Распределение Коши - Cauchy distribution

Коши

Функция плотности вероятности Фиолетовая кривая - это стандартное распределение Коши.
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${displaystyle x_ {0}!}$ место расположения (настоящий ) ${displaystyle gamma> 0}$ шкала (настоящий)
Поддерживать	${displaystyle displaystyle xin (-infty, + infty)!}$
PDF	${displaystyle {frac {1} {pi gamma, left [1 + left ({frac {x-x_ {0}} {gamma}} ight) ^ {2} ight]}}!}$
CDF	${displaystyle {frac {1} {pi}} arctan left ({frac {x-x_ {0}} {gamma}} ight) + {frac {1} {2}}!}$
Квантиль	${displaystyle x_ {0} + gamma, an [pi (F- {frac {1} {2}})]}$
Иметь в виду	неопределенный
Медиана	${displaystyle x_ {0}!}$
Режим	${displaystyle x_ {0}!}$
Дисперсия	неопределенный
Асимметрия	неопределенный
Бывший. эксцесс	неопределенный
Энтропия	${журнал displaystyle (гамма 4pi)!}$
MGF	не существует
CF	${displaystyle displaystyle exp (x_ {0}, i, t-gamma, | t |)!}$
Информация Fisher	${displaystyle {frac {1} {2gamma ^ {2}}}}$

В Распределение Коши, названный в честь Огюстен Коши, это непрерывное распределение вероятностей. Это также известно, особенно среди физики, как Распределение Лоренца (после Хендрик Лоренц ), Распределение Коши – Лоренца, Функция Лоренца (ian), или же Распределение Брейта – Вигнера. Распределение Коши ${displaystyle f (x; x_ {0}, gamma)}$ это распределение Икс-перехват луча, выходящего из ${displaystyle (x_ {0}, gamma)}$ с равномерно распределенным углом. Это также распределение соотношение двух независимый нормально распределенный случайные величины с нулевым средним.

Распределение Коши часто используется в статистике как канонический пример "патологический "распространение, поскольку его ожидаемое значение и это отклонение не определены (но см. § Объяснение неопределенных моментов ниже). Распределение Коши не имеет конечных моменты порядка больше или равного единице; существуют только дробные абсолютные моменты.^[1] Распределение Коши не имеет функция, производящая момент.

В математика, он тесно связан с Ядро Пуассона, какой фундаментальное решение для Уравнение лапласа в верхняя полуплоскость.

Это один из немногих дистрибутивов, стабильный и имеет функцию плотности вероятности, которая может быть выражена аналитически, остальные являются нормальное распределение и Распределение Леви.

История

Оценка среднего и стандартного отклонения по выборкам из распределения Коши (внизу) не сходится с большим количеством выборок, как в нормальное распределение (верх). В оценках могут быть сколь угодно большие скачки, как видно на графиках внизу. (Щелкните, чтобы развернуть)

Функции, имеющие вид функции плотности распределения Коши, изучались математиками еще в 17 веке, но в другом контексте и под названием ведьма Аньези. Несмотря на свое название, первый явный анализ свойств распределения Коши был опубликован французским математиком. Пуассон в 1824 году, а Коши стал ассоциироваться с ним только во время академических споров в 1853 году.^[2] Таким образом, название дистрибутива является случаем Закон Стиглера эпонимии. Пуассон заметил, что если брать среднее значение наблюдений, следующих за таким распределением, то средняя ошибка не сходится к какому-либо конечному числу. В качестве таких, Лапласа использование Центральная предельная теорема с таким распределением было неуместно, поскольку предполагалось конечное среднее значение и дисперсия. Несмотря на это, Пуассон не считал этот вопрос важным, в отличие от Bienaymé, который должен был вовлечь Коши в долгий спор по этому поводу.

