Расширенное отрицательное биномиальное распределение - Википедия - Extended negative binomial distribution

В вероятность и статистика в расширенное отрицательное биномиальное распределение это дискретное распределение вероятностей расширение отрицательное биномиальное распределение. Это усеченный версия отрицательного биномиального распределения^[1] для которых были изучены методы оценки.^[2]

В контексте актуарная наука, в общем виде распределение появилось в статье К. Хесса, А. Левальда и К.Д. Шмидт^[3] когда они охарактеризовали все распределения, для которых расширенный Рекурсия Панджера работает. По делу м = 1, раздачу уже обсуждал Уиллмот^[4] и поместить в параметризованную семью с логарифмическое распределение и отрицательное биномиальное распределение Х. Гербер.^[5]

Вероятностная функция масс

Для натурального числа м ≥ 1 и реальные параметры п, р с 0 < п ≤ 1 и –м < р < –м + 1, то функция массы вероятности из ExtNegBin (м, р, п) распределение дается

${ Displaystyle е (к; м, р, р) = 0 qquad { текст {для}} к в {0,1, ldots, м-1 }}$

и

${ Displaystyle е (к; м, р, р) = { гидроразрыва {{к + г-1 выберите к} р ^ {к}} {(1-р) ^ {- г} - сумма _ { j = 0} ^ {m-1} {j + r-1 choose j} p ^ {j}}} quad { text {for}} k in { mathbb {N}} { text { с}} k geq m,}$

куда

${ Displaystyle {к + р-1 выберите k} = { frac { Gamma (k + r)} {k! , Gamma (r)}} = (- 1) ^ {k} , { -r выбрать k} qquad qquad (1)}$

является (обобщенным) биномиальный коэффициент и Γ обозначает гамма-функция.

Функция, производящая вероятность

Используя это ж ( . ; м, р, пс) за s ∈ (0, 1] также является функцией массы вероятности, отсюда следует, что функция, производящая вероятность дан кем-то

${ Displaystyle { begin {align} varphi (s) & = sum _ {k = m} ^ { infty} f (k; m, r, p) s ^ {k} & = { frac {(1-ps) ^ {- r} - sum _ {j = 0} ^ {m-1} { binom {j + r-1} {j}} (ps) ^ {j}} { (1-p) ^ {- r} - sum _ {j = 0} ^ {m-1} { binom {j + r-1} {j}} p ^ {j}}} qquad { текст {for}} | s | leq { frac {1} {p}}. end {выравнивается}}}$

Для важного дела м = 1, следовательно р ∈ (–1, 0), это упрощает

${ displaystyle varphi (s) = { frac {1- (1-ps) ^ {- r}} {1- (1-p) ^ {- r}}} qquad { text {for}} | s | leq { frac {1} {p}}.}$

Рекомендации