Обобщенное бета-распределение - Generalized beta distribution

эта статья слишком полагается на использованная литература к основные источники. Пожалуйста, улучшите это, добавив вторичные или третичные источники. (апрель 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В вероятность и статистика, то обобщенное бета-распределение^[1] это непрерывное распределение вероятностей с пятью параметрами, включая более тридцати именованных распределений как ограничение или Особые случаи. Он был использован при моделировании распределение доходов, доходность акций, а также в регрессивный анализ. В экспоненциальное обобщенное бета-распределение (EGB) следует непосредственно из ГБ и обобщает другие распространенные распределения.

Определение

Обобщенная бета-случайная величина, Y, определяется следующей функцией плотности вероятности:

${ Displaystyle ГБ (y; a, b, c, p, q) = { frac {| a | y ^ {ap-1} (1- (1-c) (y / b) ^ {a}) ^ {q-1}} {b ^ {ap} B (p, q) (1 + c (y / b) ^ {a}) ^ {p + q}}} quad quad { text {для }} 0$

и ноль в противном случае. Здесь параметры удовлетворяют ${ Displaystyle 0 Leq с Leq 1}$ и ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle p}$, и ${ displaystyle q}$ положительный. Функция B(р, д) это бета-функция.

Дерево распределения ГБ

Свойства

Моменты

Можно показать, что час-й момент можно выразить следующим образом:

${ displaystyle operatorname {E} _ {GB} (Y ^ {h}) = { frac {b ^ {h} B (p + h / a, q)} {B (p, q)}} { } _ {2} F_ {1} { begin {bmatrix} p + h / a, h / a; c p + q + h / a; end {bmatrix}},}$

где ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$ обозначает гипергеометрический ряд (который сходится для всех час если c<1, или для всех час/а<q если c=1 ).

Связанные дистрибутивы

Обобщенная бета-версия охватывает множество распределений как предельных или частных случаев. Они изображены в дереве распределения GB, показанном выше. Ниже перечислены его три прямых потомка или подсемейства.

Обобщенная бета первого рода (GB1)

Обобщенная бета первого типа определяется следующим pdf:

${ displaystyle GB1 (y; a, b, p, q) = { frac {| a | y ^ {ap-1} (1- (y / b) ^ {a}) ^ {q-1}} {b ^ {ap} B (p, q)}}}$

для ${ Displaystyle 0 <у ^ {а} <Ь ^ {а}}$ где ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle p}$, и ${ displaystyle q}$ положительные. Легко проверить, что

${ Displaystyle GB1 (y; a, b, p, q) = GB (y; a, b, c = 0, p, q).}$

Моменты GB1 даются

${ displaystyle operatorname {E} _ {GB1} (Y ^ {h}) = { frac {b ^ {h} B (p + h / a, q)} {B (p, q)}}. }$

GB1 включает в себя бета первого типа (B1), обобщенная гамма (GG) и Парето как особые случаи:

${ Displaystyle B1 (y; b, p, q) = GB1 (y; a = 1, b, p, q),}$

${ Displaystyle GG (y; a, beta, p) = lim _ {q to infty} GB1 (y; a, b = q ^ {1 / a} beta, p, q),}$

${ displaystyle PARETO (y; b, p) = GB1 (y; a = -1, b, p, q = 1).}$

Обобщенная бета второго типа (GB2)

GB2 определяется следующим pdf:

${ displaystyle GB2 (y; a, b, p, q) = { frac {| a | y ^ {ap-1}} {b ^ {ap} B (p, q) (1+ (y / b ) ^ {a}) ^ {p + q}}}}$

для ${ Displaystyle 0 <у < infty}$ и ноль в противном случае. Можно убедиться, что

${ Displaystyle GB2 (y; a, b, p, q) = GB (y; a, b, c = 1, p, q).}$

Моменты GB2 даются

${ displaystyle operatorname {E} _ {GB2} (Y ^ {h}) = { frac {b ^ {h} B (p + h / a, qh / a)} {B (p, q)} }.}$

