Контурная интеграция - Contour integration

В математической области комплексный анализ, контурная интеграция это метод оценки определенных интегралы по путям в комплексной плоскости.^[1][2][3]

Контурное интегрирование тесно связано с исчислением остатков,^[4] метод комплексный анализ.

Одним из применений контурных интегралов является оценка интегралов по действительной прямой, которые нелегко найти с использованием только методов вещественных переменных.^[5]

Методы контурной интеграции включают

• прямая интеграция сложный -значная функция вдоль кривой на комплексной плоскости (a контур)
• применение Интегральная формула Коши
• применение теорема о вычетах

Для нахождения этих интегралов или сумм может использоваться один метод или комбинация этих методов или различных ограничивающих процессов.

Кривые на комплексной плоскости

В комплексный анализ а контур тип кривой в комплексная плоскость. При интеграции контуров контуры обеспечивают точное определение кривые на котором можно соответствующим образом определить интеграл. А изгиб в комплексной плоскости определяется как непрерывная функция из закрытый интервал из реальная линия в комплексную плоскость: z : [а, б] → C.

Это определение кривой совпадает с интуитивным понятием кривой, но включает параметризацию с помощью непрерывной функции на отрезке. Это более точное определение позволяет нам определить, какими свойствами должна обладать кривая, чтобы ее можно было использовать для интеграции. В следующих подразделах мы сузим набор кривых, которые мы можем интегрировать, чтобы включить только те, которые могут быть построены из конечного числа непрерывных кривых, которым можно задать направление. Более того, мы ограничим "куски" пересечения самих себя, и мы потребуем, чтобы каждый кусок имел конечную (отличную от нуля) непрерывную производную. Эти требования соответствуют требованию, чтобы мы рассматривали только кривые, которые можно проследить, например, пером, в последовательности ровных, устойчивых штрихов, которые останавливаются только для начала нового участка кривой, и все это без взятия пера.^[6]

Направленные плавные кривые

Контуры часто определяют в виде направленных гладких кривых.^[6] Они обеспечивают точное определение «отрезка» плавной кривой, из которой состоит контур.

А плавная кривая кривая z : [а, б] → C с ненулевой непрерывной производной такой, что каждая точка обходится только один раз (z взаимно однозначно), за возможным исключением кривой такой, что конечные точки совпадают (z(а) = z(б)). В случае, когда концы совпадают, кривая называется замкнутой, и функция должна быть взаимно однозначной во всех остальных местах, а производная должна быть непрерывной в идентифицированной точке (z′(а) = z′(б)). Гладкую кривую, которая не замкнута, часто называют гладкой дугой.^[6]

В параметризация кривой обеспечивает естественный порядок точек на кривой: z(Икс) приходит раньше z(у) если Икс < у. Это приводит к понятию направленная плавная кривая. Наиболее полезно рассматривать кривые независимо от конкретной параметризации. Это можно сделать, учитывая классы эквивалентности плавных кривых с одинаковым направлением. А направленная плавная кривая затем можно определить как упорядоченный набор точек на комплексной плоскости, который является изображением некоторой гладкой кривой в их естественном порядке (согласно параметризации). Обратите внимание, что не все порядки точек являются естественным порядком гладкой кривой. Фактически, данная гладкая кривая имеет только два таких порядка. Кроме того, одиночная замкнутая кривая может иметь любую точку в качестве конечной точки, в то время как гладкая дуга имеет только два варианта конечных точек.

Контуры

Контуры - это класс кривых, на которых мы определяем контурное интегрирование. А контур - это направленная кривая, которая состоит из конечной последовательности направленных гладких кривых, концы которых совпадают, чтобы дать одно направление. Для этого требуется, чтобы последовательность кривых γ₁,…,γ_п быть таким, что конечная точка γ_я совпадает с начальной точкой γ_я+1, ∀ я, 1 ≤ я < п. Сюда входят все направленные гладкие кривые. Кроме того, одна точка на комплексной плоскости считается контуром. Символ + часто используется для обозначения соединения кривых вместе, чтобы сформировать новую кривую. Таким образом, мы могли написать контур Γ это состоит из п кривые как

${ displaystyle Gamma = gamma _ {1} + gamma _ {2} + cdots + gamma _ {n}.}$

Контурные интегралы

В контурный интеграл из сложная функция ж : C → C является обобщением интеграла для вещественнозначных функций. За непрерывные функции в комплексная плоскость, контурный интеграл можно определить аналогично линейный интеграл сначала определив интеграл по направленной гладкой кривой в терминах интеграла по действительнозначному параметру. Более общее определение можно дать в терминах разбиения контура по аналогии с разбиение интервала и Интеграл Римана. В обоих случаях интеграл по контуру определяется как сумма интегралов по направленным гладким кривым, составляющим контур.

Для непрерывных функций

Чтобы определить контурный интеграл таким образом, необходимо сначала рассмотреть интеграл по действительной переменной комплексной функции. Позволять ж : р → C - комплексная функция действительной переменной, т. Реальная и мнимая части ж часто обозначаются как ты(т) и v(т)соответственно, так что

${ Displaystyle f (t) = u (t) + iv (t).}$

Тогда интеграл от комплексной функции ж за интервал [а, б] дан кем-то

${ displaystyle { begin {align} int _ {a} ^ {b} f (t) , dt & = int _ {a} ^ {b} { big (} u (t) + iv (t ) { big)} , dt & = int _ {a} ^ {b} u (t) , dt + i int _ {a} ^ {b} v (t) , dt. конец {выровнено}}}$

Позволять ж : C → C быть непрерывная функция на направленная плавная кривая γ. Позволять z : р → C быть любой параметризацией γ что соответствует его порядку (направлению). Тогда интеграл по γ обозначается

${ Displaystyle int _ { gamma} е (г) , дз ,}$

и дается^[6]

${ Displaystyle int _ { gamma} е (г) , dz = int _ {a} ^ {b} е { big (} gamma (t) { big)} gamma '(t) , dt.}$

Это определение хорошо определено. То есть результат не зависит от выбранной параметризации.^[6] В случае, когда действительного интеграла в правой части не существует, интеграл по γ говорят, что не существует.

