость, абсолютная конвергенция, интервал сходимости или расхождение бесконечная серия ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$.

Список тестов

Предел слагаемого

Если предел слагаемого не определен или не равен нулю, то это ${ Displaystyle lim _ {п к infty} а_ {п} neq 0}$, то серии должны расходиться. В этом смысле частичные суммы равны Коши только если этот предел существует и равен нулю. Проверка неубедительна, если предел слагаемого равен нулю.

Соотношение тест

Это также известно как критерий Даламбера.

Предположим, что существует ${ displaystyle r}$ такой, что

${ displaystyle lim _ {n to infty} left | { frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} right | = r.}$

Если р <1, то ряд абсолютно сходится. Если р > 1, то ряд расходится. Если р = 1, тест отношения неубедителен, и ряд может сходиться.

Корневой тест

Это также известно как пкорень th или же Критерий Коши.

Позволять

${ displaystyle r = limsup _ {n to infty} { sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

куда ${ displaystyle limsup}$ обозначает предел высшего (возможно ${ displaystyle infty}$; если предел существует, это то же значение).

Если р <1, то ряд сходится. Если р > 1, то ряд расходится. Если р = 1, корневой тест неубедителен, и ряды могут сходиться или расходиться.

Корневой тест сильнее, чем тест отношения: всякий раз, когда тест отношения определяет сходимость или расхождение бесконечного ряда, корневой тест делает то же самое, но не наоборот.^[1]

Например, для сериала

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ... = 4

сходимость следует из теста корня, но не из теста отношения.^[2]

Интегральный тест

Ряд можно сравнить с интегралом, чтобы установить сходимость или расхождение. Позволять ${ displaystyle f: [1, infty) to mathbb {R} _ {+}}$ быть неотрицательным и монотонно убывающая функция такой, что ${ displaystyle f (n) = a_ {n}}$.

Если

${ displaystyle int _ {1} ^ { infty} е (х) , dx = lim _ {t to infty} int _ {1} ^ {t} f (x) , dx < infty,}$

тогда ряд сходится. Но если интеграл расходится, то расходится и ряд.

Другими словами, сериал ${ displaystyle {a_ {n}}}$ сходится если и только если интеграл сходится.

Тест прямого сравнения

Если сериал ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} b_ {п}}$ является абсолютно сходящийся серии и ${ displaystyle | a_ {n} | leq | b_ {n} |}$ для достаточно большого п , то серия ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$ сходится абсолютно.

Предел сравнительный тест

Если ${ displaystyle {a_ {n} }, {b_ {n} }> 0}$, (то есть каждый элемент двух последовательностей положителен) и предел ${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}}$ существует, конечна и отлична от нуля, то ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$ расходится если и только если ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} b_ {п}}$ расходится.

Тест конденсации Коши

Позволять ${ displaystyle left {a_ {n} right }}$ - положительная невозрастающая последовательность. Тогда сумма ${ Displaystyle А = сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$ сходится если и только если сумма ${ displaystyle A ^ {*} = sum _ {n = 0} ^ { infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}}}$ сходится. Более того, если они сходятся, то ${ Displaystyle A leq A ^ {*} leq 2A}$ держит.

Тест Авеля

Предположим, что верны следующие утверждения:

1. ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ сходящийся ряд,
2. ${ displaystyle left {b_ {n} right }}$ - монотонная последовательность, а
3. ${ displaystyle left {b_ {n} right }}$ ограничено.

потом ${ displaystyle sum a_ {n} b_ {n}}$ также сходится.

Тест абсолютной сходимости

Каждый абсолютно сходящийся ряд сходится.

Тест чередующейся серии

Это также известно как Критерий Лейбница.

Предположим, что верны следующие утверждения:

1. ${ Displaystyle lim _ {п к infty} а_ {п} = 0}$,
2. для каждого п, ${ Displaystyle а_ {п + 1} leq а_ {п}}$

потом ${ displaystyle sum _ {n = k} ^ { infty} (- 1) ^ {n} a_ {n}}$ и ${ Displaystyle сумма _ {п = к} ^ { infty} (- 1) ^ {п + 1} а_ {п}}$ сходятся ряды.

