Многомерное t-распределение - Multivariate t-distribution

Многомерный т

Обозначение	${displaystyle t_ {u} ({oldsymbol {mu}}, {oldsymbol {Sigma}})}$
Параметры	${displaystyle {oldsymbol {mu}} = [mu _ {1}, dots, mu _ {p}] ^ {T}}$ место расположения (настоящий ${displaystyle p imes 1}$ вектор ) ${displaystyle {oldsymbol {Sigma}}}$ масштабная матрица (положительно определенный настоящий ${displaystyle p imes p}$ матрица ) ${displaystyle u}$ это степени свободы
Поддерживать	${displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} ^ {p}!}$
PDF	${displaystyle {frac {Gamma left [(u + p) / 2ight]} {Gamma (u / 2) u ^ {p / 2} pi ^ {p / 2} left | {oldsymbol {Sigma}} полет | ^ { 1/2}}} осталось [1+ {frac {1} {u}} ({mathbf {x}} - {oldsymbol {mu}}) ^ {m {T}} {oldsymbol {Sigma}} ^ {- 1} ({mathbf {x}} - {oldsymbol {mu}}) ight] ^ {- (u + p) / 2}}$
CDF	Нет аналитического выражения, но см. Текст для приближений
Иметь в виду	${displaystyle {oldsymbol {mu}}}$ если ${displaystyle u> 1}$; еще не определено
Медиана	${displaystyle {oldsymbol {mu}}}$
Режим	${displaystyle {oldsymbol {mu}}}$
Дисперсия	${displaystyle {frac {u} {u -2}} {oldsymbol {Sigma}}}$ если ${displaystyle u> 2}$; еще не определено
Асимметрия	0

В статистика, то многомерный т-распределение (или же многомерное распределение Стьюдента) это многомерное распределение вероятностей. Это обобщение случайные векторы из Студенты т-распределение, которое является распределением, применимым к одномерному случайные переменные. В то время как случай с случайная матрица можно рассматривать в рамках этой структуры, матрица т-распределение отличается и особенно использует матричную структуру.

Определение

Один из распространенных методов построения многомерной т-распределение, в случае ${displaystyle p}$ размеров, основан на наблюдении, что если ${displaystyle mathbf {y}}$ и ${displaystyle u}$ независимы и распределены как ${displaystyle {mathcal {N}} ({mathbf {0}}, {oldsymbol {Sigma}})}$ и ${displaystyle chi _ {u} ^ {2}}$ (т.е. многомерный нормальный и распределения хи-квадрат ) соответственно матрица ${displaystyle mathbf {Sigma},}$ это п × п матрица и ${displaystyle {mathbf {y}} / {sqrt {u / u}} = {mathbf {x}} - {oldsymbol {mu}}}$, тогда ${displaystyle {mathbf {x}}}$ имеет плотность

${displaystyle {frac {Gamma left [(u + p) / 2ight]} {Gamma (u / 2) u ^ {p / 2} pi ^ {p / 2} left | {oldsymbol {Sigma}} полет | ^ { 1/2}}} осталось [1+ {frac {1} {u}} ({mathbf {x}} - {oldsymbol {mu}}) ^ {T} {oldsymbol {Sigma}} ^ {- 1} ( {mathbf {x}} - {oldsymbol {mu}}) ight] ^ {- (u + p) / 2}}$

и называется многомерным т-распределение с параметрами ${displaystyle {oldsymbol {Sigma}}, {oldsymbol {mu}}, u}$. Обратите внимание, что ${displaystyle mathbf {Sigma}}$ не является ковариационной матрицей, поскольку ковариация задается формулой ${displaystyle u / (u -2) mathbf {Sigma}}$ (за ${displaystyle u> 2}$).

В частном случае ${displaystyle u = 1}$, распределение есть многомерное распределение Коши.