Как обобщение интеграла Римана

Обобщение Интеграл Римана для функций комплексной переменной делается в полной аналогии с ее определением для функций от действительных чисел. Разбиение направленной гладкой кривой γ определяется как конечный упорядоченный набор точек на γ. Интеграл по кривой - это предел конечных сумм значений функций, взятых в точках на разбиении, в пределе, когда максимальное расстояние между любыми двумя последовательными точками на разбиении (в двумерной комплексной плоскости) также известно как сетка, стремится к нулю.

Прямые методы

Прямые методы включают вычисление интеграла с помощью методов, аналогичных тем, которые используются при вычислении линейных интегралов в исчислении нескольких переменных. Это означает, что мы используем следующий метод:

• параметризация контура

  Контур параметризуется дифференцируемой комплекснозначной функцией действительных переменных, либо контур разбивается на части и параметризуется отдельно.

• замена параметризации подынтегральной функции

  Подстановка параметризации в подынтегральное выражение преобразует интеграл в интеграл одной действительной переменной.

• прямая оценка

  Интеграл вычисляется методом, похожим на интеграл вещественных переменных.

Пример

Основным результатом комплексного анализа является то, что контурный интеграл 1/z является 2πя, где путь контура берется как единичный круг, пройденный против часовой стрелки (или любой положительно ориентированный Кривая Иордании около 0). В случае единичной окружности существует прямой метод вычисления интеграла

${ displaystyle oint _ {C} { frac {1} {z}} , dz.}$

Для вычисления этого интеграла используйте единичный круг |z| = 1 как контур, параметризованный z(т) = е^Это, с т ∈ [0, 2π], тогда дз/dt = т.е.^Это и

${ displaystyle oint _ {C} { frac {1} {z}} , dz = int _ {0} ^ {2 pi} { frac {1} {e ^ {it}}} т.е. ^ {it} , dt = i int _ {0} ^ {2 pi} 1 , dt = { Big [} ; t ; { Big]} _ {0} ^ {2 pi } i = (2 pi -0) i = 2 pi i.}$

что является значением интеграла.

Приложения интегральных теорем

Приложения интегральных теорем также часто используются для вычисления контурного интеграла вдоль контура, что означает, что действительный интеграл вычисляется одновременно с вычислением контурного интеграла.

Интегральные теоремы, такие как Интегральная формула Коши или же теорема о вычетах обычно используются в следующем методе:

• выбирается конкретный контур:

  Контур выбирается таким образом, чтобы он повторял часть комплексной плоскости, которая описывает действительный интеграл, а также охватывала особенности подынтегральной функции, поэтому применение Интегральная формула Коши или же теорема о вычетах возможно

• применение Интегральная теорема Коши

  Интеграл сводится только к интегрированию небольшого круга вокруг каждого полюса.

• применение Интегральная формула Коши или же теорема о вычетах

  Применение этих интегральных формул дает нам значение интеграла по всему контуру.

• деление контура на контур по действительной и мнимой части

  Весь контур можно разделить на контур, который следует за частью комплексной плоскости, описывающей действительный интеграл, выбранный ранее (назовем его р) и интеграл, пересекающий комплексную плоскость (назовем его я). Интеграл по всему контуру - это сумма интеграла по каждому из этих контуров.

• демонстрация того, что интеграл, пересекающий комплексную плоскость, не играет никакой роли в сумме

  Если интеграл я можно показать, что он равен нулю, или если искомый вещественнозначный интеграл является несобственным, то если мы продемонстрируем, что интеграл я как описано выше, стремится к 0, интеграл по р будет стремиться к интегралу по контуру р + я.

• вывод

  Если мы сможем показать вышеуказанный шаг, тогда мы сможем напрямую вычислить р, действительный интеграл.

Пример 1

Рассмотрим интеграл

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} { left (x ^ {2} +1 right) ^ {2}}} , dx,}$

Чтобы оценить этот интеграл, мы смотрим на комплексную функцию

${ displaystyle f (z) = { frac {1} { left (z ^ {2} +1 right) ^ {2}}}}$

у которого есть особенности в я и −я. Выберем контур, который будет охватывать действительный интеграл, здесь полукруг с граничным диаметром на действительной прямой (идущий, скажем, от −а к а) будет удобно. Назовите этот контур C.

Есть два способа продолжить, используя Интегральная формула Коши или методом остатков:

Используя интегральную формулу Коши

Обратите внимание, что:

${ Displaystyle oint _ {C} е (z) , dz = int _ {- a} ^ {a} f (z) , dz + int _ { text {Arc}} f (z) , dz}$

таким образом

${ displaystyle int _ {- a} ^ {a} f (z) , dz = oint _ {C} f (z) , dz- int _ { text {Arc}} f (z) , dz}$

Кроме того, обратите внимание, что

${ displaystyle f (z) = { frac {1} { left (z ^ {2} +1 right) ^ {2}}} = { frac {1} {(z + i) ^ {2 } (zi) ^ {2}}}.}$

Поскольку единственная особенность контура - это точкая, то мы можем написать

${ displaystyle f (z) = { frac { frac {1} {(z + i) ^ {2}}} {(z-i) ^ {2}}},}$

который помещает функцию в форму для непосредственного применения формулы. Тогда, используя интегральную формулу Коши,

${ Displaystyle oint _ {C} е (z) , dz = oint _ {C} { frac { frac {1} {(z + i) ^ {2}}} {(zi) ^ { 2}}} , dz = 2 pi i { frac {d} {dz}} left ({ frac {1} {(z + i) ^ {2}}} right) { Bigg | } _ {z = i} = 2 pi i left ({ frac {-2} {(z + i) ^ {3}}} right) { Bigg |} _ {z = i} = { frac { pi} {2}}}$

Мы берем первую производную на описанных выше шагах, потому что полюс является полюсом второго порядка. То есть, (z − я) берется во второй степени, поэтому мы используем первую производную от ж(z). Если бы (z − я) взяв в третью степень, мы использовали бы вторую производную и разделили бы на 2! и т. д. (z − я) в первую степень соответствует производной нулевого порядка - просто ж(z) сам.