Характеристика

Функция плотности вероятности

Распределение Коши имеет функция плотности вероятности (PDF)^[1][3]

${displaystyle f (x; x_ {0}, gamma) = {frac {1} {pi gamma left [1 + left ({frac {x-x_ {0}} {gamma}} ight) ^ {2} ight] }} = {1 over pi gamma} слева [{gamma ^ {2} over (x-x_ {0}) ^ {2} + gamma ^ {2}} ight],}$

куда ${displaystyle x_ {0}}$ это параметр местоположения, указав положение пика распределения, и ${displaystyle gamma}$ это параметр масштаба который определяет полуширину на полувысоте (HWHM), альтернативно ${displaystyle 2gamma}$ является полная ширина на половине максимальной (FWHM). ${displaystyle gamma}$ также равна половине межквартильный размах и иногда называют вероятная ошибка. Огюстен-Луи Коши использовали такую ​​функцию плотности в 1827 г. бесконечно малый параметр масштаба, определяющий, что теперь будет называться Дельта-функция Дирака.

Максимальное значение или амплитуда PDF Коши составляет ${displaystyle {frac {1} {pi gamma}}}$, расположен в ${displaystyle x = x_ {0}}$.

Иногда удобно выражать PDF через комплексный параметр ${displaystyle psi = x_ {0} + igamma}$

${displaystyle f (x; psi) = {frac {1} {pi}}, {extrm {Im}} left ({frac {1} {x-psi}} ight) = {frac {1} {pi}} , {extrm {Re}} влево ({frac {-i} {x-psi}} ight)}$

Частный случай, когда ${displaystyle x_ {0} = 0}$ и ${displaystyle gamma = 1}$ называется стандартное распределение Коши с функцией плотности вероятности^[4][5]

${displaystyle f (x; 0,1) = {frac {1} {pi (1 + x ^ {2})}}.!}$

В физике часто используется трехпараметрическая функция Лоренца:

${displaystyle f (x; x_ {0}, gamma, I) = {frac {I} {left [1 + left ({frac {x-x_ {0}} {gamma}} ight) ^ {2} ight]] }} = Левый [{гамма ^ {2} над (x-x_ {0}) ^ {2} + гамма ^ {2}} ползун],}$

куда ${displaystyle I}$ высота пика. Указанная трехпараметрическая функция Лоренца, как правило, не является функцией плотности вероятности, поскольку она не интегрируется до 1, за исключением особого случая, когда ${displaystyle I = {frac {1} {pi gamma}}.!}$

Кумулятивная функция распределения

В кумулятивная функция распределения распределения Коши:

${displaystyle F (x; x_ {0}, gamma) = {frac {1} {pi}} arctan left ({frac {x-x_ {0}} {gamma}} ight) + {frac {1} {2 }}}$

и квантильная функция (обратный cdf ) распределения Коши есть

${displaystyle Q (p; x_ {0}, gamma) = x_ {0} + gamma, левый [pi left (p- {frac {1} {2}} ight) ight].}$

Отсюда следует, что первый и третий квартили ${displaystyle (x_ {0} -gamma, x_ {0} + gamma)}$, и, следовательно, межквартильный размах является ${displaystyle 2gamma}$.

Для стандартного распределения кумулятивная функция распределения упрощается до функция арктангенса ${displaystyle arctan (x)}$:

${displaystyle F (x; 0,1) = {frac {1} {pi}} arctan left (xight) + {frac {1} {2}}}$

Энтропия

Энтропия распределения Коши определяется выражением:

${displaystyle {egin {align} H (gamma) & = - int _ {- infty} ^ {infty} f (x; x_ {0}, gamma) log (f (x; x_ {0}, gamma)), dx [6pt] & = log (гамма 4pi) конец {выровнено}}}$

Производная от квантильная функция, квантильная функция плотности для распределения Коши имеет вид:

${displaystyle Q '(p; gamma) = gamma, pi, {sec} ^ {2} left [pi left (p- {frac {1} {2}} ight) ight].!}$

В дифференциальная энтропия распределения можно определить с помощью его квантильной плотности,^[6] конкретно:

${displaystyle H (gamma) = int _ {0} ^ {1} log, (Q '(p; gamma)), mathrm {d} p = log (4pi gamma)}$

Распределение Коши - это распределение вероятностей максимальной энтропии для случайной вариации ${displaystyle X}$ для которого