GB2 также известен как Обобщенная бета-прайм (Патил, Босуэлл, Ратнапархи (1984))^[2], преобразованная бета (Venter, 1983),^[3] обобщенный F (Kalfleisch and Prentice, 1980),^[4] и является частным случаем (μ≡0) Феллер-Парето (Арнольд, 1983)^[5] распространение. GB2 содержит общие дистрибутивы, такие как обобщенная гамма (GG), тип заусенца 3, Тип заусенца 12, Дагум, логнормальный, Weibull, гамма, Lomax, F статистика, Фиск или Рэлей, хи-квадрат, наполовину нормальный, полустуденческий т, экспоненциальный, асимметричный лог-Лаплас, лог-Лаплас, степенная функция и логистика.^[6]

Бета

В бета-распространение (B) определяется:^[1]

${ Displaystyle B (y; b, c, p, q) = { frac {y ^ {p-1} (1- (1-c) (y / b)) ^ {q-1}} {b ^ {p} B (p, q) (1 + c (y / b)) ^ {p + q}}}}$

для ${ Displaystyle 0 <у <б / (1-с)}$ и ноль в противном случае. Его отношение к ГБ показано ниже:

${ Displaystyle B (y; b, c, p, q) = GB (y; a = 1, b, c, p, q).}$

Семейство бета включает бета-версии первого и второго рода.^[7] (B1 и B2, где B2 также называют Бета-прайм ), которые соответствуют c = 0 и c = 1 соответственно.

Обобщенная гамма

В обобщенное гамма-распределение (GG) - это предельный случай GB2. Его PDF определяется:^[8]

${ Displaystyle GG (Y; a, beta, p) = lim _ {q rightarrow infty} GB2 (y, a, b = q ^ {1 / a} beta, p, q) = { frac {| a | y ^ {ap-1} e ^ {- (y / beta) ^ {a}}} { beta ^ {ap} Gamma (p)}}}$

с ${ displaystyle h}$моменты, данные

${ displaystyle operatorname {E} (Y_ {GG} ^ {h}) = { frac { beta ^ {h} Gamma (p + h / a)} { Gamma (p)}}.}$

Как отмечалось ранее, генеалогическое древо распределения GB наглядно отображает особые и предельные случаи (см. McDonald and Xu (1995)).

Парето

Распределение Парето (PA) является следующим предельным случаем обобщенной гаммы:

${ Displaystyle PA (Y; beta, theta) = lim _ {a rightarrow - infty} GG (y; a, beta, p = - theta / a) = lim _ {a rightarrow - infty} left ({ frac { theta y ^ {- theta -1} e ^ {- (y / beta) ^ {a}}} { beta ^ {- theta} (- theta / a) Gamma (- theta / a)}} right) =}$

${ displaystyle lim _ {a rightarrow - infty} left ({ frac { theta y ^ {- theta -1} e ^ {- (y / beta) ^ {a}}} { beta ^ {- theta} Gamma (1- theta / a)}} right) = { frac { theta y ^ {- theta -1}} { beta ^ {- theta}}} }$ для ${ Displaystyle бета <у}$ и ${ displaystyle 0}$ в противном случае.

Мощность

Распределение мощности (P) является следующим предельным случаем обобщенной гаммы:

${ Displaystyle P (Y; бета, тета) = lim _ {a rightarrow infty} GG (y; a = theta / p, beta, p) = lim _ {a rightarrow infty } { frac { mid { frac { theta} {p}} | y ^ { theta -1} e ^ {- (y / beta) ^ {a}}} { beta ^ { theta } Gamma (p)}} = lim _ {a rightarrow infty} { frac { theta y ^ { theta -1}} {p Gamma (p) beta ^ { theta}}} e ^ {- (y / beta) ^ {a}} =}$

${ displaystyle lim _ {a rightarrow infty} { frac { theta y ^ { theta -1}} { Gamma (p + 1) beta ^ { theta}}} e ^ {- ( y / beta) ^ {a}} = lim _ {a rightarrow infty} { frac { theta y ^ { theta -1}} { Gamma ({ frac { theta} {a} } +1) beta ^ { theta}}} e ^ {- (y / beta) ^ {a}} = { frac { theta y ^ { theta -1}} { beta ^ { тета}}},}$

что эквивалентно распределению степенной функции для ${ Displaystyle 0 Leq Y Leq beta}$ и ${ displaystyle theta> 0}$.

