Обернутое распределение Коши - Wrapped Cauchy distribution

Завернутый Коши

Функция плотности вероятности Опора выбрана [-π, π)
Кумулятивная функция распределения Опора выбрана [-π, π)
Параметры	${ displaystyle mu}$ Настоящий ${ displaystyle gamma> 0}$
Поддерживать	${ Displaystyle - пи leq тета < пи}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} {2 pi}} , { frac { sinh ( gamma)} { cosh ( gamma) - cos ( theta - mu)}}}$
CDF	${ displaystyle ,}$
Иметь в виду	${ displaystyle mu}$ (круговой)
Дисперсия	${ displaystyle 1-e ^ {- gamma}}$ (круговой)
Энтропия	${ Displaystyle пер (2 пи (1-е ^ {- 2 гамма}))}$ (дифференциал)
CF	${ Displaystyle е ^ {в му - | п | гамма}}$

В теория вероятности и направленная статистика, а обернутое распределение Коши это упакованное распределение вероятностей что является результатом "упаковки" Распределение Коши вокруг единичный круг. Распределение Коши иногда называют лоренцевым распределением, а обернутое распределение Коши иногда называют обернутым лоренцевым распределением.

Обернутое распределение Коши часто встречается в области спектроскопии, где оно используется для анализа дифракционных картин (например, см. Интерферометр Фабри – Перо ).

Описание

В функция плотности вероятности завернутых Распределение Коши является:^[1]

${ displaystyle f_ {WC} ( theta; mu, gamma) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} { frac { gamma} { pi ( gamma ^ {2} + ( theta - mu +2 pi n) ^ {2})}}}$

куда ${ displaystyle gamma}$ - коэффициент масштабирования и ${ displaystyle mu}$ - это положение пика «развернутого» распределения. Выражая вышеупомянутый pdf с точки зрения характеристическая функция распределения Коши дает:

${ displaystyle f_ {WC} ( theta; mu, gamma) = { frac {1} {2 pi}} sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ {in ( theta - mu) - | n | gamma} = { frac {1} {2 pi}} , , { frac { sinh gamma} { ch gamma - cos ( theta - mu)}}}$

PDF также может быть выражен с помощью круговой переменной г = е ^{я θ} и комплексный параметр ζ = e ^{я (μ + i γ)}

${ Displaystyle f_ {WC} (z; zeta) = { frac {1} {2 pi}} , , { frac {1- | zeta | ^ {2}} {| z- дзета | ^ {2}}}}$

где, как показано ниже, ζ = .

В терминах круговой переменной ${ Displaystyle г = е ^ {я тета}}$ Круговые моменты свернутого распределения Коши являются характеристической функцией распределения Коши, вычисляемой с целыми аргументами:

${ displaystyle langle z ^ {n} rangle = int _ { Gamma} e ^ {in theta} , f_ {WC} ( theta; mu, gamma) , d theta = e ^ {in mu - | n | gamma}.}$

куда ${ displaystyle Gamma ,}$ это некоторый интервал длины ${ displaystyle 2 pi}$. Тогда первый момент - это среднее значение z, также известный как средний результирующий или средний результирующий вектор:

${ Displaystyle langle Z rangle = е ^ {я му - гамма}}$

Средний угол

${ Displaystyle langle theta rangle = mathrm {Arg} langle z rangle = mu}$

а длина среднего результата равна

${ Displaystyle R = | langle z rangle | = e ^ {- gamma}}$

давая круговую дисперсию 1-R.

Оценка параметров

Серия N измерения ${ Displaystyle Z_ {п} = е ^ {я тета _ {п}}}$ полученное из обернутого распределения Коши, можно использовать для оценки определенных параметров распределения. Среднее значение серии ${ displaystyle { overline {z}}}$ определяется как

${ displaystyle { overline {z}} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} z_ {n}}$

и его математическое ожидание будет только первым моментом:

${ Displaystyle langle { overline {z}} rangle = е ^ {я му - гамма}}$

Другими словами, ${ displaystyle { overline {z}}}$ объективная оценка первого момента. Если предположить, что положение пика ${ displaystyle mu}$ лежит в интервале ${ displaystyle [- pi, pi)}$, затем Arg${ displaystyle ({ overline {z}})}$ будет (смещенной) оценкой положения пика ${ displaystyle mu}$.