${displaystyle operatorname {E} [log (1+ (X-x_ {0}) ^ {2} / gamma ^ {2})] = log 4}$

или, альтернативно, для случайной переменной ${displaystyle X}$ для которого

${displaystyle operatorname {E} [log (1+ (X-x_ {0}) ^ {2})] = 2log (1 + gamma).}$

В стандартном виде это распределение вероятностей максимальной энтропии для случайной вариации ${displaystyle X}$ для которого^[7]

${displaystyle operatorname {E}! left [ln (1 + X ^ {2}) ight] = ln 4.}$

Расхождение Кульбака-Лейблера

В Расхождение Кульбака-Лейблера между двумя распределениями Коши имеет следующую симметричную формулу в замкнутой форме:^[8]

${displaystyle mathrm {KL} left (p_ {l_ {1}, s_ {1}}: p_ {l_ {2}, s_ {2}} ight) = log {frac {left (s_ {1} + s_ {2) } ight) ^ {2} + left (l_ {1} -l_ {2} ight) ^ {2}} {4s_ {1} s_ {2}}}.}.$

Характеристики

Распределение Коши - это пример распределения, не имеющего иметь в виду, отклонение или выше моменты определенный. Его Режим и медиана хорошо определены и оба равны ${displaystyle x_ {0}}$.

Когда ${displaystyle U}$ и ${displaystyle V}$ два независимых нормально распределенный случайные переменные с ожидаемое значение 0 и отклонение 1, то отношение ${displaystyle U / V}$ имеет стандартное распределение Коши.

Если ${displaystyle Sigma}$ это ${displaystyle p imes p}$ положительно-полуопределенная ковариационная матрица со строго положительными диагональными элементами, то для независимые и одинаково распределенные ${displaystyle X, Ysim N (0, Sigma)}$ и любой случайный ${displaystyle p}$-вектор ${displaystyle w}$ независим от ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ такой, что ${displaystyle w_ {1} + cdots + w_ {p} = 1}$ и ${displaystyle w_ {i} geq 0, i = 1, ldots, p,}$ (определяя категориальное распределение ) выполняется

${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {p} w_ {j} {frac {X_ {j}} {Y_ {j}}} sim mathrm {Cauchy} (0,1).}$^[9]

Если ${displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ находятся независимые и одинаково распределенные случайные величины, каждая из которых имеет стандартное распределение Коши, то выборочное среднее ${displaystyle (X_ {1} + cdots + X_ {n}) / n}$ имеет то же стандартное распределение Коши. Чтобы убедиться, что это правда, вычислите характеристическая функция выборочного среднего:

${displaystyle varphi _ {overline {X}} (t) = mathrm {E} left [e ^ {i {overline {X}} t} ight]}$

куда ${displaystyle {overline {X}}}$ - выборочное среднее. Этот пример показывает, что условие конечной дисперсии Центральная предельная теорема нельзя уронить. Это также пример более обобщенной версии центральной предельной теоремы, характерной для всех стабильные дистрибутивы, частным случаем которой является распределение Коши.

Распределение Коши - это безгранично делимое распределение вероятностей. Это также строго стабильный распределение.^[10]

Стандартное распределение Коши совпадает с Студенты т-распределение с одной степенью свободы.

Как и все стабильные дистрибутивы, семья в масштабе местности которому принадлежит распределение Коши, замкнуто относительно линейные преобразования с настоящий коэффициенты. Кроме того, распределение Коши замкнуто относительно дробно-линейные преобразования с действительными коэффициентами.^[11] В этой связи см. Также Параметризация распределений Коши Маккаллахом.