Нам нужно показать, что интеграл по дуге полукруга стремится к нулю при а → ∞, с использованием лемма об оценке

${ displaystyle left | int _ { text {Arc}} f (z) , dz right | leq ML}$

куда M это верхняя граница |ж(z)| по дуге и L длина дуги. Сейчас же,

${ displaystyle left | int _ { text {Arc}} f (z) , dz right | leq { frac {a pi} { left (a ^ {2} -1 right) ^ {2}}} rightarrow 0 { mbox {as}} a rightarrow infty.}$

Так

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} { left (x ^ {2} +1 right) ^ {2}}} , dx = int _ { - infty} ^ { infty} f (z) , dz = lim _ {a to + infty} int _ {- a} ^ {a} f (z) , dz = { frac { pi} {2}}. quad square}$

Используя метод остатков

Рассмотрим Серия Laurent из ж(z) о я, единственная особенность, которую нам нужно учитывать. Тогда у нас есть

${ displaystyle f (z) = { frac {-1} {4 (zi) ^ {2}}} + { frac {-i} {4 (zi)}} + { frac {3} {16 }} + { frac {i} {8}} (zi) + { frac {-5} {64}} (zi) ^ {2} + cdots}$

(См. Пример расчета Лорана из Серия Laurent для вывода этого ряда.)

При осмотре ясно, что остаток −я/4, так что теорема о вычетах, у нас есть

${ Displaystyle oint _ {C} е (z) , dz = oint _ {C} { frac {1} { left (z ^ {2} +1 right) ^ {2}}} , dz = 2 pi i , operatorname {Res} _ {z = i} f (z) = 2 pi i left (- { frac {i} {4}} right) = { frac { pi} {2}} quad square}$

Таким образом мы получаем тот же результат, что и раньше.

Контурная заметка

В стороне может возникнуть вопрос, не возьмем ли мы полукруг, чтобы включить Другой особенность, вмещающая −я. Чтобы интеграл вдоль действительной оси двигался в правильном направлении, контур должен двигаться по часовой стрелке, то есть в отрицательном направлении, меняя знак интеграла в целом.

Это не влияет на использование метода остатков по сериям.

Пример 2 - Распределение Коши

Интегральный

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {itx}} {x ^ {2} +1}} , dx}$

(который возникает в теория вероятности как скалярное кратное характеристическая функция из Распределение Коши ) сопротивляется приемам элементарной исчисление. Оценим его, выразив как предел контурных интегралов по контуру C что идет по настоящий линия от −а к а а затем против часовой стрелки по полукругу с центром в 0 из а к −а. Брать а быть больше 1, так что воображаемый единица измерения я заключен в кривую. Контурный интеграл равен

${ displaystyle int _ {C} { frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} +1}} , dz.}$

С е^итц является вся функция (не имея особенности в любой точке комплексной плоскости) эта функция имеет особенности только там, где знаменатель z² + 1 равно нулю. С z² + 1 = (z + я)(z − я), это происходит только там, где z = я или же z = −я. Только одна из этих точек находится в области, ограниченной этим контуром. В остаток из ж(z) в z = я является

${ displaystyle lim _ {z to i} (zi) f (z) = lim _ {z to i} (zi) { frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} +1 }} = lim _ {z to i} (zi) { frac {e ^ {itz}} {(zi) (z + i)}} = lim _ {z to i} { frac { e ^ {itz}} {z + i}} = { frac {e ^ {- t}} {2i}}.}$

Согласно теорема о вычетах, тогда имеем

${ Displaystyle int _ {C} е (z) , dz = 2 pi i operatorname {Res} _ {z = i} f (z) = 2 pi i { frac {e ^ {- t }} {2i}} = pi e ^ {- t}.}$

Контур C можно разделить на «прямую» часть и криволинейную дугу, так что

${ displaystyle int _ { text {прямо}} + int _ { text {arc}} = pi e ^ {- t},}$

и поэтому

${ displaystyle int _ {- a} ^ {a} = pi e ^ {- t} - int _ { text {arc}}.}$

Согласно Лемма Джордана, если т > 0 тогда

${ displaystyle int _ { text {arc}} { frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} +1}} , dz rightarrow 0 { mbox {as}} a rightarrow infty.}$

Следовательно, если т > 0 тогда

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {itx}} {x ^ {2} +1}} , dx = pi e ^ {- t}.}$

Аналогичный аргумент с дугой, которая вьется вокруг −я скорее, чем я показывает, что если т < 0 тогда

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {itx}} {x ^ {2} +1}} , dx = pi e ^ {t},}$

и наконец у нас есть это:

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {itx}} {x ^ {2} +1}} , dx = pi e ^ {- | t |} . quad square}$

(Если т = 0 тогда интеграл немедленно уступает место методам вещественного исчисления, и его значение равно π.)

Пример 3 - тригонометрические интегралы

В интегралы, содержащие тригонометрические функции, поэтому интеграл преобразуется в рациональную функцию комплексной переменной, а затем вышеупомянутые методы могут использоваться для вычисления интеграла.