Просмотр журнала ${ displaystyle z_ {n}}$ как набор векторов в комплексной плоскости, ${ displaystyle { overline {R}} ^ {2}}$ статистика - это длина усредненного вектора:

${ displaystyle { overline {R}} ^ {2} = { overline {z}} , { overline {z ^ {*}}} = left ({ frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} cos theta _ {n} right) ^ {2} + left ({ frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ { N} sin theta _ {n} right) ^ {2}}$

и его математическое ожидание

${ displaystyle langle { overline {R}} ^ {2} rangle = { frac {1} {N}} + { frac {N-1} {N}} e ^ {- 2 gamma} .}$

Другими словами, статистика

${ displaystyle R_ {e} ^ {2} = { frac {N} {N-1}} left ({ overline {R}} ^ {2} - { frac {1} {N}} верно)}$

будет объективной оценкой ${ displaystyle e ^ {- 2 gamma}}$, и ${ Displaystyle ln (1 / R_ {е} ^ {2}) / 2}$ будет (смещенной) оценкой ${ displaystyle gamma}$.

Энтропия

В информационная энтропия обернутого распределения Коши определяется как:^[1]

${ Displaystyle H = - int _ { Gamma} f_ {WC} ( theta; mu, gamma) , ln (f_ {WC} ( theta; mu, gamma)) , d theta}$

куда ${ displaystyle Gamma}$ любой интервал длины ${ displaystyle 2 pi}$. Логарифм плотности обернутого распределения Коши может быть записан как Ряд Фурье в ${ displaystyle theta ,}$:

${ displaystyle ln (f_ {WC} ( theta; mu, gamma)) = c_ {0} +2 sum _ {m = 1} ^ { infty} c_ {m} cos (m тета)}$

куда

${ displaystyle c_ {m} = { frac {1} {2 pi}} int _ { Gamma} ln left ({ frac { sinh gamma} {2 pi ( cosh gamma) - cos theta)}} right) cos (m theta) , d theta}$

что дает:

${ displaystyle c_ {0} = ln left ({ frac {1-e ^ {- 2 gamma}} {2 pi}} right)}$

(ср. Градштейн и Рыжик^[2] 4.224.15) и

${ displaystyle c_ {m} = { frac {e ^ {- m gamma}} {m}} qquad mathrm {for} , m> 0}$

(ср. Градштейн и Рыжик^[2] 4.397.6). Представление характеристической функции для свернутого распределения Коши в левой части интеграла:

${ displaystyle f_ {WC} ( theta; mu, gamma) = { frac {1} {2 pi}} left (1 + 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} phi _ {n} cos (n theta) right)}$

куда ${ Displaystyle phi _ {п} = е ^ {- | п | гамма}}$. Подставляя эти выражения в интеграл энтропии, меняя порядок интегрирования и суммирования и используя ортогональность косинусов, энтропию можно записать:

${ displaystyle H = -c_ {0} -2 sum _ {m = 1} ^ { infty} phi _ {m} c_ {m} = - ln left ({ frac {1-e ^ {-2 gamma}} {2 pi}} right) -2 sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {e ^ {- 2n gamma}} {n}}}$

Сериал - это просто Расширение Тейлора для логарифма ${ Displaystyle (1-е ^ {- 2 gamma})}$ так что энтропия может быть записана в закрытая форма в качестве:

${ Displaystyle Н = пер (2 пи (1-е ^ {- 2 гамма})) ,}$

Круговое распределение Коши

Если Икс является распределенным Коши с медианной μ и параметром масштаба γ, то комплексная переменная

${ Displaystyle Z = { гидроразрыва {X-i} {X + i}}}$

имеет единичный модуль и распределяется по единичной окружности с плотностью:^[3]