Характеристическая функция

Позволять ${displaystyle X}$ обозначают распределенную случайную величину Коши. В характеристическая функция распределения Коши задается формулой

${displaystyle varphi _ {X} (t; x_ {0}, gamma) = имя оператора {E} left [e ^ {iXt} ight] = int _ {- infty} ^ {infty} f (x; x_ {0} , гамма) e ^ {ixt}, dx = e ^ {ix_ {0} t-gamma | t |}.}$

что просто преобразование Фурье плотности вероятности. Первоначальная плотность вероятности может быть выражена через характеристическую функцию, по существу, с помощью обратного преобразования Фурье:

${displaystyle f (x; x_ {0}, gamma) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} varphi _ {X} (t; x_ {0}, gamma) e ^ {-ixt}, dt!}$

В п-й момент распределения - это п-я производная характеристической функции, вычисленной при ${displaystyle t = 0}$. Обратите внимание, что характеристическая функция не дифференцируемый в начале координат: это соответствует тому факту, что распределение Коши не имеет четко определенных моментов, превышающих нулевой момент.

Объяснение неопределенных моментов

Иметь в виду

Если распределение вероятностей имеет функция плотности ${displaystyle f (x)}$, то среднее значение, если оно существует, определяется выражением

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} xf (x), dx.qquad qquad (1)!}$

Мы можем оценить это двустороннее несобственный интеграл путем вычисления суммы двух односторонних несобственных интегралов. То есть,

${displaystyle int _ {a} ^ {infty} xf (x), dx + int _ {- infty} ^ {a} xf (x), dx.qquad qquad (2)!}$

для произвольного действительного числа ${displaystyle a}$.

Чтобы интеграл существовал (даже как бесконечное значение), хотя бы один из членов этой суммы должен быть конечным или оба должны быть бесконечными и иметь один и тот же знак. Но в случае распределения Коши оба члена в этой сумме (2) бесконечны и имеют противоположный знак. Следовательно, (1) не определено, как и среднее значение.^[12]

Обратите внимание, что Главное значение Коши среднего распределения Коши равно

${displaystyle lim _ {a o infty} int _ {- a} ^ {a} xf (x), dx ,!}$

который равен нулю. С другой стороны, соответствующий интеграл

${displaystyle lim _ {a o infty} int _ {- 2a} ^ {a} xf (x), dx ,!}$

является нет нулю, что легко увидеть, вычислив интеграл. Это снова показывает, что среднее (1) не может существовать.

Различные результаты теории вероятностей о ожидаемые значения, такой как сильный закон больших чисел, не выполняются для распределения Коши.^[12]

Меньшие моменты

Абсолютные моменты для ${displaystyle pin (-1,1)}$ определены. ${displaystyle Xsim mathrm {Cauchy} (0, гамма)}$ у нас есть

${displaystyle operatorname {E} [| X | ^ {p}] = gamma ^ {p} mathrm {sec} (pi p / 2).}$

Высшие моменты

Распределение Коши не имеет конечных моментов любого порядка. Некоторые из высших сырые моменты существуют и имеют значение бесконечности, например необработанный второй момент:

${displaystyle {egin {align} имя оператора {E} [X ^ {2}] & propto int _ {- infty} ^ {infty} {frac {x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}}, dx = int _ {- infty} ^ {infty} 1- {frac {1} {1 + x ^ {2}}}, dx [8pt] & = int _ {- infty} ^ {infty} dx-int _ {-infty} ^ {infty} {frac {1} {1 + x ^ {2}}}, dx = int _ {- infty} ^ {infty} dx-pi = infty .end {выровнено}}}$

Изменив формулу, можно увидеть, что второй момент - это, по сути, бесконечный интеграл от константы (здесь 1). Более высокие даже мощные необработанные моменты также будут оцениваться до бесконечности. Однако сырые моменты с нечетной силой не определены, что заметно отличается от существующих со значением бесконечности. Необработанные моменты с нечетной мощностью не определены, потому что их значения по существу эквивалентны ${displaystyle infty -infty}$ так как две половины интеграла расходятся и имеют противоположные знаки. Первый необработанный момент - это среднее значение, которого, как ни странно, не существует. (См. Также обсуждение этого вопроса выше.) Это, в свою очередь, означает, что все центральные моменты и стандартизированные моменты не определены, поскольку все они основаны на среднем значении. Дисперсия - которая является вторым центральным моментом - также не существует (несмотря на то, что необработанный второй момент существует со значением бесконечность).

Результаты для высших моментов следуют из Неравенство Гёльдера, что означает, что более высокие моменты (или половины моментов) расходятся, если более низкие.

