Обернутое нормальное распределение - Wrapped normal distribution

Завернутый нормальный

Функция плотности вероятности Носитель выбирается равным [-π, π] с μ = 0.
Кумулятивная функция распределения Носитель выбирается равным [-π, π] с μ = 0.
Параметры	${displaystyle mu}$ настоящий ${displaystyle sigma> 0}$
Поддерживать	${displaystyle heta in}$ любой интервал длины 2π
PDF	${displaystyle {frac {1} {2pi}} vartheta left ({frac {heta -mu} {2pi}}, {frac {isigma ^ {2}} {2pi}} ight)}$
Иметь в виду	${displaystyle mu}$ если поддержка на интервале ${displaystyle mu pm pi}$
Медиана	${displaystyle mu}$ если поддержка на интервале ${displaystyle mu pm pi}$
Режим	${displaystyle mu}$
Дисперсия	${displaystyle 1-e ^ {- sigma ^ {2} / 2}}$ (круговой)
Энтропия	(см. текст)
CF	${displaystyle e ^ {- sigma ^ {2} n ^ {2} / 2 + inmu}}$

В теория вероятности и направленная статистика, а обернутое нормальное распределение это упакованное распределение вероятностей что является результатом "упаковки" нормальное распределение вокруг единичный круг. Он находит применение в теории Броуновское движение и является решением уравнение теплопроводности за периодические граничные условия. Это близко приближается к распределение фон Мизеса, которое благодаря своей математической простоте и управляемости является наиболее часто используемым распределением в направленной статистике.^[1]

Определение

В функция плотности вероятности обернутого нормального распределения^[2]

${displaystyle f_ {WN} (heta; mu, sigma) = {frac {1} {sigma {sqrt {2pi}}}} sum _ {k = -infty} ^ {infty} exp left [{frac {- (heta -mu + 2pi k) ^ {2}} {2sigma ^ {2}}} ight],}$

куда μ и σ - среднее и стандартное отклонение развернутого распределения, соответственно. Выражая указанная выше функция плотности в терминах характеристическая функция нормального распределения дает:^[2]

${displaystyle f_ {WN} (heta; mu, sigma) = {frac {1} {2pi}} sum _ {n = -infty} ^ {infty} e ^ {- sigma ^ {2} n ^ {2} / 2 + in (heta -mu)} = {frac {1} {2pi}} vartheta left ({frac {heta -mu} {2pi}}, {frac {isigma ^ {2}} {2pi}} ight), }$

куда ${displaystyle vartheta (heta, au)}$ это Тета-функция Якоби, данный

${displaystyle vartheta (heta, au) = sum _ {n = -infty} ^ {infty} (w ^ {2}) ^ {n} q ^ {n ^ {2}} {ext {where}} wequiv e ^ {ipi heta}}$ и ${displaystyle qequiv e ^ {ipi au}.}$

Обернутое нормальное распределение также может быть выражено через Тройное произведение Якоби:^[3]

${displaystyle f_ {WN} (heta; mu, sigma) = {frac {1} {2pi}} prod _ {n = 1} ^ {infty} (1-q ^ {n}) (1 + q ^ {n -1/2} z) (1 + q ^ {n-1/2} / z).}$

куда ${displaystyle z = e ^ {i (heta -mu)},}$ и ${displaystyle q = e ^ {- sigma ^ {2}}.}$

Моменты

В терминах круговой переменной ${displaystyle z = e ^ {i heta}}$ Круговые моменты свернутого нормального распределения являются характеристической функцией нормального распределения, вычисляемой при целочисленных аргументах:

${displaystyle langle z ^ {n} angle = int _ {Gamma} e ^ {in heta}, f_ {WN} (heta; mu, sigma), d heta = e ^ {inmu -n ^ {2} sigma ^ { 2} / 2}.}$

куда ${displaystyle Gamma,}$ это некоторый интервал длины ${displaystyle 2pi}$. Тогда первый момент - это среднее значение z, также называемый средним результирующим или средним результирующим вектором:

${displaystyle langle zangle = e ^ {imu -sigma ^ {2} / 2}}$

Средний угол

${displaystyle heta _ {mu} = mathrm {Arg} langle zangle = mu}$

а длина среднего результата равна

${displaystyle R = | langle zangle | = e ^ {- sigma ^ {2} / 2}}$

Круговое стандартное отклонение, которое является полезной мерой дисперсии для свернутого нормального распределения и его близкого родственника, распределение фон Мизеса дан кем-то:

${displaystyle s = ln (R ^ {- 2}) ^ {1/2} = sigma}$

Оценка параметров

Серия N измерения z_п = е ^iθ_п полученное из обернутого нормального распределения может использоваться для оценки определенных параметров распределения. Среднее значение серии z определяется как

${displaystyle {overline {z}} = {frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} z_ {n}}$

и его математическое ожидание будет только первым моментом:

${displaystyle langle {overline {z}} angle = e ^ {imu -sigma ^ {2} / 2}.,}$

Другими словами, z объективная оценка первого момента. Если предположить, что среднее μ лежит в интервале [-π, π), то Argz будет (смещенной) оценкой среднегоμ.