Асимметричный лог-Лаплас

Асимметричное распределение лог-Лапласа (также называемое двойным распределением Парето ^[9]) определяется:^[10]

${ displaystyle ALL (y; b, lambda _ {1}, lambda _ {2}) = lim _ {a rightarrow infty} GB2 (y; a, b, p = lambda _ {1} / a, q = lambda _ {2} / a) = { frac { lambda _ {1} lambda _ {2}} {y ( lambda _ {1} + lambda _ {2})} } { begin {cases} ({ frac {y} {b}}) ^ { lambda _ {1}} & { mbox {for}} 0$

где ${ displaystyle h}$-ые моменты даны

${ displaystyle operatorname {E} (Y_ {ALL} ^ {h}) = { frac {b ^ {h} lambda _ {1} lambda _ {2}} {( lambda _ {1} + h) ( lambda _ {2} -h)}}.}$

Когда ${ displaystyle lambda _ {1} = lambda _ {2}}$, это эквивалентно логарифмическое распределение.

Экспоненциальное обобщенное бета-распределение

Сдача ${ displaystyle Y sim GB (y; a, b, c, p, q)}$, случайная величина ${ Displaystyle Z = ln (Y)}$с повторной параметризацией распространяется как экспоненциальная обобщенная бета-версия (EGB) со следующим PDF-файлом:

${ Displaystyle EGB (z; дельта, сигма, с, р, q) = { гидроразрыва {е ^ {р (г- дельта) / сигма} (1- (1-с) е ^ {( z- delta) / sigma}) ^ {q-1}} {| sigma | B (p, q) (1 + ce ^ {(z- delta) / sigma}) ^ {p + q }}}}$

для ${ displaystyle - infty <{ frac {z- delta} { sigma}} < ln ({ frac {1} {1-c}})}$, и ноль в противном случае. EGB включает обобщения Гомпертц, Гамбелл, тип экстремального значения I, логистика, Бурр-2, экспоненциальный, и нормальный раздачи.

Включен рисунок, показывающий взаимосвязь между EGB и его частными и предельными случаями.^[11]

Семейство дистрибутивов EGB

Функция создания момента

Используя обозначения, аналогичные приведенным выше, момент-производящая функция EGB можно выразить следующим образом:

${ Displaystyle M_ {EGB} (Z) = { frac {e ^ { delta t} B (p + t sigma, q)} {B (p, q)}} {} _ {2} F_ { 1} { begin {bmatrix} p + t sigma, t sigma; c p + q + t sigma; end {bmatrix}}.}$

Многомерное обобщенное бета-распределение

Многомерный обобщенный бета-файл PDF расширяет одномерные распределения, перечисленные выше. Для ${ displaystyle n}$ переменные ${ displaystyle y = (y_ {1}, ..., y_ {n})}$, определить ${ displaystyle 1xn}$ векторы параметров ${ Displaystyle а = (а_ {1}, ..., а_ {п})}$, ${ displaystyle b = (b_ {1}, ..., b_ {n})}$, ${ displaystyle c = (c_ {1}, ..., c_ {n})}$, и ${ displaystyle p = (p_ {1}, ..., p_ {n})}$ где каждый ${ displaystyle b_ {i}}$ и ${ displaystyle p_ {i}}$ положительный, и ${ displaystyle 0}$ ${ displaystyle leq}$ ${ displaystyle c_ {i}}$ ${ displaystyle leq}$ ${ displaystyle 1}$. Параметр ${ displaystyle q}$ считается положительным, и определим функцию ${ displaystyle B (p_ {1}, ..., p_ {n}, q)}$ = ${ displaystyle { frac { Gamma (p_ {1}) ... Gamma (p_ {n}) Gamma (q)} { Gamma ({ bar {p}} + q)}}}$ для ${ displaystyle { bar {p}}}$ = ${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {п} р_ {я}}$.

PDF многомерной обобщенной беты (${ displaystyle MGB}$) можно записать следующим образом:

${ displaystyle MGB (y; a, b, p, q, c) = { frac {( prod _ {i = 1} ^ {n} | a_ {i} | y_ {i} ^ {a_ {i) } p_ {i} -1}) (1- sum _ {i = 1} ^ {n} (1-c_ {i}) ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}}) ^ {a_ {i}}) ^ {q-1}} {( prod _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i}}) B (p_ {1 }, ..., p_ {n}, q) (1+ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}})) ^ {a_ {i}}) ^ {{ bar {p}} + q}}}}$

где ${ displaystyle 0}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {n} (1-c_ {i}) ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}}) ^ {a_ {i}}}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle 1}$ для ${ displaystyle 0}$ ${ displaystyle leq}$ ${ displaystyle c_ {i}}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle 1}$ и ${ displaystyle 0}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle y_ {i}}$ когда ${ displaystyle c_ {i}}$ = ${ displaystyle 1}$.