Моменты усеченных распределений

Рассмотрим усеченное распределение определяется ограничением стандартного распределения Коши интервалом [−10¹⁰⁰, 10¹⁰⁰]. У такого усеченного распределения есть все моменты (и центральная предельная теорема применима для i.i.d. наблюдения с него); однако почти для всех практических целей оно ведет себя как распределение Коши.^[13]

Оценка параметров

Поскольку параметры распределения Коши не соответствуют среднему значению и дисперсии, попытка оценить параметры распределения Коши с использованием выборочного среднего и выборочной дисперсии не увенчается успехом.^[14] Например, если i.i.d. образец размера п берется из распределения Коши, можно рассчитать выборочное среднее как:

${displaystyle {ar {x}} = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$

Хотя примерные значения ${displaystyle x_ {i}}$ будет сосредоточено вокруг центральной ценности ${displaystyle x_ {0}}$, среднее значение выборки будет становиться все более изменчивым по мере увеличения количества наблюдений из-за увеличения вероятности обнаружения точек выборки с большим абсолютным значением. Фактически, распределение выборочного среднего будет равно распределению самих наблюдений; т.е. выборочное среднее большой выборки не лучше (или хуже) оценки ${displaystyle x_ {0}}$ чем любое отдельное наблюдение из выборки. Точно так же расчет дисперсии выборки приведет к тому, что значения будут расти по мере увеличения количества наблюдений.

Следовательно, более надежные средства оценки центрального значения ${displaystyle x_ {0}}$ и параметр масштабирования ${displaystyle gamma}$ необходимы. Один из простых способов - взять медианное значение выборки в качестве оценки ${displaystyle x_ {0}}$ и половина образца межквартильный размах как оценщик ${displaystyle gamma}$. Были разработаны другие, более точные и надежные методы. ^[15][16] Например, усеченное среднее из средних 24% выборки статистика заказов дает оценку для ${displaystyle x_ {0}}$ это более эффективно, чем использование медианы выборки или полного среднего значения выборки.^[17][18] Однако из-за толстые хвосты распределения Коши, эффективность оценки снижается, если используется более 24% выборки.^[17][18]

Максимальная вероятность также может использоваться для оценки параметров ${displaystyle x_ {0}}$ и ${displaystyle gamma}$. Однако это имеет тенденцию усложняться тем фактом, что для этого требуется найти корни многочлена высокой степени, и может быть несколько корней, которые представляют локальные максимумы.^[19] Кроме того, хотя оценка максимального правдоподобия является асимптотически эффективной, она относительно неэффективна для небольших выборок.^[20][21] Функция логарифмического правдоподобия для распределения Коши для размера выборки ${displaystyle n}$ является:

${displaystyle {hat {ell}} (x_ {1}, dotsc, x_ {n} mid! x_ {0}, gamma) = - nlog (gamma pi) -sum _ {i = 1} ^ {n} log left (1 + left ({frac {x_ {i} -x_ {0}} {gamma}} ight) ^ {2} ight)}$

Максимизация функции правдоподобия журнала относительно ${displaystyle x_ {0}}$ и ${displaystyle gamma}$ дает следующую систему уравнений:

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {x_ {i} -x_ {0}} {gamma ^ {2} + left (x_ {i} -! x_ {0} ight) ^ {2 }}} = 0}$

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {left (x_ {i} -x_ {0} ight) ^ {2}} {gamma ^ {2} + left (x_ {i} -x_ { 0} ight) ^ {2}}} - {frac {n} {2}} = 0}$

Обратите внимание, что

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {left (x_ {i} -x_ {0} ight) ^ {2}} {gamma ^ {2} + left (x_ {i} -x_ { 0} ight) ^ {2}}}}$

является монотонной функцией в ${displaystyle gamma}$ и что решение ${displaystyle gamma}$ должен удовлетворить