Просмотр журнала z_п как набор векторов в комплексной плоскости, р² статистика - это квадрат длины усредненного вектора:

${displaystyle {overline {R}} ^ {2} = {overline {z}}, {overline {z ^ {*}}} = left ({frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} cos heta _ {n} ight) ^ {2} + left ({frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} sin heta _ {n} ight) ^ {2} ,}$

и его ожидаемое значение:

${displaystyle leftlangle {overline {R}} ^ {2} ightangle = {frac {1} {N}} + {frac {N-1} {N}}, e ^ {- sigma ^ {2}},}$

Другими словами, статистика

${displaystyle R_ {e} ^ {2} = {frac {N} {N-1}} left ({overline {R}} ^ {2} - {frac {1} {N}} ight)}$

будет объективной оценкой е^−σ2, а ln (1 /р_е²) будет (смещенной) оценкойσ²

Энтропия

В информационная энтропия обернутого нормального распределения определяется как:^[2]

${displaystyle H = -int _ {Gamma} f_ {WN} (heta; mu, sigma), ln (f_ {WN} (heta; mu, sigma)), d heta}$

куда ${displaystyle Gamma}$ любой интервал длины ${displaystyle 2pi}$. Определение ${displaystyle z = e ^ {i (heta -mu)}}$ и ${displaystyle q = e ^ {- sigma ^ {2}}}$, то Тройное произведение Якоби представление обернутой нормали:

${displaystyle f_ {WN} (heta; mu, sigma) = {frac {phi (q)} {2pi}} prod _ {m = 1} ^ {infty} (1 + q ^ {m-1/2} z ) (1 + q ^ {m-1/2} z ^ {- 1})}$

куда ${displaystyle phi (q),}$ это Функция Эйлера. Логарифм плотности свернутого нормального распределения может быть записан:

${displaystyle ln (f_ {WN} (heta; mu, sigma)) = ln left ({frac {phi (q)} {2pi}} ight) + sum _ {m = 1} ^ {infty} ln (1+ q ^ {m-1/2} z) + sum _ {m = 1} ^ {infty} ln (1 + q ^ {m-1/2} z ^ {- 1})}$

Используя расширение ряда для логарифма:

${displaystyle ln (1 + x) = - sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k}} {k}}, x ^ {k}}$

логарифмические суммы могут быть записаны как:

${displaystyle sum _ {m = 1} ^ {infty} ln (1 + q ^ {m-1/2} z ^ {pm 1}) = - sum _ {m = 1} ^ {infty} sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k}} {k}}, q ^ {mk-k / 2} z ^ {pm k} = - sum _ {k = 1} ^ { infty} {гидроразрыв {(-1) ^ {k}} {k}}, {гидроразрыв {q ^ {k / 2}} {1-q ^ {k}}}, z ^ {pm k}}$

так что логарифм плотности свернутого нормального распределения может быть записан как:

${displaystyle ln (f_ {WN} (heta; mu, sigma)) = ln left ({frac {phi (q)} {2pi}} ight) -sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {( -1) ^ {k}} {k}} {frac {q ^ {k / 2}} {1-q ^ {k}}}, (z ^ {k} + z ^ {- k})}$

который по сути Ряд Фурье в ${displaystyle heta,}$. Используя представление характеристической функции для свернутого нормального распределения в левой части интеграла:

${displaystyle f_ {WN} (heta; mu, sigma) = {frac {1} {2pi}} sum _ {n = -infty} ^ {infty} q ^ {n ^ {2} / 2}, z ^ { n}}$

энтропию можно записать:

${displaystyle H = -ln left ({frac {phi (q)} {2pi}} ight) + {frac {1} {2pi}} int _ {Gamma} left (sum _ {n = -infty} ^ {infty } sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k}} {k}} {frac {q ^ {(n ^ {2} + k) / 2}} {1- q ^ {k}}} влево (z ^ {n + k} + z ^ {nk} ight) ight), d heta}$

который может быть интегрирован для получения:

${displaystyle H = -ln left ({frac {phi (q)} {2pi}} ight) + 2sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k}} {k}} , {гидроразрыв {q ^ {(k ^ {2} + k) / 2}} {1-q ^ {k}}}}$

Смотрите также

• Распространение в оболочке
• Гребень Дирака
• Обернутое распределение Коши

Рекомендации

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

• Боррадейл, Грэм (2003). Статистика данных наук о Земле. Springer. ISBN  978-3-540-43603-4. Получено 31 декабря 2009.
• Фишер, Н. И. (1996). Статистический анализ циркулярных данных. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-56890-6. Получено 2010-02-09.
• Брайтенбергер, Эрнст (1963). «Аналоги нормального распределения на окружности и сфере». Биометрика. 50 (1/2): 81–88. Дои:10.2307/2333749. JSTOR  2333749.

внешняя ссылка

• Математика и статистика круговых значений в C ++ 11, Инфраструктура C ++ 11 для круговых значений (углов, времени суток и т. Д.), Математики и статистики.