Как и одномерное обобщенное бета-распределение, многомерное обобщенное бета-распределение включает в себя несколько распределений в своем семействе в качестве частных случаев. Наложив определенные ограничения на векторы параметров, можно легко получить следующие распределения.^[12]

Многомерная обобщенная бета первого рода (MGB1)

Когда каждый ${ displaystyle c_ {i}}$ равно 0, функция MGB упрощается до многомерной обобщенной беты первого рода (MGB1), которая определяется следующим образом:

${ displaystyle MGB1 (y; a, b, p, q) = { frac {( prod _ {i = 1} ^ {n} | a_ {i} | y_ {i} ^ {a_ {i} p_) {i} -1}) (1- sum _ {i = 1} ^ {n} ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}}) ^ {a_ {i}}) ^ { q-1}} {( prod _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i}}) B (p_ {1}, ..., p_ {n} , q)}}}$

где ${ displaystyle 0}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {n} ({ гидроразрыва {y_ {i}} {b_ {i}}}) ^ {a_ {i}}}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle 1}$.

Многомерная обобщенная бета второго рода (MGB2)

В случае, когда каждый ${ displaystyle c_ {i}}$ равно 1, MGB упрощается до многомерной обобщенной бета-версии второго рода (MGB2) с pdf, определенным ниже:

${ displaystyle MGB2 (y; a, b, p, q) = { frac {( prod _ {i = 1} ^ {n} | a_ {i} | y_ {i} ^ {a_ {i} p_) {i} -1})} {( prod _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i}}) B (p_ {1}, ..., p_ {n}, q) (1+ sum _ {i = 1} ^ {n} ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}}) ^ {a_ {i}}) ^ {{ bar {p}} + q}}}}$

когда ${ displaystyle 0}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle y_ {i}}$ для всех ${ displaystyle y_ {i}}$.

Многомерная обобщенная гамма

Многомерный обобщенный гамма-файл (MGG) pdf может быть получен из MGB pdf путем замены ${ displaystyle b_ {i}}$ = ${ Displaystyle бета _ {я} д ^ { гидроразрыва {1} {а_ {я}}}}$ и принимая предел как ${ displaystyle q}$ ${ displaystyle to}$ ${ displaystyle infty}$, с приближением Стирлинга для гамма-функции, что дает следующую функцию:

${ displaystyle MGG (y; a, beta, p) = ({ frac {( prod _ {i = 1} ^ {n} | a_ {i} | y_ {i} ^ {a_ {i} p_) {i} -1})} {( prod _ {i = 1} ^ {n} beta _ {i} ^ {a_ {i} p_ {i}}) Gamma (p_ {i})}} ) e ^ {- sum _ {i = 1} ^ {n} ({ frac {y_ {i}} { beta _ {i}}}) ^ {a_ {i}}} = prod _ { i = 1} ^ {n} GG (y_ {i}; a_ {i}, beta _ {i}, p_ {i})}$

который является продуктом независимо, но не обязательно одинаково распределенных обобщенных гамма-случайных величин.

Другие многомерные распределения

Подобные PDF-файлы могут быть созданы для других переменных в генеалогическом дереве, показанном выше, просто поместив M перед каждым именем PDF-файла и найдя соответствующие ограничивающие и особые случаи MGB, как указано ограничениями и пределами одномерного распределения. Дополнительные многомерные PDF-файлы в литературе включают Распределение Дирихле (стандартная форма) ${ displaystyle MGB1 (y; a = 1, b = 1, p, q)}$, то многомерная обратная бета и перевернутый Дирихле (Тип Дирихле 2) распределение ${ displaystyle MGB2 (y; a = 1, b = 1, p, q)}$, и многомерное распределение Burr, заданное формулой ${ displaystyle MGB2 (y; a, b, p, q = 1)}$.