${displaystyle min | x_ {i} -x_ {0} | leq gamma leq max | x_ {i} -x_ {0} |.}$

Решение только для ${displaystyle x_ {0}}$ требует решения полинома степени ${displaystyle 2n-1}$,^[19] и решение только для ${displaystyle,! gamma}$ требует решения полинома степени ${displaystyle 2n}$. Следовательно, независимо от того, решая ли для одного параметра или для обоих параметров одновременно, числовой решение на компьютере обычно требуется. Преимущество оценки максимального правдоподобия - асимптотическая эффективность; оценка ${displaystyle x_ {0}}$ использование медианы выборки составляет лишь около 81% асимптотической эффективности, чем оценка ${displaystyle x_ {0}}$ по максимальной вероятности.^[18][22] Усеченное среднее значение выборки с использованием статистики среднего порядка 24% составляет около 88% как асимптотически эффективная оценка ${displaystyle x_ {0}}$ как оценка максимального правдоподобия.^[18] Когда Метод Ньютона используется для поиска решения для оценки максимального правдоподобия, средняя статистика порядка 24% может использоваться в качестве начального решения для ${displaystyle x_ {0}}$.

Форму можно оценить с помощью медианы абсолютных значений, поскольку для местоположения 0 переменные Коши ${displaystyle Xsim mathrm {Cauchy} (0, гамма)}$, то ${displaystyle mathrm {median} (| X |) = гамма}$ параметр формы.

Многомерное распределение Коши

А случайный вектор ${displaystyle X = (X_ {1}, ldots, X_ {k}) ^ {T}}$ называется многомерным распределением Коши, если любая линейная комбинация его компонентов ${displaystyle Y = a_ {1} X_ {1} + cdots + a_ {k} X_ {k}}$ имеет распределение Коши. То есть для любого постоянного вектора ${displaystyle ain mathbb {R} ^ {k}}$, случайная величина ${displaystyle Y = a ^ {T} X}$ должно иметь одномерное распределение Коши.^[23] Характеристическая функция многомерного распределения Коши определяется выражением:

${displaystyle varphi _ {X} (t) = e ^ {ix_ {0} (t) -gamma (t)} ,!}$

куда ${displaystyle x_ {0} (t)}$ и ${displaystyle gamma (t)}$ настоящие функции с ${displaystyle x_ {0} (t)}$ а однородная функция первой степени и ${displaystyle gamma (t)}$ положительная однородная функция первой степени.^[23] Более формально:^[23]

${displaystyle x_ {0} (at) = ax_ {0} (t),}$

${displaystyle gamma (at) = | a | gamma (t),}$

для всех ${displaystyle t}$.

Пример двумерного распределения Коши может быть дан следующим образом:^[24]

${displaystyle f (x, y; x_ {0}, y_ {0}, gamma) = {1 over 2pi} слева [{gamma over ((x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ { 0}) ^ {2} + гамма ^ {2}) ^ {3/2}} ight].}$

Обратите внимание, что в этом примере, даже если нет аналога ковариационной матрицы, ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$ не статистически независимый.^[24]

Мы также можем написать эту формулу для комплексной переменной. Тогда функция плотности вероятности сложного Коши:

${displaystyle f (z; z_ {0}, gamma) = {1 over 2pi} слева [{gamma over (| z-z_ {0} | ^ {2} + gamma ^ {2}) ^ {3/2} } ight].}$

Как и одномерная плотность, многомерная плотность Коши также связана с многомерное распределение Стьюдента. Они эквивалентны, когда параметр степеней свободы равен единице. Плотность ${displaystyle k}$ Размерность Распределение Стьюдента с одной степенью свободы принимает вид:

${displaystyle f ({mathbf {x}}; {mathbf {mu}}, {mathbf {Sigma}}, k) = {frac {Gamma left ({frac {1 + k} {2}} ight)} {Gamma ({frac {1} {2}}) pi ^ {frac {k} {2}} left | {mathbf {Sigma}} ight | ^ {frac {1} {2}} left [1 + ({mathbf { x}} - {mathbf {mu}}) ^ {T} {mathbf {Sigma}} ^ {- 1} ({mathbf {x}} - {mathbf {mu}}) ight] ^ {frac {1 + k } {2}}}}.}$

Свойства и подробности этой плотности можно получить, рассматривая ее как частный случай многомерной плотности Стьюдента.