В качестве примера рассмотрим

${ displaystyle int _ {- pi} ^ { pi} { frac {1} {1 + 3 ( cos t) ^ {2}}} , dt.}$

Мы стремимся произвести замену z = е^Это. Теперь вспомним

${ displaystyle cos t = { frac {1} {2}} left (e ^ {it} + e ^ {- it} right) = { frac {1} {2}} left (z + { frac {1} {z}} right)}$

и

${ displaystyle { frac {dz} {dt}} = iz, dt = { frac {dz} {iz}}.}$

Принимая C чтобы быть единичным кругом, мы подставляем, чтобы получить:

${ displaystyle { begin {align} oint _ {C} { frac {1} {1 + 3 left ({ frac {1} {2}} left (z + { frac {1} {z }} right) right) ^ {2}}} , { frac {dz} {iz}} & = oint _ {C} { frac {1} {1 + { frac {3} { 4}} left (z + { frac {1} {z}} right) ^ {2}}} { frac {1} {iz}} , dz & = oint _ {C} { frac {-i} {z + { frac {3} {4}} z left (z + { frac {1} {z}} right) ^ {2}}} , dz & = - i oint _ {C} { frac {1} {z + { frac {3} {4}} z left (z ^ {2} +2 + { frac {1} {z ^ {2}}) } right)}} , dz & = - i oint _ {C} { frac {1} {z + { frac {3} {4}} left (z ^ {3} + 2z + { frac {1} {z}} right)}} , dz & = - i oint _ {C} { frac {1} {{ frac {3} {4}} z ^ {3 } + { frac {5} {2}} z + { frac {3} {4z}}}} , dz & = - i oint _ {C} { frac {4} {3z ^ { 3} + 10z + { frac {3} {z}}}} , dz & = - 4i oint _ {C} { frac {1} {3z ^ {3} + 10z + { frac {3 } {z}}}} , dz & = - 4i oint _ {C} { frac {z} {3z ^ {4} + 10z ^ {2} +3}} , dz & = -4i oint _ {C} { frac {z} {3 left (z + { sqrt {3}} i right) left (z - { sqrt {3}} i right) left (z + { frac {i} { sqrt {3}}} right) left (z - { frac {i} { sqrt {3}}} right)}} , dz & = - { frac {4i} {3}} oint _ {C} { frac {z} { left (z + { sqrt {3}} i right) left (z - { sqrt {3}) } я вправо) влево (г + { frac {i} { sqrt {3}}} right) left (z - { frac {i} { sqrt {3}}} right)}} , dz. end {выровнено }}}$

Рассматриваемые особенности находятся в ${ displaystyle { tfrac { pm i} { sqrt {3}}}.}$ Позволять C₁ быть маленьким кружком ${ displaystyle { tfrac {i} { sqrt {3}}},}$ и C₂ быть маленьким кружком ${ displaystyle { tfrac {-i} { sqrt {3}}}.}$ Тогда мы приходим к следующему:

${ displaystyle { begin {align} & - { frac {4i} {3}} left [ oint _ {C_ {1}} { frac { frac {z} { left (z + { sqrt {3}} i right) left (z - { sqrt {3}} i right) left (z + { frac {i} { sqrt {3}}} right)}} {z- { frac {i} { sqrt {3}}}} , dz + oint _ {C_ {2}} { frac { frac {z} { left (z + { sqrt {3}} i right) left (z - { sqrt {3}} i right) left (z - { frac {i} { sqrt {3}}} right)}} {z + { frac {i } { sqrt {3}}}}} , dz right] = {} & - { frac {4i} {3}} left [2 pi i left. left ({ frac {z} { left (z + { sqrt {3}} i right) left (z - { sqrt {3}} i right) left (z + { frac {i} { sqrt {3 }}} right)}} right) right | _ {z = { frac {i} { sqrt {3}}}} + 2 pi i left. left ({ frac {z} { left (z + { sqrt {3}} i right) left (z - { sqrt {3}} i right) left (z - { frac {i} { sqrt {3}}) } right)}} right) right | _ {z = - { frac {i} { sqrt {3}}}} right] = {} & { frac {8 pi} { 3}} left [{ frac { frac {i} { sqrt {3}}} { left ({ frac {i} { sqrt {3}}} + { sqrt {3}} i right) left ({ frac {i} { sqrt {3}}} - { sqrt {3}} i right) left ({ frac {i} { sqrt {3}}} + { frac {i} { sqrt {3}}} right)}} + { frac {- { frac {i} { sqrt {3}}}} { left (- { frac {i} { sqrt {3}}} + { sqrt {3}} i right) left (- { frac {i} { sqrt {3}}} - { sqrt {3}} i right) left (- { frac {i} { sqrt {3}}} - { frac {i} { sqrt {3}}} right)}} right] = {} & { frac {8 pi} {3}} left [{ frac { frac {i} { sqrt {3}}} { left ({ frac {4} { sqrt {3}}} i right) left (- { frac {2} {i { sqrt {3}}}} right) left ({ frac {2} {{ sqrt {3}} i}} right )}} + { frac {- { frac {i} { sqrt {3}}}} { left ({ frac {2} { sqrt {3}}} i right) left (- { frac {4} { sqrt {3}}} i right) left (- { frac {2} { sqrt {3}}} i right)}} right] = {} & { frac {8 pi} {3}} left [{ frac { frac {i} { sqrt {3}}} {i left ({ frac {4} { sqrt {3} }} right) left ({ frac {2} { sqrt {3}}} right) left ({ frac {2} { sqrt {3}}} right)}} + { frac {- { frac {i} { sqrt {3}}}} {- i left ({ frac {2} { sqrt {3}}} right) left ({ frac {4} { sqrt {3}}} right) left ({ frac {2} { sqrt {3}}} right)}} right] = {} & { frac {8 pi} {3}} left [{ frac { frac {1} { sqrt {3}}} { left ({ frac {4} { sqrt {3}}} right) left ({ frac {2} { sqrt {3}}} right) left ({ frac {2} { sqrt {3}}} right)}} + { frac { frac {1} { sqrt {3}}} { le ft ({ frac {2} { sqrt {3}}} right) left ({ frac {4} { sqrt {3}}} right) left ({ frac {2} { sqrt {3}}} right)}} right] = {} & { frac {8 pi} {3}} left [{ frac { frac {1} { sqrt {3} }} { frac {16} {3 { sqrt {3}}}}} + { frac { frac {1} { sqrt {3}}} { frac {16} {3 { sqrt { 3}}}}} right] = {} & { frac {8 pi} {3}} left [{ frac {3} {16}} + { frac {3} {16} } right] = {} & pi. end {align}}}$

Пример 3а - тригонометрические интегралы, общая процедура

Описанный выше метод применим ко всем интегралам типа

${ Displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} { frac {P { big (} sin (t), sin (2t), ldots, cos (t), cos (2t) ), ldots { big)}} {Q { big (} sin (t), sin (2t), ldots, cos (t), cos (2t), ldots { big) }}} , dt}$

куда п и Q являются многочленами, т.е. интегрируется рациональная функция в тригонометрических терминах. Обратите внимание, что границы интеграции также могут быть π и -π, как в предыдущем примере, или любая другая пара конечных точек 2π Кроме.

