Интеграл Стратоновича - Stratonovich integral

В случайные процессы, то Интеграл Стратоновича (разработан одновременно Руслан Стратонович и Дональд Фиск ) это стохастический интеграл, наиболее распространенная альтернатива Ито интегральный. Хотя интеграл Ито является обычным выбором в прикладной математике, интеграл Стратоновича часто используется в физике.

В некоторых случаях интегралами в определении Стратоновича легче манипулировать. в отличие от Исчисление Ито, Интегралы Стратоновича определены так, что Правило цепи обычного исчисления.

Возможно, наиболее распространенная ситуация, в которой они встречаются, - это решение Стратоновича. стохастические дифференциальные уравнения (СДЭ). Они эквивалентны SDE Ито, и их можно преобразовать, если одно определение более удобно.

Определение

Интеграл Стратоновича можно определить аналогично Интеграл Римана, то есть как предел из Суммы Римана. Предположим, что ${ displaystyle W: [0, T] times Omega to mathbb {R}}$ это Винеровский процесс и ${ Displaystyle X: [0, T] times Omega to mathbb {R}}$ это семимартингал адаптированный к естественному фильтрация винеровского процесса. Тогда Интеграл Стратоновича

{ displaystyle int _ {0} ^ {T} X_ {t} circ mathrm {d} W_ {t}}

случайная величина ${ displaystyle: Omega to mathbb {R}}$ определяется как предел в среднем квадрате из^[1]

{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {k-1} {X_ {t_ {i + 1}} + X_ {t_ {i}} over 2} left (W_ {t_ {i + 1}) } -W_ {t_ {i}} right)}

как сетка раздела ${ displaystyle 0 = t_ {0}$ из ${ displaystyle [0, T]}$ стремится к 0 (в стиле Интеграл Римана – Стилтьеса. ).

Расчет

Для интеграла Стратоновича можно использовать многие методы интегрирования обычного исчисления, например: если ж:р→р - гладкая функция, то

{ displaystyle int _ {0} ^ {T} f '(W_ {t}) circ mathrm {d} W_ {t} = f (W_ {T}) - f (W_ {0})}

и вообще, если ж:р×р→р - гладкая функция, то

{ displaystyle int _ {0} ^ {T} { partial f over partial W} (W_ {t}, t) circ mathrm {d} W_ {t} + int _ {0} ^ {T} { partial f over partial t} (W_ {t}, t) , mathrm {d} t = f (W_ {T}, T) -f (W_ {0}, 0). }

Это последнее правило похоже на цепное правило обычного исчисления.

Численные методы

Стохастические интегралы редко могут быть решены в аналитической форме, что делает стохастический численное интегрирование важная тема во всех случаях использования стохастических интегралов. Различные численные приближения сходятся к интегралу Стратоновича, и его вариации используются для решения СДУ Стратоновича (Kloeden & Platen 1992 Отметим, однако, что наиболее широко используемая схема Эйлера ( Метод Эйлера – Маруямы ) для численного решения Уравнения Ланжевена требует, чтобы уравнение было в форме Ито.^[2]

Дифференциальная запись

Если Икс_т, Y_т и Z_т - случайные процессы такие, что

{ Displaystyle X_ {T} -X_ {0} = int _ {0} ^ {T} Y_ {t} circ mathrm {d} W_ {t} + int _ {0} ^ {T} Z_ {t} , mathrm {d} t}

для всех Т> 0, также пишем

{ displaystyle mathrm {d} X = Y circ mathrm {d} W + Z , mathrm {d} t.}

Это обозначение часто используется для формулировки стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), которые на самом деле представляют собой уравнения о стохастических интегралах. Он совместим с обозначениями из обычного исчисления, например

{ Displaystyle mathrm {d} (т ^ {2} , W ^ {3}) = 3t ^ {2} W ^ {2} circ mathrm {d} W + 2tW ^ {3} , mathrm {d} t.}

Сравнение с интегралом Ито

В Ито интегральный процесса Икс относительно винеровского процесса W обозначается

{ displaystyle int _ {0} ^ {T} X_ {t} , mathrm {d} W_ {t}}

(без кружка). Для его определения используется та же процедура, что и выше при определении интеграла Стратоновича, за исключением выбора значения процесса ${ displaystyle X}$ в левой конечной точке каждого подынтервала, т.е.

{ displaystyle X_ {t_ {i}}}

на месте

{ Displaystyle (Х_ {т_ {я + 1}} + Х_ {т_ {я}}) / 2}

Этот интеграл не подчиняется обычному цепному правилу, как интеграл Стратоновича; вместо этого нужно использовать немного более сложный Лемма Ито.

Преобразование между интегралами Ито и Стратоновича может быть выполнено с использованием формулы

{ displaystyle int _ {0} ^ {T} f (W_ {t}, t) circ mathrm {d} W_ {t} = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {T} { partial f over partial W} (W_ {t}, t) , mathrm {d} t + int _ {0} ^ {T} f (W_ {t}, t) , mathrm {d} W_ {t},}

где ƒ - любая непрерывно дифференцируемая функция двух переменных W и т а последний интеграл - это интеграл Ито (Kloeden & Platen 1992, п. 101).