Свойства трансформации

• Если ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (x_ {0}, гамма),}$ тогда ${displaystyle kX + ell sim {extrm {Cauchy}} (x_ {0} k + ell, gamma | k |)}$^[25]
• Если ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (x_ {0}, gamma _ {0}),}$ и ${displaystyle Ysim operatorname {Cauchy} (x_ {1}, gamma _ {1}),}$ независимы, то ${displaystyle X + Ysim operatorname {Cauchy} (x_ {0} + x_ {1}, gamma _ {0} + gamma _ {1}),}$ и ${displaystyle X-Ysim operatorname {Cauchy} (x_ {0} -x_ {1}, gamma _ {0} + gamma _ {1}),}$
• Если ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (0, гамма),}$ тогда ${displaystyle {frac {1} {X}} sim operatorname {Cauchy} (0, {frac {1} {gamma}}),}$
• Параметризация распределений Коши Маккаллахом:^[26] Выражение распределения Коши через один комплексный параметр ${displaystyle psi = x_ {0} + igamma}$, определять ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (psi)}$ значить ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (x_ {0}, | гамма |)}$. Если ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (psi)}$ тогда:

${displaystyle {frac {aX + b} {cX + d}} sim operatorname {Cauchy} left ({frac {apsi + b} {cpsi + d}} ight)}$

куда ${displaystyle a}$, ${displaystyle b}$, ${displaystyle c}$ и ${displaystyle d}$ настоящие числа.

• Используя то же соглашение, что и выше, если ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (psi)}$ тогда:^[26]

${displaystyle {frac {X-i} {X + i}} sim operatorname {CCauchy} left ({frac {psi -i} {psi + i}} ight)}$

куда ${displaystyle operatorname {CCauchy}}$ это круговое распределение Коши.

Мера Леви

Распределение Коши - это стабильное распространение индекса 1. Представление Леви – Хинчина такого устойчивого распределения параметра ${displaystyle gamma}$ дается, для ${displaystyle Xsim operatorname {Stable} (гамма, 0,0),}$ к:

${displaystyle operatorname {E} left (e ^ {ixX} ight) = exp left (int _ {mathbb {R}} (e ^ {ixy} -1) Pi _ {gamma} (dy) ight)}$

куда

${displaystyle Pi _ {gamma} (dy) = left (c_ {1, gamma} {frac {1} {y ^ {1 + gamma}}}} 1_ {left {y> 0ight}} + c_ {2, gamma} {frac {1} {| y | ^ {1 + gamma}}} 1_ {left {y <0ight}} ight), dy}$

и ${displaystyle c_ {1, gamma}, c_ {2, gamma}}$ можно выразить явно.^[27] В случае ${displaystyle gamma = 1}$ распределения Коши имеем ${displaystyle c_ {1, gamma} = c_ {2, gamma}}$.