Тест Дирихле

Если ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ это последовательность из действительные числа и ${ displaystyle {b_ {n} }}$ последовательность сложные числа удовлетворение

• ${ Displaystyle а_ {п} geq а_ {п + 1}}$

• ${ displaystyle lim _ {п rightarrow infty} a_ {n} = 0}$

• ${ displaystyle left | sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} right | leq M}$ для каждого положительного целого числа N

куда M - некоторая константа, то ряд

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} b_ {n}}$

сходится.

Тест Раабе-Дюамеля

Позволять ${ displaystyle a_ {n}> 0}$.

Определять

${ displaystyle b_ {n} = n left ({ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 right).}$

Если

${ displaystyle L = lim _ {n to infty} b_ {n}}$

существует три возможности:

• если L > 1 ряд сходится
• если L <1 ряд расходится
• и если L = 1 тест неубедителен.

Альтернативная формулировка этого теста следующая. Позволять { а_п} быть серией действительных чисел. Тогда если б > 1 и K (натуральное число) существуют такие, что

${ displaystyle left | { frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} right | leq 1 - { frac {b} {n}}}$

для всех п > K тогда серия {а_п} сходится.

Тест Бертрана

Позволять { а_п } - последовательность положительных чисел.

Определять

${ displaystyle b_ {n} = ln n left (n left ({ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 right) -1 right).}$

Если

${ displaystyle L = lim _ {n to infty} b_ {n}}$

существует, есть три возможности:^[3][4]

• если L > 1 ряд сходится
• если L <1 ряд расходится
• и если L = 1 тест неубедителен.

Тест Гаусса

Позволять { а_п } - последовательность положительных чисел. Если ${ displaystyle { frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} = 1 + { frac { alpha} {n}} + O (1 / n ^ { beta})}$ для некоторого β> 1, то ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ сходится, если α> 1 и расходится, если α ≤ 1.^[5]

Примечания

• Для некоторых конкретных типов рядов существуют более специализированные тесты сходимости, например, для Ряд Фурье Здесь Тест Дини.

Примеры

Рассмотрим серию

${ displaystyle (*) ; ; ; sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ { alpha}}}.}$

Тест конденсации Коши следует, что (*) конечно сходится, если

${ displaystyle (**) ; ; ; sum _ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ {n} left ({ frac {1} {2 ^ {n}}} right ) ^ { alpha}}$

конечно сходится. С

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ {n} left ({ frac {1} {2 ^ {n}}} right) ^ { alpha} = sum _ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ {nn alpha} = sum _ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ {(1- alpha) n}}$

(**) - геометрический ряд с соотношением ${ Displaystyle 2 ^ {(1- альфа)}}$. (**) конечно сходится, если его отношение меньше единицы (а именно ${ displaystyle alpha> 1}$). Таким образом, (*) конечно сходится если и только если ${ displaystyle alpha> 1}$.

Конвергенция продуктов

Хотя большинство тестов имеют дело с сходимостью бесконечных рядов, их также можно использовать, чтобы показать сходимость или расхождение бесконечные продукты. Этого можно добиться с помощью следующей теоремы: Пусть ${ displaystyle left {a_ {n} right } _ {n = 1} ^ { infty}}$ последовательность положительных чисел. Тогда бесконечное произведение ${ Displaystyle prod _ {п = 1} ^ { infty} (1 + а_ {п})}$ сходится если и только если сериал ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$ сходится. Также аналогично, если ${ Displaystyle 0 <а_ {п} <1}$ держит, то ${ Displaystyle prod _ {п = 1} ^ { infty} (1-а_ {п})}$ приближается к ненулевому пределу тогда и только тогда, когда ряд ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$ сходится.

Это можно доказать, логарифмируя произведение и используя тест сравнения пределов.^[6]

Смотрите также

• Правило L'Hôpital
• Правило смены

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Лейтольд, Луи (1972). Исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.). Нью-Йорк: Харпер и Роу. С. 655–737. ISBN  0-06-043959-9.

внешняя ссылка

• Блок-схема выбора теста сходимости