Вывод

На самом деле есть много кандидатов для многомерного обобщения Студенты т-распределение. Обширный обзор месторождения был дан Котцем и Надараджей (2004). Существенный вопрос состоит в том, чтобы определить функцию плотности вероятности нескольких переменных, которая является подходящим обобщением формулы для одномерного случая. В одном измерении (${displaystyle p = 1}$), с ${displaystyle t = x-mu}$ и ${displaystyle Sigma = 1}$, у нас есть функция плотности вероятности

${displaystyle f (t) = {frac {Gamma [(u +1) / 2]} {{sqrt {u pi,}}, Gamma [u / 2]}} (1 + t ^ {2} / u) ^ {- (и +1) / 2}}$

и один из подходов - записать соответствующую функцию от нескольких переменных. Это основная идея эллиптическое распределение теории, где записывается соответствующая функция ${displaystyle p}$ переменные ${displaystyle t_ {i}}$ что заменяет ${displaystyle t ^ {2}}$ квадратичной функцией всех ${displaystyle t_ {i}}$. Понятно, что это имеет смысл только тогда, когда все маргинальные распределения имеют одинаковые степени свободы ${displaystyle u}$. С ${displaystyle mathbf {A} = {oldsymbol {Sigma}} ^ {- 1}}$, есть простой выбор многомерной функции плотности

${displaystyle f (mathbf {t}) = {frac {Gamma ((u + p) / 2) left | mathbf {A} ight | ^ {1/2}} {{sqrt {u ^ {p} pi ^ { p},}}, Gamma (u / 2)}} left (1 + sum _ {i, j = 1} ^ {p, p} A_ {ij} t_ {i} t_ {j} / u ight) ^ {- (u + p) / 2}}$

который является стандартным, но не единственным выбором.

Важным частным случаем является стандартный двумерный т-распределение, п = 2:

${displaystyle f (t_ {1}, t_ {2}) = {frac {left | mathbf {A} ight | ^ {1/2}} {2pi}} left (1 + сумма _ {i, j = 1} ^ {2,2} A_ {ij} t_ {i} t_ {j} / u ight) ^ {- (u +2) / 2}}$

Обратите внимание, что ${displaystyle {frac {Gamma left ({frac {u +2} {2}} ight)} {pi u Gamma left ({frac {u} {2}} ight)}} = {frac {1} {2pi} }}$.

Сейчас если ${displaystyle mathbf {A}}$ - единичная матрица, плотность

${displaystyle f (t_ {1}, t_ {2}) = {frac {1} {2pi}} left (1+ (t_ {1} ^ {2} + t_ {2} ^ {2}) / u ight ) ^ {- (u +2) / 2}.}$

Сложность со стандартным представлением раскрывается этой формулой, которая не факторизуется в произведение маргинальных одномерных распределений. Когда ${displaystyle Sigma}$ диагонально, можно показать, что стандартное представление имеет нулевое корреляция но маржинальные распределения не согласен с статистическая независимость.

Кумулятивная функция распределения

Определение кумулятивная функция распределения (cdf) в одном измерении может быть расширен до нескольких измерений путем определения следующей вероятности (здесь ${displaystyle mathbf {x}}$ - реальный вектор):

${displaystyle F (mathbf {x}) = mathbb {P} (mathbf {X} leq mathbf {x}), quad {extrm {where}} ;; mathbf {X} sim t_ {u} ({oldsymbol {mu} }, {oldsymbol {Sigma}}).}$

Нет простой формулы для ${displaystyle F (mathbf {x})}$, но это может быть приблизительно численно через Интеграция Монте-Карло.^[1][2]

Копулы на основе многомерной т

Использование таких дистрибутивов вновь вызывает интерес благодаря приложениям в математические финансы, особенно за счет использования Студенческого т связка.^{[нужна цитата ]}

Связанные понятия

В одномерной статистике Студенты т-тест использует Студенты т-распределение. Хотеллинга Т-квадратное распределение - это распределение, возникающее в многомерной статистике. В матрица т-распределение представляет собой распределение случайных величин, организованных в матричную структуру.

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Май 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Смотрите также

• Многомерное нормальное распределение, который является частным случаем многомерного t-распределения Стьюдента, когда ${displaystyle u uparrow infty}$.
• Распределение Ци, то pdf коэффициента масштабирования при построении t-распределения Стьюдента, а также 2-норма (или же Евклидова норма ) многомерного нормально распределенного вектора (с центром в нуле).
• Расстояние Махаланобиса

Рекомендации

Литература

внешняя ссылка

• Методы копулы против канонических многомерных распределений: многомерное T-распределение Стьюдента с общими степенями свободы
• Многомерный студенческий т-распределение