Лямбда-распределение Тьюки - Википедия - Tukey lambda distribution

Лямбда-распределение Тьюки

Функция плотности вероятности
Обозначение	Тьюки (λ)
Параметры	λ ∈ р — параметр формы
Поддержка	Икс ∈ [−1/λ, 1/λ] для λ > 0, Икс ∈ р для λ ≤ 0
PDF	${ Displaystyle (Q (п; лямбда), д (р; лямбда) ^ {- 1}), , 0 leq , р , leq , 1}$
CDF	${ Displaystyle (е ^ {- х} +1) ^ {- 1}, , , лямбда , = , 0 ,}$(особый случай) ${ Displaystyle (Q (п; лямбда), р), , 0 Leq , р , Leq , 1 ,}$(общий случай)
Значить	${ displaystyle 0, , , lambda> -1}$
Медиана	0
Режим	0
Дисперсия	${ displaystyle { frac {2} { lambda ^ {2}}} { bigg (} { frac {1} {1 + 2 lambda}} - { frac { Gamma ( lambda +1) ^ {2}} { Gamma (2 lambda +2)}} { bigg)}, , , lambda> -1/2}$ ${ displaystyle { frac { pi ^ {2}} {3}}, , , lambda , = , 0}$
Асимметрия	${ displaystyle 0, , , lambda> -1/3}$
Ex. эксцесс	${ displaystyle { frac {(2 lambda +1) ^ {2}} {2 (4 lambda +1)}} , { frac {g_ {2} ^ {2} { big (} 3g_ {2} ^ {2} -4g_ {1} g_ {3} + g_ {4} { big)}} {g_ {4} { big (} g_ {1} ^ {2} -g_ {2} { big)} ^ {2}}} , - , 3,}$ ${ Displaystyle 1.2, , , лямбда , = , 0,}$ ${ displaystyle { text {where}} , g_ {k} , = , Gamma (k lambda +1) , { text {and}} , lambda ,> , - 1 / 4.}$
Энтропия	${ displaystyle h ( lambda) = int _ {0} ^ {1} log (q (p; lambda)) , dp}$[1]
CF	${ displaystyle phi (t; lambda) = int _ {0} ^ {1} exp (, it , Q (p; lambda)) , dp}$[2]

Формализовано Джон Тьюки, то Лямбда-распределение Тьюки является непрерывным симметричным распределением вероятностей, определенным в терминах его квантильная функция. Обычно он используется для определения подходящего дистрибутива (см. Комментарии ниже) и не используется в статистические модели прямо.

Лямбда-распределение Тьюки имеет один параметр формы, λ, и, как и другие распределения вероятностей, его можно преобразовать с помощью параметр местоположения, μ и a параметр масштаба, σ. Поскольку общий вид распределения вероятностей может быть выражен в терминах стандартного распределения, следующие формулы даются для стандартного вида функции.

Квантильная функция

Для стандартной формы лямбда-распределения Тьюки функция квантиля, ${ displaystyle Q (p)}$, (т.е. обратное кумулятивная функция распределения ) и квантильной функции плотности (${ displaystyle q = dQ / dp}$) находятся

${ displaystyle Q left (p; lambda right) = { begin {case} { frac {1} { lambda}} left [p ^ { lambda} - (1-p) ^ { lambda} right], & { mbox {if}} lambda neq 0 log ({ frac {p} {1-p}}), & { mbox {if}} lambda = 0 , end {case}}}$

${ displaystyle q left (p; lambda right) = p ^ {( lambda -1)} + left (1-p right) ^ {( lambda -1)}.}$

Для большинства значений параметра формы λ, то функция плотности вероятности (PDF) и кумулятивная функция распределения (CDF) необходимо вычислять численно. Лямбда-распределение Тьюки имеет простую закрытую форму для CDF и / или PDF только для нескольких исключительных значений параметра формы, например: λ = 2, 1, ½, 0 (см. равномерное распределение и логистическая дистрибуция ).

Однако при любом значении λ как CDF, так и PDF могут быть сведены в таблицу для любого количества кумулятивных вероятностей, п, используя функцию квантиля Q рассчитать стоимость Икс, для каждой кумулятивной вероятности п, с плотностью вероятности, заданной¹⁄_q, обратная квантильной функции плотности. Как это обычно бывает со статистическими распределениями, лямбда-распределение Тьюки можно легко использовать, просматривая значения в подготовленной таблице.