Уловка состоит в том, чтобы использовать замену z = е^Это куда дз = т.е.^Это dt и поэтому

${ displaystyle { frac {1} {iz}} , dz = dt.}$

Эта замена отображает интервал [0, 2π] к единичному кругу. Более того,

${ displaystyle sin (kt) = { frac {e ^ {ikt} -e ^ {- ikt}} {2i}} = { frac {z ^ {k} -z ^ {- k}} {2i }}}$

и

${ displaystyle cos (kt) = { frac {e ^ {ikt} + e ^ {- ikt}} {2}} = { frac {z ^ {k} + z ^ {- k}} {2 }}}$

так что рациональная функция ж(z) в z получается в результате подстановки, и интеграл принимает вид

${ Displaystyle oint _ {| z | = 1} f (z) { frac {1} {iz}} , dz}$

который, в свою очередь, вычисляется путем суммирования остатков ж(z)1/iz внутри единичного круга.

Изображение справа иллюстрирует это для

${ Displaystyle I = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} {1 + ( sin t) ^ {2}}} , dt,}$

который мы сейчас вычисляем. Первый шаг - признать, что

${ Displaystyle I = { frac {1} {4}} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {1} {1 + ( sin t) ^ {2}}} , dt .}$

Замена дает

${ displaystyle { frac {1} {4}} oint _ {| z | = 1} { frac {4iz} {z ^ {4} -6z ^ {2} +1}} , dz = oint _ {| z | = 1} { frac {iz} {z ^ {4} -6z ^ {2} +1}} , dz.}$

Полюса этой функции находятся на 1 ± √2 и −1 ± √2. Из этих, 1 + √2 и −1 − √2 находятся за пределами единичного круга (показаны красным, не в масштабе), тогда как 1 − √2 и −1 + √2 находятся внутри единичного круга (показан синим). Соответствующие вычеты оба равны −я√2/16, так что значение интеграла

${ displaystyle I = 2 pi i ; 2 left (- { frac { sqrt {2}} {16}} i right) = pi { frac { sqrt {2}} {4} }.}$

Пример 4 - срезы веток

Рассмотрим действительный интеграл

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sqrt {x}} {x ^ {2} + 6x + 8}} , dx.}$

Мы можем начать с формулировки комплексного интеграла

${ displaystyle int _ {C} { frac { sqrt {z}} {z ^ {2} + 6z + 8}} , dz = I.}$

Мы можем снова использовать интегральную формулу Коши или теорему о вычетах, чтобы получить соответствующие вычеты. Однако важно отметить, что z^​1⁄₂ = е^{​1⁄₂Бревно z}, так z^​1⁄₂ имеет срезанная ветка. Это влияет на наш выбор контура C. Обычно отрезок логарифмической ветви определяется как отрицательная действительная ось, однако это немного усложняет вычисление интеграла, поэтому мы определяем его как положительную действительную ось.

Затем мы используем так называемый контур замочной скважины, который состоит из небольшого круга вокруг начала радиуса ε скажем, простираясь до отрезка, параллельного и близкого к положительной действительной оси, но не касаясь его, до почти полного круга, возвращаясь к отрезку прямой, параллельному, близкому и ниже положительной действительной оси в отрицательном смысле, возвращаясь к малому круг посередине.

Обратите внимание, что z = −2 и z = −4 находятся внутри большого круга. Это два оставшихся полюса, которые можно получить, разложив знаменатель подынтегрального выражения. Точка ветвления в z = 0 удалось избежать путем обхода вокруг исходной точки.

Позволять γ быть малым кругом радиуса ε, Γ больший, с радиусом р, тогда

${ displaystyle int _ {C} = int _ { varepsilon} ^ {R} + int _ { Gamma} + int _ {R} ^ { varepsilon} + int _ { gamma}. }$

Можно показать, что интегралы по Γ и γ оба стремятся к нулю как ε → 0 и р → ∞, согласно приведенному выше аргументу оценки, остается два члена. Теперь, когда z^​1⁄₂ = е^{​1⁄₂Бревно z}, по контуру вне среза ветки мы получили 2π в споре вместе γ. (К Тождество Эйлера, е^яπ представляет собой единичный вектор, который, следовательно, имеет π как его журнал. Этот π это то, что подразумевается под аргументом z. Коэффициент 1/2 заставляет нас использовать 2π.) Так

${ displaystyle { begin {align} int _ {R} ^ { varepsilon} { frac { sqrt {z}} {z ^ {2} + 6z + 8}} , dz & = int _ { R} ^ { varepsilon} { frac {e ^ {{ frac {1} {2}} operatorname {Log} z}} {z ^ {2} + 6z + 8}} , dz & = int _ {R} ^ { varepsilon} { frac {e ^ {{ frac {1} {2}} ( log | z | + i arg {z})}} {z ^ {2 } + 6z + 8}} , dz & = int _ {R} ^ { varepsilon} { frac {e ^ {{ frac {1} {2}} log | z |} e ^ {{ frac {1} {2}} (2 pi i)}} {z ^ {2} + 6z + 8}} , dz & = int _ {R} ^ { varepsilon} { frac {e ^ {{ frac {1} {2}} log | z |} e ^ { pi i}} {z ^ {2} + 6z + 8}} , dz & = int _ {R} ^ { varepsilon} { frac {- { sqrt {z}}} {z ^ {2} + 6z + 8}} , dz & = int _ { varepsilon} ^ {R} { frac { sqrt {z}} {z ^ {2} + 6z + 8}} , dz. End {align}}}$