Отсюда следует, что если Икс_т представляет собой однородную во времени диффузию Ито с непрерывно дифференцируемым коэффициентом диффузии σ (т.е. удовлетворяет SDE ${ Displaystyle mathrm {d} X_ {t} = mu (X_ {t}) , mathrm {d} t + sigma (X_ {t}) , mathrm {d} W_ {t}}$ ), у нас есть

{ displaystyle int _ {0} ^ {T} sigma (X_ {t}) circ mathrm {d} W_ {t} = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {T} { frac {d sigma} {dx}} (X_ {t}) sigma (X_ {t}) , mathrm {d} t + int _ {0} ^ {T} sigma ( X_ {t}) , mathrm {d} W_ {t}.}

В общем, для любых двух семимартингалы Икс и Y

{ displaystyle int _ {0} ^ {T} X_ {s -} circ mathrm {d} Y_ {s} = int _ {0} ^ {T} X_ {s -} , mathrm { d} Y_ {s} + { frac {1} {2}} [X, Y] _ {T} ^ {c},}

где ${ displaystyle [X, Y] _ {T} ^ {c}}$ является непрерывной частью ковариация.

Интегралы Стратоновича в приложениях

В интеграле Стратоновича отсутствует важное свойство интеграла Ито, которое не «смотрит в будущее». Во многих реальных приложениях, таких как моделирование цен на акции, есть только информация о прошлых событиях, и поэтому интерпретация Ито более естественна. В финансовой математике обычно используется интерпретация Ито.

В физике, однако, стохастические интегралы встречаются как решения Уравнения Ланжевена. Уравнение Ланжевена - это грубая версия более микроскопической модели; в зависимости от рассматриваемой проблемы уместны интерпретации Стратоновича или Ито или даже более экзотические интерпретации, такие как изотермическая интерпретация. Интерпретация Стратоновича - наиболее часто используемая интерпретация в физических науках.

В Теорема Вонга – Закая утверждает, что физические системы со спектром небелого шума, характеризующимся конечным временем корреляции шума τ, могут быть аппроксимированы уравнением Ланжевена с белым шумом в интерпретации Стратоновича в пределе, когда τ стремится к нулю.^{[нужна цитата ]}

Поскольку исчисление Стратоновича удовлетворяет обыкновенному цепному правилу, стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) в смысле Стратоновича проще определять на дифференцируемые многообразия, а не просто р^п. Сложное цепное правило исчисления Ито делает его более неудобным выбором для многообразий.

Интерпретация Стратоновича и суперсимметричная теория СДУ

В суперсимметричной теории СДУ оператору стохастической эволюции за конечное время дается наиболее естественный математический смысл стохастически усредненного отката, индуцированного на внешней алгебре фазового пространства диффеоморфизмами, зависящими от конфигурации шума СДУ. Этот оператор уникален и соответствует интерпретации СДУ Стратоновича. Кроме того, подход Стратоновича эквивалентен соглашению о симметризации Вейля, необходимому для устранения неоднозначности оператора стохастической эволюции во время перехода от интеграла по путям к его операторному представлению. Кроме того, в приложении к работе^[3] Показано, что широко распространенная аргументация о том, что, в отличие от подхода Ито, подход Стратоновича «смотрит» в будущее, является заблуждением. Ни один из подходов к ДЗО «не смотрит» в будущее. Единственное преимущество подхода Ито состоит в том, что изменение координаты на каждом временном шаге задается как явная функция от текущей координаты, тогда как во всех других подходах к SDE эта функция является неявной. Это преимущество, однако, не имеет математического или физического значения, и, следовательно, подход Ито не имеет никаких преимуществ перед, скажем, подходом Стратоновича к СДУ. В то же время использование подхода Ито приводит к оператору стохастической эволюции со смещенным векторным полем потока по сравнению с исходным рассматриваемым СДУ.

Заметки

^ Гардинер (2004), стр. 98 и комментарий к стр. 101
^ Perez-Carrasco R .; Санчо Дж. М. (2010). «Стохастические алгоритмы прерывистого мультипликативного белого шума» (PDF). Phys. Ред. E. 81 (3): 032104. Bibcode:2010PhRvE..81c2104P. Дои:10.1103 / PhysRevE.81.032104. PMID 20365796.
^ Овчинников, И. (2016). «Введение в суперсимметричную теорию стохастики». Энтропия. 18 (4): 108. arXiv:1511.03393. Bibcode:2016Entrp..18..108O. Дои:10.3390 / e18040108.

использованная литература

Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями. Спрингер, Берлин. ISBN 3-540-04758-1.
Гардинер, Криспин В. (2004). Справочник по стохастическим методам (3-е изд.). Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. ISBN 3-540-20882-8.
Джарроу, Роберт; Проттер, Филипп (2004). «Краткая история стохастической интеграции и математических финансов: первые годы, 1880–1970». Конспект лекций IMS Монография. 45: 1–17. CiteSeerX 10.1.1.114.632.
Kloeden, Peter E .; Платен, Экхард (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений. Приложения математики. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-54062-5.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт).

[1] Гардинер (2004), стр. 98 и комментарий к стр. 101

[2] Perez-Carrasco R .; Санчо Дж. М. (2010). «Стохастические алгоритмы прерывистого мультипликативного белого шума» (PDF). Phys. Ред. E. 81 (3): 032104. Bibcode:2010PhRvE..81c2104P. Дои:10.1103 / PhysRevE.81.032104. PMID 20365796.

[3] Овчинников, И. (2016). «Введение в суперсимметричную теорию стохастики». Энтропия. 18 (4): 108. arXiv:1511.03393. Bibcode:2016Entrp..18..108O. Дои:10.3390 / e18040108.

[1]

[2]

[3]