Моменты

Лямбда-распределение Тьюки симметрично относительно нуля, поэтому ожидаемое значение этого распределения равно нулю. Разница существует для λ > −½ и задается формулой (кроме случаев, когда λ = 0)

${ displaystyle operatorname {Var} [X] = { frac {2} { lambda ^ {2}}} { bigg (} { frac {1} {1 + 2 lambda}} - { frac { Gamma ( lambda +1) ^ {2}} { Gamma (2 lambda +2)}} { bigg)}.}.$

В более общем плане пмомент порядка конечен, когда λ > −1/п и выражается через бета-функция Β(Икс,у) (кроме случаев, когда λ = 0) :

${ displaystyle mu _ {n} = operatorname {E} [X ^ {n}] = { frac {1} { lambda ^ {n}}} sum _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} {n choose k} , mathrm {B} ( lambda k + 1, , lambda (nk) +1).}$

Отметим, что из-за симметрии функции плотности все моменты нечетных порядков равны нулю.

L-моменты

В отличие от центральных моментов, L-моменты можно выразить в закрытой форме. L-момент порядка г> 1 дан кем-то^[3]

${ displaystyle L_ {r} = { frac { left [1 + (- 1) ^ {r} right]} { lambda}} sum _ {k = 0} ^ {r-1} (- 1) ^ {r-1-k} { binom {r-1} {k}} { binom {r + k-1} {k}} left ({ frac {1} {k + 1 + lambda}} right).}$

Первые шесть L-моментов можно представить следующим образом:^[3]

${ displaystyle L_ {1} = 0}$

${ displaystyle L_ {2} = { frac {2} { lambda}} left [- { frac {1} {1+ lambda}} + { frac {2} {2+ lambda}} правильно]}$

${ displaystyle L_ {3} = 0}$

${ displaystyle L_ {4} = { frac {2} { lambda}} left [- { frac {1} {1+ lambda}} + { frac {12} {2+ lambda}} - { frac {30} {3+ lambda}} + { frac {30} {4+ lambda}} right]}$

${ displaystyle L_ {5} = 0}$

${ displaystyle L_ {6} = { frac {2} { lambda}} left [- { frac {1} {1+ lambda}} + { frac {30} {2+ lambda}} - { frac {210} {3+ lambda}} + { frac {560} {4+ lambda}} - { frac {630} {5+ lambda}} + { frac {252} { 6+ lambda}} right] ,.}$

Комментарии

Лямбда-распределение Тьюки на самом деле представляет собой семейство распределений, которые могут приближаться к ряду общих распределений. Например,

λ = −1	ок. Коши C(0,π)
λ = 0	именно так логистика
λ = 0.14	ок. нормальный N(0, 2.142)
λ = 0.5	строго вогнутый (${ displaystyle cap}$-образный)
λ = 1	именно так униформа U(−1, 1)
λ = 2	именно так униформа U(−½, ½)

Чаще всего этот дистрибутив используется для генерации лямбда-выражения Тьюки. Участок PPCC из набор данных. На основе графика PPCC соответствующий модель для данных предлагается. Например, если максимальное корреляция происходит для значения λ при или около 0,14, то данные можно смоделировать с нормальным распределением. Ценности λ меньше, чем это подразумевает распределение с тяжелым хвостом (с −1 аппроксимирует Коши). То есть, когда оптимальное значение лямбда изменяется от 0,14 до -1, подразумеваются все более тяжелые хвосты. Аналогично, как оптимальное значение λ становится больше 0,14, подразумеваются более короткие хвосты.

Поскольку лямбда-распределение Тьюки является симметричный распределения, использование лямбда-графика PPCC Тьюки для определения разумного распределения для моделирования данных применяется только к симметричным распределениям. А гистограмма данных должны предоставить доказательства того, можно ли разумно моделировать данные с симметричным распределением.^[4]

использованная литература

внешние ссылки

• Лямбда-распределение Тьюки

Эта статья включаетматериалы общественного достояния от Национальный институт стандартов и технологий интернет сайт https://www.nist.gov.