Следовательно:

${ displaystyle int _ {C} { frac { sqrt {z}} {z ^ {2} + 6z + 8}} , dz = 2 int _ {0} ^ { infty} { frac { sqrt {x}} {x ^ {2} + 6x + 8}} , dx.}$

Используя теорему о вычетах или интегральную формулу Коши (сначала применяя метод частных дробей для получения суммы двух простых контурных интегралов), получаем

${ displaystyle pi i left ({ frac {i} { sqrt {2}}} - i right) = int _ {0} ^ { infty} { frac { sqrt {x}} {x ^ {2} + 6x + 8}} , dx = pi left (1 - { frac {1} { sqrt {2}}} right). quad square}$

Пример 5 - квадрат логарифма

В этом разделе рассматривается тип интеграла, из которого

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { log x} { left (1 + x ^ {2} right) ^ {2}}} , dx}$

это пример.

Для вычисления этого интеграла используется функция

${ displaystyle f (z) = left ({ frac { log z} {1 + z ^ {2}}} right) ^ {2}}$

и ветвь логарифма, соответствующая −π z ≤ π.

Вычислим интеграл от ж(z) вдоль контура замочной скважины, показанного справа. Оказывается, этот интеграл кратен начальному интегралу, который мы хотим вычислить, и по теореме Коши о вычетах имеем

${ Displaystyle { begin {align} left ( int _ {R} + int _ {M} + int _ {N} + int _ {r} right) f (z) , dz & = 2 pi i { big (} operatorname {Res} _ {z = i} f (z) + operatorname {Res} _ {z = -i} f (z) { big)} & = 2 pi i left (- { frac { pi} {4}} + { frac {1} {16}} i pi ^ {2} - { frac { pi} {4}} - { frac {1} {16}} i pi ^ {2} right) & = - i pi ^ {2}. end {align}}}$

Позволять р быть радиусом большого круга, и р радиус малого. Обозначим верхнюю строку через M, а нижняя строка - N. Как и раньше, мы берем предел, когда р → ∞ и р → 0. Вклады двух кружков исчезают. Например, у одного есть следующая верхняя граница с ML лемма:

${ displaystyle left | int _ {R} е (z) , dz right | leq 2 pi R { frac {( log R) ^ {2} + pi ^ {2}} { left (R ^ {2} -1 right) ^ {2}}} to 0.}$

Чтобы вычислить вклады M и N мы установили z = −Икс + я на M и z = −Икс − я на N, с 0 < Икс < ∞:

${ displaystyle { begin {align} -i pi ^ {2} & = left ( int _ {R} + int _ {M} + int _ {N} + int _ {r} справа) f (z) , dz [6pt] & = left ( int _ {M} + int _ {N} right) f (z) , dz && int _ {R}, int _ {r} { mbox {vanish}} [6pt] & = - int _ { infty} ^ {0} left ({ frac { log (-x + i varepsilon)} { 1 + (- x + i varepsilon) ^ {2}}} right) ^ {2} , dx- int _ {0} ^ { infty} left ({ frac { log (-xi varepsilon)} {1 + (- xi varepsilon) ^ {2}}} right) ^ {2} , dx [6pt] & = int _ {0} ^ { infty} left ( { frac { log (-x + i varepsilon)} {1 + (- x + i varepsilon) ^ {2}}} right) ^ {2} , dx- int _ {0} ^ { infty} left ({ frac { log (-xi varepsilon)} {1 + (- xi varepsilon) ^ {2}}} right) ^ {2} , dx [6pt] & = int _ {0} ^ { infty} left ({ frac { log x + i pi} {1 + x ^ {2}}} right) ^ {2} , dx- int _ {0} ^ { infty} left ({ frac { log xi pi} {1 + x ^ {2}}} right) ^ {2} , dx && varepsilon to 0 & = int _ {0} ^ { infty} { frac {( log x + i pi) ^ {2} - ( log xi pi) ^ {2}} { left (1 + x ^ {2} right) ^ {2}}} , dx [6pt] & = int _ {0} ^ { infty} { frac {4 pi i log x} { left ( 1 + x ^ {2} right) ^ {2}}} , dx [6pt] & = 4 pi i int _ {0} ^ { infty} { frac { log x} { left (1 + x ^ {2} right) ^ {2}}} , dx end {выровнено}}}$

который дает

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { log x} { left (1 + x ^ {2} right) ^ {2}}} , dx = - { frac { pi} {4}}.}$

Пример 6 - логарифмы и вычет на бесконечности

Мы стремимся оценить

${ displaystyle I = int _ {0} ^ {3} { frac {x ^ { frac {3} {4}} (3-x) ^ { frac {1} {4}}} {5 -x}} , dx.}$

Это требует внимательного изучения

${ displaystyle f (z) = z ^ { frac {3} {4}} (3-z) ^ { frac {1} {4}}.}$

Мы построим ж(z) чтобы на нем была ветка [0, 3], показанный на схеме красным цветом. Для этого выбираем две ветви логарифма, задавая

${ displaystyle z ^ { frac {3} {4}} = exp left ({ frac {3} {4}} log z right) quad { mbox {where}} - pi leq arg z < pi}$

и

${ displaystyle (3-z) ^ { frac {1} {4}} = exp left ({ frac {1} {4}} log (3-z) right) quad { mbox {где}} 0 leq arg (3-z) <2 pi.}$

Разрез z^​3⁄₄ следовательно является (−∞, 0] и разрез (3 − z)^​1⁄₄ является (−∞, 3]. Легко видеть, что разрез продукта двух, т.е. ж(z), является [0, 3], потому что ж(z) фактически непрерывно через (−∞, 0). Это потому, что когда z = −р < 0 и подходим к разрезу сверху, ж(z) имеет ценность