Это последнее представление является следствием формулы

${displaystyle | x | = int _ {mathbb {R}} (1-e ^ {ixy}), {frac {dy} {y ^ {2}}}}$

Связанные дистрибутивы

• ${displaystyle operatorname {Cauchy} (0,1) sim {extrm {t}} (mathrm {df} = 1),}$ Студенты т распределение
• ${displaystyle operatorname {Cauchy} (mu, sigma) sim {extrm {t}} _ {(mathrm {df} = 1)} (mu, sigma),}$ нестандартизированный студенческий т распределение
• Если ${displaystyle X, Ysim {extrm {N}} (0,1), X, Y}$ независимый, тогда ${displaystyle {frac {X} {Y}} sim {extrm {Cauchy}} (0,1),}$
• Если ${displaystyle Xsim {extrm {U}} (0,1),}$ тогда ${displaystyle an left (pi left (X- {frac {1} {2}} ight) ight) sim {extrm {Cauchy}} (0,1),}$
• Если ${displaystyle Xsim operatorname {Log-Cauchy} (0,1)}$ тогда ${displaystyle ln (X) sim {extrm {Cauchy}} (0,1)}$
• Если ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (x_ {0}, гамма)}$ тогда ${displaystyle {frac {1} {X}} sim operatorname {Cauchy} left ({frac {x_ {0}} {x_ {0} ^ {2} + gamma ^ {2}}}, {frac {gamma}) { x_ {0} ^ {2} + гамма ^ {2}}} ight)}$
• Распределение Коши является предельным случаем Распределение Пирсона типа 4^{[нужна цитата ]}
• Распределение Коши - это частный случай Распределение Пирсона типа 7.^[1]
• Распределение Коши - это стабильное распространение: если ${displaystyle Xsim {extrm {Stable}} (1,0, гамма, мю)}$, тогда ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (mu, gamma)}$.
• Распределение Коши является сингулярным пределом гиперболическое распределение^{[нужна цитата ]}
• В обернутое распределение Коши, принимая значения на окружности, получается из распределения Коши путем обертывания его по окружности.
• Если ${displaystyle Xsim {extrm {N}} (0,1)}$, ${displaystyle Zsim operatorname {Inverse-Gamma} (1/2, s ^ ​​{2} / 2)}$, тогда ${displaystyle Y = mu + X {sqrt {Z}} sim operatorname {Cauchy} (mu, s)}$. Для половинных распределений Коши соотношение выполняется, если положить ${displaystyle Xsim {extrm {N}} (0,1) I {X> = 0}}$.

Релятивистское распределение Брейта – Вигнера

В ядерный и физика элементарных частиц, энергетический профиль резонанс описывается релятивистское распределение Брейта – Вигнера, а распределение Коши - это (нерелятивистское) распределение Брейта – Вигнера.^{[нужна цитата ]}

Возникновение и приложения

• В спектроскопия, распределение Коши описывает форму спектральные линии которые подлежат однородное уширение в котором все атомы взаимодействуют одинаково с диапазоном частот, содержащимся в форме линии. Многие механизмы вызывают однородное уширение, в первую очередь коллизионное расширение.^[28] Пожизненное или естественное расширение также приводит к форме линии, описываемой распределением Коши.

• Приложения распределения Коши или его преобразования можно найти в областях, работающих с экспоненциальным ростом. Статья Уайта 1958 года ^[29] вывели тестовую статистику для оценок ${displaystyle {hat {eta}}}$ для уравнения ${displaystyle x_ {t + 1} = eta {x} _ {t} + varepsilon _ {t + 1}, eta> 1}$ и где оценка максимального правдоподобия находится с использованием обычных наименьших квадратов, показано, что выборочное распределение статистики является распределением Коши.

Подгонянное кумулятивное распределение Коши к максимальным однодневным осадкам с использованием CumFreq, смотрите также распределительная арматура ^[30]

• Распределение Коши часто представляет собой распределение наблюдений за вращающимися объектами. Классическая ссылка на это называется проблемой маяка Чайки.^[31] и, как в предыдущем разделе, как распределение Брейта – Вигнера в физике элементарных частиц.

• В гидрология Распределение Коши применяется к экстремальным явлениям, таким как годовые максимальные однодневные осадки и сток реки. На синем рисунке показан пример подгонки распределения Коши для ранжированных месячных максимальных однодневных осадков, показывающий также 90% пояс уверенности на основе биномиальное распределение. Данные об осадках представлены построение позиций как часть совокупный частотный анализ.

• Выражение для мнимой части комплекса электрическая проницаемость согласно модели Лоренца - это распределение Коши.

• Как дополнительный дистрибутив к модели толстые хвосты в вычислительные финансы, Распределения Коши можно использовать для моделирования VAR (стоимость под риском ) создают гораздо большую вероятность экстремального риска, чем Гауссово распределение. ^[32]

Смотрите также

• Леви рейс и Леви процесс
• Процесс Коши
• Стабильный процесс
• Распределение слэша

Рекомендации

внешняя ссылка

• «Распределение Коши», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Раннее использование: запись о распределении Коши содержит некоторую историческую информацию.
• Вайсштейн, Эрик В. "Распределение Коши". MathWorld.
• Научная библиотека GNU - Справочное руководство
• Отношения нормальных переменных Джорджа Марсальи