Распределение Лог-Коши - Log-Cauchy distribution

Лог-Коши

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${ displaystyle mu}$ (настоящий ) ${ displaystyle displaystyle sigma> 0 !}$ (настоящий)
Поддерживать	${ Displaystyle Displaystyle х в (0, + infty) !}$
PDF	${ Displaystyle {1 над х pi} влево [{ sigma над ( ln x- mu) ^ {2} + sigma ^ {2}} right], x> 0}$
CDF	${ displaystyle { frac {1} { pi}} arctan left ({ frac { ln x- mu} { sigma}} right) + { frac {1} {2}}, x> 0}$
Иметь в виду	бесконечный
Медиана	${ Displaystyle е ^ { му} ,}$
Дисперсия	бесконечный
Асимметрия	не существует
Бывший. эксцесс	не существует
MGF	не существует

В теории вероятностей a логарифмическое распределение Коши это распределение вероятностей из случайная переменная чей логарифм распространяется в соответствии с Распределение Коши. Если Икс случайная величина с распределением Коши, то Y = ехр (Икс) имеет логарифмическое распределение Коши; аналогично, если Y имеет логарифмическое распределение Коши, то Икс = журнал (Y) имеет распределение Коши.^[1]

Характеристика

Функция плотности вероятности

Распределение log-Коши имеет функция плотности вероятности:

${ displaystyle { begin {align} f (x; mu, sigma) & = { frac {1} {x pi sigma left [1+ left ({ frac { ln x- mu} { sigma}} right) ^ {2} right]}}, x> 0 & = {1 over x pi} left [{ sigma over ( ln x- mu) ^ {2} + sigma ^ {2}} right], x> 0 end {align}}}$

куда ${ displaystyle mu}$ это настоящий номер и ${ displaystyle sigma> 0}$.^[1][2] Если ${ displaystyle sigma}$ известно, параметр масштаба является ${ displaystyle e ^ { mu}}$.^[1] ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle sigma}$ соответствуют параметр местоположения и параметр масштаба ассоциированного распределения Коши.^[1][3] Некоторые авторы определяют ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle sigma}$ как место расположения и масштабные параметры логарифмического распределения Коши соответственно.^[3]

За ${ displaystyle mu = 0}$ и ${ displaystyle sigma = 1}$, соответствующая стандартному распределению Коши, функция плотности вероятности сводится к:^[4]

${ displaystyle f (x; 0,1) = { frac {1} {x pi (1 + ( ln x) ^ {2})}}, x> 0}$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf ) когда ${ displaystyle mu = 0}$ и ${ Displaystyle sigma = 1}$ является:^[4]

${ Displaystyle F (x; 0,1) = { frac {1} {2}} + { frac {1} { pi}} arctan ( ln x), x> 0}$

Функция выживания

В функция выживания когда ${ displaystyle mu = 0}$ и ${ Displaystyle sigma = 1}$ является:^[4]

${ Displaystyle S (x; 0,1) = { frac {1} {2}} - { frac {1} { pi}} arctan ( ln x), x> 0}$

Уровень опасности

В степень опасности когда ${ displaystyle mu = 0}$ и ${ Displaystyle sigma = 1}$ является:^[4]

${ Displaystyle lambda (x; 0,1) = left ({ frac {1} {x pi left (1+ left ( ln x right) ^ {2} right)}} left ({ frac {1} {2}} - { frac {1} { pi}} arctan ( ln x) right) right) ^ {- 1}, x> 0}$

Уровень опасности уменьшается в начале и в конце распределения, но может быть интервал, в течение которого уровень опасности увеличивается.^[4]

Характеристики

Распределение log-Коши является примером распределение с тяжелым хвостом.^[5] Некоторые авторы считают его "сверхтяжелым хвостом", потому что у него более тяжелый хвост, чем у Распределение Парето -типа тяжелый хвост, т.е. логарифмически убывающий хвост.^[5][6] Как и в случае с распределением Коши, ни одно из нетривиальных моменты логарифмического распределения Коши конечны.^[4] В иметь в виду является моментом, поэтому распределение log-Коши не имеет определенного среднего или стандартное отклонение.^[7][8]

Распределение log-Коши: бесконечно делимый для некоторых параметров, но не для других.^[9] Словно логнормальное распределение, log-t или log-распределение студентов и Распределение Вейбулла, распределение log-Коши является частным случаем обобщенное бета-распределение второго рода.^[10][11] Лог-Коши на самом деле является частным случаем распределения log-t, подобно распределению Коши, являющемуся частным случаем Распределение Стьюдента с 1 степенью свободы.^[12][13]

Поскольку распределение Коши является стабильное распространение, логарифм-Коши является устойчивым в логарифмическом отношении распределением.^[14] Распределения Logstable имеют полюса при x = 0.^[13]

Оценка параметров

В медиана из натуральные логарифмы из образец это робастная оценка из ${ displaystyle mu}$.^[1] В среднее абсолютное отклонение натуральных логарифмов выборки является робастной оценкой ${ displaystyle sigma}$.^[1]

Использует

В Байесовская статистика, распределение log-Коши можно использовать для аппроксимации неподходящий Джеффрис -Плотность по холдану, 1 / k, которую иногда предлагают как предварительное распространение для k, где k - оцениваемый положительный параметр.^[15][16] Распределение log-Коши можно использовать для моделирования определенных процессов выживания, когда выбросы или могут произойти экстремальные результаты.^[2][3][17] Примером процесса, в котором логарифмическое распределение Коши может быть подходящей моделью, является время между заражением Вирус ВИЧ и проявление симптомов болезни, которые у некоторых людей могут длиться очень долго.^[3] Он также был предложен в качестве модели для моделей обилия видов.^[18]

Рекомендации