Интеграция по формуле Эйлера - Википедия - Integration using Eulers formula

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Интегрирование по формуле Эйлера»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июль 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В интегральное исчисление, Формула Эйлера за сложные числа может использоваться для оценки интегралы с участием тригонометрические функции. Используя формулу Эйлера, любую тригонометрическую функцию можно записать в терминах комплексных экспоненциальных функций, а именно ${ displaystyle e ^ {ix}}$ и ${ displaystyle e ^ {- ix}}$ а затем интегрировали. Этот метод часто проще и быстрее, чем использование тригонометрические тождества или же интеграция по частям, и достаточно мощный, чтобы интегрировать любые рациональное выражение с участием тригонометрических функций.

Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что ^[1]

${ Displaystyle е ^ {ix} = соз х + я , грех х.}$

Подстановка ${ displaystyle -x}$ за ${ displaystyle x}$ дает уравнение

${ Displaystyle е ^ {- ix} = соз х-я , грех х}$

потому что косинус - четная функция, а синус - нечетная. Эти два уравнения можно решить относительно синуса и косинуса, чтобы получить

${ displaystyle cos x = { frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}} quad { text {and}} quad sin x = { frac {e ^ { ix} -e ^ {- ix}} {2i}}.}$

Примеры

Первый пример

Рассмотрим интеграл

${ displaystyle int cos ^ {2} x , dx.}$

Стандартный подход к этому интегралу заключается в использовании формула полуугла чтобы упростить подынтегральное выражение. Вместо этого мы можем использовать тождество Эйлера:

${ displaystyle { begin {align} int cos ^ {2} x , dx , & = , int left ({ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} { 2}} right) ^ {2} dx [6pt] & = , { frac {1} {4}} int left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} справа) dx end {выровнен}}}$

На этом этапе можно будет вернуться к действительным числам, используя формулу е^2ix + е^−2ix = 2 cos 2Икс. В качестве альтернативы мы можем интегрировать комплексные экспоненты и не возвращаться к тригонометрическим функциям до конца:

${ displaystyle { begin {align} { frac {1} {4}} int left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} right) dx & = { frac {1} { 4}} left ({ frac {e ^ {2ix}} {2i}} + 2x - { frac {e ^ {- 2ix}} {2i}} right) + C [6pt] & = { frac {1} {4}} left (2x + sin 2x right) + C. end {выравнивается}}}$

Второй пример

Рассмотрим интеграл

${ displaystyle int sin ^ {2} x cos 4x , dx.}$

Этот интеграл было бы чрезвычайно утомительно решать с использованием тригонометрических тождеств, но использование тождества Эйлера делает его относительно безболезненным:

${ displaystyle { begin {align} int sin ^ {2} x cos 4x , dx & = int left ({ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} } right) ^ {2} left ({ frac {e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix}} {2}} right) dx [6pt] & = - { frac {1} {8}} int left (e ^ {2ix} -2 + e ^ {- 2ix} right) left (e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix} right) dx [6pt] & = - { frac {1} {8}} int left (e ^ {6ix} -2e ^ {4ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2e ^ {- 4ix} + e ^ {- 6ix} right) dx. end {align}}}$

На этом этапе мы можем либо интегрировать напрямую, либо сначала изменить подынтегральное выражение на 2 cos 6Икс - 4 cos 4Икс + 2 cos 2Икс и продолжить оттуда. Любой метод дает

${ displaystyle int sin ^ {2} x cos 4x , dx = - { frac {1} {24}} sin 6x + { frac {1} {8}} sin 4x - { frac {1} {8}} sin 2x + C.}$

Использование реальных деталей

Помимо тождества Эйлера, может оказаться полезным разумное использование реальные части сложных выражений. Например, рассмотрим интеграл

${ Displaystyle int е ^ {х} соз х , dx.}$

С потому что Икс это настоящая часть е^ix, мы знаем это

${ displaystyle int e ^ {x} cos x , dx = operatorname {Re} int e ^ {x} e ^ {ix} , dx.}$

Интеграл справа вычислить легко:

${ displaystyle int e ^ {x} e ^ {ix} , dx = int e ^ {(1 + i) x} , dx = { frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i}} + C.}$

Таким образом:

${ displaystyle { begin {align} int e ^ {x} cos x , dx & = operatorname {Re} left ({ frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i }} right) + C [6pt] & = e ^ {x} operatorname {Re} left ({ frac {e ^ {ix}} {1 + i}} right) + C [6pt] & = e ^ {x} operatorname {Re} left ({ frac {e ^ {ix} (1-i)} {2}} right) + C [6pt] & = e ^ {x} { frac { cos x + sin x} {2}} + C. end {align}}}$

Фракции

В общем, этот метод можно использовать для вычисления любых дробей, включающих тригонометрические функции. Например, рассмотрим интеграл

${ displaystyle int { frac {1+ cos ^ {2} x} { cos x + cos 3x}} , dx.}$

Используя тождество Эйлера, этот интеграл принимает вид

${ displaystyle { frac {1} {2}} int { frac {6 + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {e ^ {ix} + e ^ {- ix} + e ^ {3ix} + e ^ {- 3ix}}} , dx.}$

Если мы сейчас сделаем замена ты = е^ix, результатом является интеграл от рациональная функция:

${ displaystyle - { frac {i} {2}} int { frac {1 + 6u ^ {2} + u ^ {4}} {1 + u ^ {2} + u ^ {4} + u ^ {6}}} , du.}$

Можно продолжить использование частичное разложение на фракции.

Смотрите также

• Тригонометрическая замена
• Замена Вейерштрасса
• Подстановка Эйлера

Рекомендации