${ displaystyle f_ {CC} ( theta, mu, gamma) = { frac {1} {2 pi}} { frac {1- | zeta | ^ {2}} {| e ^ { я theta} - zeta | ^ {2}}}}$

куда

${ displaystyle zeta = { frac { psi -i} { psi + i}}}$

и ψ выражает два параметра ассоциированного линейного распределения Коши для Икс как комплексное число:

${ Displaystyle psi = му + я гамма ,}$

Можно видеть, что круговое распределение Коши имеет ту же функциональную форму, что и свернутое распределение Коши в z и ζ (т. е. f_Туалет(z, ζ)). Круговое распределение Коши - это перепараметризованное обернутое распределение Коши:

${ displaystyle f_ {CC} ( theta, m, gamma) = f_ {WC} left (e ^ {i theta}, , { frac {m + i gamma -i} {m + i) gamma + i}} right)}$

Распространение ${ displaystyle f_ {CC} ( theta; mu, gamma)}$ называется круговым распределением Коши^[3][4] (также комплексное распределение Коши^[3]) с параметрами μ и γ. (Смотрите также Параметризация распределений Коши Маккаллахом и Ядро Пуассона для связанных понятий.)

Круговое распределение Коши, выраженное в комплексной форме, имеет конечные моменты всех порядков

${ displaystyle operatorname {E} [Z ^ {n}] = zeta ^ {n}, quad operatorname {E} [{ bar {Z}} ^ {n}] = { bar { zeta }} ^ {n}}$

для целого числа п ≥ 1. При | φ | <1 преобразование

${ displaystyle U (z, phi) = { frac {z- phi} {1 - { bar { phi}} z}}}$

является голоморфный на единичном диске, а преобразованная переменная U(Z, φ) распределена как комплексное Коши с параметром U(ζ, φ).

Учитывая образец z₁, ..., z_п размера п > 2 уравнение максимального правдоподобия

${ displaystyle n ^ {- 1} U left (z, { hat { zeta}} right) = n ^ {- 1} sum U left (z_ {j}, { hat { zeta) }} right) = 0}$

можно решить простой итерацией с фиксированной точкой:

${ displaystyle zeta ^ {(r + 1)} = U left (n ^ {- 1} U (z, zeta ^ {(r)}), , - zeta ^ {(r)} верно),}$

начиная с ζ⁽⁰⁾ = 0. Последовательность значений правдоподобия неубывающая, и решение уникально для выборок, содержащих не менее трех различных значений.^[5]

Оценка максимального правдоподобия для медианы (${ displaystyle { hat { mu}}}$) и параметр масштаба (${ displaystyle { hat { gamma}}}$) реальной выборки Коши получается обратным преобразованием:

${ displaystyle { hat { mu}} pm i { hat { gamma}} = i { frac {1 + { hat { zeta}}} {1 - { hat { zeta}} }}.}$

За п ≤ 4 известны выражения в замкнутой форме для ${ displaystyle { hat { zeta}}}$.^[6] Плотность оценки максимального правдоподобия при т в единичном диске обязательно имеет вид:

${ displaystyle { frac {1} {4 pi}} { frac {p_ {n} ( chi (t, zeta))} {(1- | t | ^ {2}) ^ {2} }},}$

куда

${ Displaystyle чи (т, дзета) = { гидроразрыва {| т- дзета | ^ {2}} {4 (1- | т | ^ {2}) (1- | дзета | ^ {2 })}}}$.

Формулы для п₃ и п₄ доступны.^[7]

Смотрите также

• Распространение в оболочке
• Гребень Дирака
• Обернутое нормальное распределение
• Круговое равномерное распределение
• Параметризация распределений Коши Маккаллахом

Рекомендации

• Боррадейл, Грэм (2003). Статистика данных наук о Земле. Springer. ISBN  978-3-540-43603-4. Получено 31 декабря 2009.
• Фишер, Н. И. (1996). Статистический анализ циркулярных данных. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-56890-6. Получено 2010-02-09.