${ displaystyle r ^ { frac {3} {4}} e ^ {{ frac {3} {4}} pi i} (3 + r) ^ { frac {1} {4}} e ^ {{ frac {2} {4}} pi i} = r ^ { frac {3} {4}} (3 + r) ^ { frac {1} {4}} e ^ {{ frac {5} {4}} pi i}.}$

Когда мы приближаемся снизу, ж(z) имеет ценность

${ displaystyle r ^ { frac {3} {4}} e ^ {- { frac {3} {4}} pi i} (3 + r) ^ { frac {1} {4}} e ^ {{ frac {0} {4}} pi i} = r ^ { frac {3} {4}} (3 + r) ^ { frac {1} {4}} e ^ {- { frac {3} {4}} pi i}.}$

Но

${ displaystyle e ^ {- { frac {3} {4}} pi i} = e ^ {{ frac {5} {4}} pi i},}$

так что у нас есть непрерывность через разрез. Это проиллюстрировано на диаграмме, где два черных ориентированных круга помечены соответствующим значением аргумента логарифма, используемого в z^​3⁄₄ и (3 − z)^​1⁄₄.

Мы будем использовать контур, показанный на схеме зеленым цветом. Для этого мы должны вычислить значение ж(z) вдоль отрезков линии чуть выше и чуть ниже разреза.

Позволять z = р (в пределе, т.е. когда два зеленых круга сжимаются до нулевого радиуса), где 0 ≤ р ≤ 3. Вдоль верхнего сегмента находим, что ж(z) имеет ценность

${ displaystyle r ^ { frac {3} {4}} e ^ {{ frac {0} {4}} pi i} (3-r) ^ { frac {1} {4}} e ^ {{ frac {2} {4}} pi i} = ir ^ { frac {3} {4}} (3-r) ^ { frac {1} {4}}}$

и по нижнему сегменту,

${ displaystyle r ^ { frac {3} {4}} e ^ {{ frac {0} {4}} pi i} (3-r) ^ { frac {1} {4}} e ^ {{ frac {0} {4}} pi i} = r ^ { frac {3} {4}} (3-r) ^ { frac {1} {4}}.}$

Отсюда следует, что интеграл от ж(z)/5 − z вдоль верхнего сегмента −я в пределе и по нижнему отрезку я.

Если мы сможем показать, что интегралы по двум зеленым кружкам в пределе обращаются в нуль, то мы также получим значение я, посредством Теорема Коши о вычетах. Пусть радиус зеленых кружков равен ρ, куда ρ < 0.001 и ρ → 0и примените ML неравенство. Для круга C_L слева мы находим

${ displaystyle left | int _ {C _ { mathrm {L}}} { frac {f (z)} {5-z}} dz right | leq 2 pi rho { frac { rho ^ { frac {3} {4}} 3.001 ^ { frac {1} {4}}} {4.999}} in { mathcal {O}} left ( rho ^ { frac {7} {4}} right) to 0.}$

Аналогично для круга C_р справа у нас есть

${ displaystyle left | int _ {C _ { mathrm {R}}} { frac {f (z)} {5-z}} dz right | leq 2 pi rho { frac {3.001 ^ { frac {3} {4}} rho ^ { frac {1} {4}}} {1.999}} in { mathcal {O}} left ( rho ^ { frac {5} {4}} right) to 0.}$

Теперь используя Теорема Коши о вычетах, у нас есть

${ displaystyle (-i + 1) I = -2 pi i left ( operatorname {Res} _ {z = 5} { frac {f (z)} {5-z}} + operatorname {Res } _ {z = infty} { frac {f (z)} {5-z}} right).}$

где знак минус связан с направлением остатков по часовой стрелке. Используя предыдущую ветвь логарифма, ясно

${ displaystyle operatorname {Res} _ {z = 5} { frac {f (z)} {5-z}} = - 5 ^ { frac {3} {4}} e ^ {{ frac { 1} {4}} log (-2)}.}$

Полюс показан на схеме синим цветом. Значение упрощается до

${ displaystyle -5 ^ { frac {3} {4}} e ^ {{ frac {1} {4}} ( log 2+ pi i)} = - e ^ {{ frac {1} {4}} pi i} 5 ^ { frac {3} {4}} 2 ^ { frac {1} {4}}.}$

Мы используем следующую формулу для вычета на бесконечности:

${ displaystyle operatorname {Res} _ {z = infty} h (z) = operatorname {Res} _ {z = 0} left (- { frac {1} {z ^ {2}}} h left ({ frac {1} {z}} right) right).}$

Подставляя, находим

${ displaystyle { frac {1} {5 - { frac {1} {z}}}} = - z left (1 + 5z + 5 ^ {2} z ^ {2} + 5 ^ {3} z ^ {3} + cdots right)}$

и

${ displaystyle left ({ frac {1} {z ^ {3}}} left (3 - { frac {1} {z}} right) right) ^ { frac {1} {4 }} = { frac {1} {z}} (3z-1) ^ { frac {1} {4}} = { frac {1} {z}} e ^ {{ frac {1} { 4}} pi i} (1-3z) ^ { frac {1} {4}},}$

где мы использовали тот факт, что −1 = е^πя для второй ветви логарифма. Затем мы применяем биномиальное разложение, получая

${ displaystyle { frac {1} {z}} e ^ {{ frac {1} {4}} pi i} left (1 - {{ frac {1} {4}} choose 1} 3z + {{ frac {1} {4}} choose 2} 3 ^ {2} z ^ {2} - {{ frac {1} {4}} choose 3} 3 ^ {3} z ^ { 3} + cdots right).}$

Вывод таков:

${ displaystyle operatorname {Res} _ {z = infty} { frac {f (z)} {5-z}} = e ^ {{ frac {1} {4}} pi i} left (5 - { frac {3} {4}} right) = e ^ {{ frac {1} {4}} pi i} { frac {17} {4}}.}$