Функции предельной плотности

Функции предельной плотности MGB1 и MGB2, соответственно, представляют собой обобщенные бета-распределения первого и второго рода и задаются следующим образом:

${ displaystyle GB1 (y_ {i}; a_ {i}, b_ {i}, p_ {i}, { bar {p}} - p_ {i} + q) = { frac {| a_ {i} | y_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i} -1} (1 - ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}}) ^ {a_ {i}}) ^ {{ bar {p}} - p_ {i} + q-1}} {b_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i}} B (p_ {i}, { bar {p}} - p_ { i} + q)}}}$

${ displaystyle GB2 (y_ {i}; a_ {i}, b_ {i}, p_ {i}, q) = { frac {| a_ {i} | y_ {i} ^ {a_ {i} p_ { i} -1}} {b_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i}} B (p_ {i}, q) (1 + ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}) }) ^ {a_ {i}}) ^ {p_ {i} + q}}}}$

Приложения

Гибкость, обеспечиваемая семейством GB, используется при моделировании распределения:

• распределение доходов
• функции опасности
• доходность акций
• страховые убытки

Приложения с участием членов семейства EGB включают:^[1][6]

• частично адаптивная оценка регрессионных моделей
• модели временных рядов
• (G) Модели ARCH

Распределение доходов

GB2 и несколько его особых и ограничивающих случаев широко использовались в качестве моделей для распределения доходов. Некоторые ранние примеры см. В Thurow (1970),^[13] Дагум (1977),^[14] Сингх и Маддала (1976),^[15] и Макдональд (1984).^[6]С помощью этих распределений легко выполнить оценки максимального правдоподобия с использованием индивидуальных, сгруппированных данных или данных с верхним кодом.

Меры неравенства, такие как Индекс Джини (G), индекс Пьетра (P) и Индекс Тейла (T) может быть выражено через параметры распределения, как указано Макдональдом и Рэнсомом (2008):^[16]

${ displaystyle { begin {align} G = left ({ frac {1} {2 mu}} right) operatorname {E} (| YX |) = left (P { frac {1} {2 mu}} right) int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} | xy | f (x) f (y) , dxdy = 1- { frac { int _ {0} ^ { infty} (1-F (y)) ^ {2} , dy} { int _ {0} ^ { infty} (1-F (y) ) , dy}} P = left ({ frac {1} {2 mu}} right) operatorname {E} (| Y- mu |) = left ({ frac {1 } {2 mu}} right) int _ {0} ^ { infty} | y- mu | f (y) , dy T = operatorname {E} ( ln (Y / mu) ^ {Y / mu}) = int _ {0} ^ { infty} (y / mu) ln (y / mu) f (y) , dy end {выровнено}}}$

Функции опасностей

В функция опасности, h (s), где f (s) - pdf, а F (s) - соответствующий cdf, определяется как

${ displaystyle h (s) = { frac {f (s)} {1-F (s)}}}$

Функции опасностей полезны во многих приложениях, таких как моделирование продолжительности безработицы, времени отказа продуктов или ожидаемой продолжительности жизни. Рассмотрим конкретный пример: если s обозначает продолжительность жизни, то h (s) - это уровень смертности в возрасте s при условии, что человек дожил до возраста s. Форма функции риска для данных о смертности людей может выглядеть следующим образом: снижение смертности в первые несколько месяцев жизни, затем период относительно постоянной смертности и, наконец, увеличение вероятности смерти в более старшем возрасте.

Особые случаи обобщенное бета-распределение предлагают большую гибкость в моделировании формы функции риска, которая может требовать форм «» или «∩» или строго возрастающих (обозначается I}) или убывающих (обозначается D) линий. В обобщенная гамма имеет "-образную форму для a> 1 и p <1 / a,-образную форму для a <1 и p> 1 / a, I-образную форму для a> 1 и p> 1 / a и D-образную форму для a <1 и p> 1 / a.^[17] Это показано на рисунке ниже.^[18][19]

Возможные формы функции опасности с использованием обобщенной гаммы

использованная литература

Список используемой литературы

• К. Клейбер и С. Коц (2003) Статистические распределения размеров в экономике и актуарных науках. Нью-Йорк: Wiley
• Джонсон, Н. Л., С. Коц и Н. Балакришнан (1994) Непрерывные одномерные распределения. Vol. 2, Хобокен, Нью-Джерси: Wiley-Interscience.