Наконец, следует, что значение я является

${ displaystyle I = 2 pi i { frac {e ^ {{ frac {1} {4}} pi i}} {- 1 + i}} left ({ frac {17} {4} } -5 ^ { frac {3} {4}} 2 ^ { frac {1} {4}} right) = 2 pi 2 ^ {- { frac {1} {2}}} left ({ frac {17} {4}} - 5 ^ { frac {3} {4}} 2 ^ { frac {1} {4}} right)}$

что дает

${ displaystyle I = { frac { pi} {2 { sqrt {2}}}} left (17-5 ^ { frac {3} {4}} 2 ^ { frac {9} {4 }} right) = { frac { pi} {2 { sqrt {2}}}} left (17-40 ^ { frac {3} {4}} right).}$

Вычисление с теоремой о вычетах

С использованием теорема о вычетах, мы можем вычислить интегралы по замкнутому контуру. Ниже приведены примеры вычисления контурных интегралов с помощью теоремы о вычетах.

Используя теорему о вычетах, давайте вычислим этот контурный интеграл.

${ displaystyle oint _ {C} { frac {e ^ {z}} {z ^ {3}}} , dz}$

Напоминаем, что теорема о вычетах утверждает

${ displaystyle oint _ {C} f (z) = 2 pi i cdot sum operatorname {Res} (f, a_ {k}),}$

куда ${ displaystyle operatorname {Res}}$ это остаток ${ displaystyle f (z)}$.

${ displaystyle f (z)}$ имеет только один полюс, ${ displaystyle 0}$. Исходя из этого, мы можем определить остаток из ${ displaystyle f (z)}$ быть ${ displaystyle { tfrac {1} {2}}}$

${ displaystyle { begin {align} oint _ {C} f (z) & = oint _ {C} { frac {e ^ {z}} {z ^ {3}}} & = 2 pi i cdot operatorname {Res} _ {z = 0} f (z) & = 2 pi i operatorname {Res} _ {z = 0} { frac {e ^ {z}} { z ^ {3}}} & = 2 pi i cdot { frac {1} {2}} & = pi i end {выровнено}}}$

Таким образом, используя теорема о вычетах, мы можем определить:

${ displaystyle oint _ {C} { frac {e ^ {z}} {z ^ {3}}} = pi i.}$

Многопараметрические контурные интегралы

Для решения многомерных контурных интегралов (т.е. поверхностные интегралы, сложный объемные интегралы, и выше интегралы ), мы должны использовать теорема расходимости. А пока пусть ${ displaystyle nabla}$ быть взаимозаменяемым с ${ displaystyle operatorname {Div}}$. И то, и другое послужит расхождением векторное поле обозначается как ${ displaystyle mathbf {F}}$. Эта теорема гласит:

${ displaystyle underbrace { int cdots int _ {U}} _ {n} operatorname {Div} ( mathbf {F}) , dV = underbrace { oint cdots oint _ { partial U}} _ {n-1} mathbf {F} cdot mathbf {n} , dS}$

Кроме того, нам также необходимо оценить ${ Displaystyle набла cdot mathbf {F}}$ куда ${ Displaystyle набла cdot mathbf {F}}$ является альтернативным обозначением ${ displaystyle operatorname {Div} ( mathbf {F})}$. В Расхождение любого измерения можно описать как

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Div} ( mathbf {F}) & = nabla cdot mathbf {F} & = left ({ frac { partial} { partial u }}, { frac { partial} { partial x}}, { frac { partial} { partial y}}, { frac { partial} { partial z}}, cdots right) cdot (F_ {u}, F_ {x}, F_ {y}, F_ {z} cdots) & = left ({ frac { partial F_ {u}} { partial u}} + { frac { partial F_ {x}} { partial x}} + { frac { partial F_ {y}} { partial y}} + { frac { partial F_ {z}} { partial z}} cdots right) end {выровнено}}}$

Пример 1

Пусть векторное поле ${ Displaystyle mathbf {F} = sin (2x) + sin (2y) + sin (2z)}$ и ограничиваться следующим

${ Displaystyle {0 Leq Икс Leq 1} четырехъядерный {0 Leq Y Leq 3 pi} четырехъядерный {-1 Leq Z Leq 4}}$

Соответствующий двойной контурный интеграл будет настроен как таковой:

${ displaystyle { scriptstyle S}}$ ${ Displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {п} , DS}$

Теперь мы оцениваем ${ Displaystyle набла cdot mathbf {F}}$. Пока мы это делаем, давайте установим соответствующий тройной интеграл:

${ displaystyle { begin {align} & = iiint _ {V} left ({ frac { partial F_ {x}} { partial x}} + { frac { partial F_ {y}} { partial y}} + { frac { partial F_ {z}} { partial z}} right) , dV & = iiint _ {V} left ({ frac { partial sin (2x)} { partial x}} + { frac { partial sin (2y)} { partial y}} + { frac { partial sin (2z)} { partial z}} right ) , dV & = iiint _ {V} 2 ( cos (2x) + cos (2y) + cos (2z)) , dV & = int _ {0} ^ {1 } int _ {0} ^ {3} int _ {- 1} ^ {4} 2 ( cos (2x) + cos (2y) + cos (2z)) , dx , dy , dz & = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {3} (10 cos (2y) + sin (8) + sin (2) +10 cos (z )) , dy , dz & = int _ {0} ^ {1} (30 cos (2z) +3 sin (2) +3 sin (8) +5 sin (6) ) , dz & = 18 sin (2) +3 sin (8) +5 sin (6) end {align}}}$

Пример 2

Например, пусть векторное поле ${ displaystyle mathbf {F} = u ^ {4} + x ^ {5} + y ^ {6} + z ^ {- 3}}$, и ${ displaystyle n}$ это четвертое измерение. Пусть это векторное поле быть ограниченным следующим: