Бета-прайм Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры α > 0 { displaystyle alpha> 0} форма (настоящий ) β > 0 { displaystyle beta> 0} Поддерживать Икс ∈ [ 0 , ∞ ) { Displaystyle х в [0, infty) !} PDF ж ( Икс ) = Икс α − 1 ( 1 + Икс ) − α − β B ( α , β ) { displaystyle f (x) = { frac {x ^ { alpha -1} (1 + x) ^ {- alpha - beta}} {B ( alpha, beta)}} !} CDF я Икс 1 + Икс ( α , β ) { Displaystyle I _ {{ гидроразрыва {х} {1 + х}} ( альфа, бета)}} я Икс ( α , β ) { Displaystyle I_ {х} ( альфа, бета)} Иметь в виду α β − 1 если β > 1 { displaystyle { frac { alpha} { beta -1}} { text {if}} beta> 1} Режим α − 1 β + 1 если α ≥ 1 , 0 иначе { displaystyle { frac { alpha -1} { beta +1}} { text {if}} alpha geq 1 { text {, 0 в противном случае}} !} Дисперсия α ( α + β − 1 ) ( β − 2 ) ( β − 1 ) 2 если β > 2 { displaystyle { frac { alpha ( alpha + beta -1)} {( beta -2) ( beta -1) ^ {2}}} { text {if}} beta> 2} Асимметрия 2 ( 2 α + β − 1 ) β − 3 β − 2 α ( α + β − 1 ) если β > 3 { displaystyle { frac {2 (2 alpha + beta -1)} { beta -3}} { sqrt { frac { beta -2} { alpha ( alpha + beta -1) }}} { text {if}} beta> 3} MGF е − т Γ ( α + β ) Γ ( β ) грамм 1 , 2 2 , 0 ( α + β β , 0 | − т ) { displaystyle { frac {e ^ {- t} Gamma ( alpha + beta)} { Gamma ( beta)}} G_ {1,2} ^ {, 2,0} ! left ( left. { begin {matrix} alpha + beta beta, 0 end {matrix}} ; right | , - t right)}
В теория вероятности и статистика , то бета-простое распределение (также известный как инвертированное бета-распределение или же бета-раздача второго рода [1] абсолютно непрерывное распределение вероятностей определены для Икс > 0 { displaystyle x> 0} α и β , имея функция плотности вероятности :
ж ( Икс ) = Икс α − 1 ( 1 + Икс ) − α − β B ( α , β ) { Displaystyle е (х) = { гидроразрыва {х ^ { альфа -1} (1 + х) ^ {- альфа - бета}} {В ( альфа, бета)}}} куда B это Бета-функция .
В кумулятивная функция распределения является
F ( Икс ; α , β ) = я Икс 1 + Икс ( α , β ) , { Displaystyle F (х; альфа, бета) = I _ { гидроразрыва {х} {1 + х}} влево ( альфа, бета вправо),} куда я это регуляризованная неполная бета-функция .
Ожидаемое значение, дисперсия и другие подробности распределения приведены в боковом поле; за β > 4 { displaystyle beta> 4} избыточный эксцесс является
γ 2 = 6 α ( α + β − 1 ) ( 5 β − 11 ) + ( β − 1 ) 2 ( β − 2 ) α ( α + β − 1 ) ( β − 3 ) ( β − 4 ) . { Displaystyle гамма _ {2} = 6 { гидроразрыва { альфа ( альфа + бета -1) (5 бета -11) + ( бета -1) ^ {2} ( бета -2) } { alpha ( alpha + beta -1) ( beta -3) ( beta -4)}}.}. Хотя связанные бета-распространение это сопряженное предварительное распределение параметра распределения Бернулли, выраженного как вероятность, бета-простое распределение - это сопряженное априорное распределение параметра распределения Бернулли, выраженное в шансы . Распределение Тип Пирсона VI распределение.[1]
Режим вариации Икс распространяется как β ′ ( α , β ) { Displaystyle бета '( альфа, бета)} Икс ^ = α − 1 β + 1 { displaystyle { hat {X}} = { frac { alpha -1} { beta +1}}} α β − 1 { displaystyle { frac { alpha} { beta -1}}} β > 1 { displaystyle beta> 1} β ≤ 1 { displaystyle beta leq 1} α ( α + β − 1 ) ( β − 2 ) ( β − 1 ) 2 { Displaystyle { гидроразрыва { альфа ( альфа + бета -1)} {( бета -2) ( бета -1) ^ {2}}}} β > 2 { displaystyle beta> 2}
За − α < k < β { Displaystyle - альфа <к < бета} k -й момент E [ Икс k ] { displaystyle E [X ^ {k}]}
E [ Икс k ] = B ( α + k , β − k ) B ( α , β ) . { displaystyle E [X ^ {k}] = { frac {B ( alpha + k, beta -k)} {B ( alpha, beta)}}.}. За k ∈ N { Displaystyle к в mathbb {N}} k < β , { Displaystyle к < бета,}
E [ Икс k ] = ∏ я = 1 k α + я − 1 β − я . { displaystyle E [X ^ {k}] = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac { alpha + i-1} { beta -i}}.} Cdf также можно записать как
Икс α ⋅ 2 F 1 ( α , α + β , α + 1 , − Икс ) α ⋅ B ( α , β ) { displaystyle { frac {x ^ { alpha} cdot {} _ {2} F_ {1} ( alpha, alpha + beta, alpha + 1, -x)} { alpha cdot B ( альфа, бета)}}} куда 2 F 1 { displaystyle {} _ {2} F_ {1}} 2 F1 .
Обобщение Можно добавить еще два параметра для формирования обобщенное бета-простое распределение .
имея функция плотности вероятности :
ж ( Икс ; α , β , п , q ) = п ( Икс q ) α п − 1 ( 1 + ( Икс q ) п ) − α − β q B ( α , β ) { displaystyle f (x; alpha, beta, p, q) = { frac {p left ({ frac {x} {q}} right) ^ { alpha p-1} left ( 1+ left ({ frac {x} {q}} right) ^ {p} right) ^ {- alpha - beta}} {qB ( alpha, beta)}}} с иметь в виду
q Γ ( α + 1 п ) Γ ( β − 1 п ) Γ ( α ) Γ ( β ) если β п > 1 { displaystyle { frac {q Gamma left ( alpha + { tfrac {1} {p}} right) Gamma ( beta - { tfrac {1} {p}})} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}} quad { text {if}} beta p> 1} и Режим
q ( α п − 1 β п + 1 ) 1 п если α п ≥ 1 { displaystyle q left ({ frac { alpha p-1} { beta p + 1}} right) ^ { tfrac {1} {p}} quad { text {if}} alpha p geq 1} Обратите внимание, что если п = q = 1, то обобщенное бета-простое распределение сводится к стандартное бета-простое распределение
Составное гамма-распределение В составное гамма-распределение [2] q добавлено, но где п = 1. Он назван так потому, что образован компаундирование два гамма-распределения :
β ′ ( Икс ; α , β , 1 , q ) = ∫ 0 ∞ грамм ( Икс ; α , р ) грамм ( р ; β , q ) d р { Displaystyle бета '(х; альфа, бета, 1, q) = int _ {0} ^ { infty} G (х; альфа, г) G (г; бета, q) ; dr} куда грамм (Икс ;а ,б ) - гамма-распределение формы а и обратная шкала б . Это соотношение можно использовать для генерации случайных величин с составным гамма-распределением или бета-простым распределением.
Режим, среднее значение и дисперсию составной гаммы можно получить, умножив режим и среднее значение в приведенном выше информационном окне на q и дисперсия на q 2 .
Характеристики Если Икс ∼ β ′ ( α , β ) { Displaystyle Х сим бета '( альфа, бета)} 1 Икс ∼ β ′ ( β , α ) { Displaystyle { tfrac {1} {X}} sim beta '( beta, alpha)} Если Икс ∼ β ′ ( α , β , п , q ) { Displaystyle Х сим бета '( альфа, бета, р, q)} k Икс ∼ β ′ ( α , β , п , k q ) { Displaystyle кХ сим бета '( альфа, бета, р, kq)} β ′ ( α , β , 1 , 1 ) = β ′ ( α , β ) { Displaystyle бета '( альфа, бета, 1,1) = бета' ( альфа, бета)} Если Икс 1 ∼ β ′ ( α , β ) { Displaystyle X_ {1} sim beta '( alpha, beta)} Икс 2 ∼ β ′ ( α , β ) { Displaystyle X_ {2} sim beta '( alpha, beta)} Y = Икс 1 + Икс 2 ∼ β ′ ( γ , δ ) { Displaystyle Y = X_ {1} + X_ {2} sim beta '( gamma, delta)} γ = 2 α ( α + β 2 − 2 β + 2 α β − 4 α + 1 ) ( β − 1 ) ( α + β − 1 ) { displaystyle gamma = { frac {2 alpha ( alpha + beta ^ {2} -2 beta +2 alpha beta -4 alpha +1)} {( beta -1) ( альфа + бета -1)}}} δ = 2 α + β 2 − β + 2 α β − 4 α α + β − 1 { displaystyle delta = { frac {2 alpha + beta ^ {2} - beta +2 alpha beta -4 alpha} { alpha + beta -1}}} В общем, пусть Икс 1 , . . . , Икс п п { displaystyle X_ {1}, ..., X_ {n} n} ∀ я , 1 ≤ я ≤ п , Икс я ∼ β ′ ( α , β ) { displaystyle forall i, 1 leq i leq n, X_ {i} sim beta '( alpha, beta)} S = Икс 1 + . . . + Икс п ∼ β ′ ( γ , δ ) { Displaystyle S = X_ {1} + ... + X_ {n} sim beta '( gamma, delta)} γ = п α ( α + β 2 − 2 β + п α β − 2 п α + 1 ) ( β − 1 ) ( α + β − 1 ) { Displaystyle гамма = { гидроразрыва {п альфа ( альфа + бета ^ {2} -2 бета + п альфа бета -2n альфа +1)} {( бета -1) ( альфа + бета -1)}}} δ = 2 α + β 2 − β + п α β − 2 п α α + β − 1 { displaystyle delta = { frac {2 alpha + beta ^ {2} - beta + n alpha beta -2n alpha} { alpha + beta -1}}} Связанные дистрибутивы и свойства Если Икс ∼ F ( 2 α , 2 β ) { Displaystyle Х сим F (2 альфа, 2 бета)} F -распределение α β Икс ∼ β ′ ( α , β ) { displaystyle { tfrac { alpha} { beta}} X sim beta '( alpha, beta)} Икс ∼ β ′ ( α , β , 1 , β α ) { displaystyle X sim beta '( alpha, beta, 1, { tfrac { beta} { alpha}})} Если Икс ∼ Бета ( α , β ) { displaystyle X sim { textrm {Beta}} ( alpha, beta)} Икс 1 − Икс ∼ β ′ ( α , β ) { displaystyle { frac {X} {1-X}} sim beta '( alpha, beta)} Если Икс ∼ Γ ( α , 1 ) { Displaystyle Х сим Гамма ( альфа, 1)} Y ∼ Γ ( β , 1 ) { Displaystyle Y sim Gamma ( beta, 1)} Икс Y ∼ β ′ ( α , β ) { displaystyle { frac {X} {Y}} sim beta '( alpha, beta)} Параметризация 1: Если Икс k ∼ Γ ( α k , θ k ) { Displaystyle X_ {k} sim Gamma ( alpha _ {k}, theta _ {k})} Икс 1 Икс 2 ∼ β ′ ( α 1 , α 2 , 1 , θ 1 θ 2 ) { Displaystyle { tfrac {X_ {1}} {X_ {2}}} sim beta '( alpha _ {1}, alpha _ {2}, 1, { tfrac { theta _ {1 }} { theta _ {2}}})} Параметризация 2: Если Икс k ∼ Γ ( α k , β k ) { displaystyle X_ {k} sim Gamma ( alpha _ {k}, beta _ {k})} Икс 1 Икс 2 ∼ β ′ ( α 1 , α 2 , 1 , β 2 β 1 ) { Displaystyle { tfrac {X_ {1}} {X_ {2}}} sim beta '( alpha _ {1}, alpha _ {2}, 1, { tfrac { beta _ {2 }} { beta _ {1}}})} β ′ ( п , 1 , а , б ) = Дагум ( п , а , б ) { displaystyle beta '(p, 1, a, b) = { textrm {Dagum}} (p, a, b)} Распределение Dagum β ′ ( 1 , п , а , б ) = Сингх Маддала ( п , а , б ) { displaystyle beta '(1, p, a, b) = { textrm {SinghMaddala}} (p, a, b)} Распределение Сингха-Маддалы . β ′ ( 1 , 1 , γ , σ ) = LL ( γ , σ ) { displaystyle beta '(1,1, gamma, sigma) = { textrm {LL}} ( gamma, sigma)} логистическое распределение .Бета-простое распределение является частным случаем типа 6 Распределение Пирсона . Если Икс имеет Распределение Парето с минимумом Икс м { displaystyle x_ {m}} α { displaystyle alpha} Икс − Икс м ∼ β ′ ( 1 , α ) { displaystyle X-x_ {m} sim beta ^ { prime} (1, alpha)} Если Икс имеет Распределение Lomax , также известное как распределение Парето типа II, с параметром формы α { displaystyle alpha} λ { displaystyle lambda} Икс λ ∼ β ′ ( 1 , α ) { displaystyle { frac {X} { lambda}} sim beta ^ { prime} (1, alpha)} Если Икс имеет стандарт Распределение Парето типа IV с параметром формы α { displaystyle alpha} γ { displaystyle gamma} Икс 1 γ ∼ β ′ ( 1 , α ) { Displaystyle X ^ { гидроразрыва {1} { gamma}} sim beta ^ { prime} (1, alpha)} Икс ∼ β ′ ( 1 , α , 1 γ , 1 ) { displaystyle X sim beta ^ { prime} (1, alpha, { tfrac {1} { gamma}}, 1)} В обратное распределение Дирихле является обобщением бета-простого распределения. Примечания ^ а б Джонсон и др. (1995), стр. 248 ^ Дубей, Сатья Д. (декабрь 1970 г.). «Составное гамма-, бета- и F-распределения». Метрика . 16 : 27–31. Дои :10.1007 / BF02613934 . Рекомендации Джонсон, Н.Л., Коц, С., Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения , Том 2 (2-е издание), Wiley. ISBN 0-471-58494-0 Статья MathWorld Дискретный одномерный Дискретный одномерный Непрерывный одномерный Непрерывный одномерный Непрерывный одномерный Непрерывный одномерный Смешанная непрерывно-дискретная одномерная Многовариантный (совместный) Направленный Вырожденный и единственное число Семьи
![E [X ^ {k}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dcd54fe6c5cb4afbfcd7bd94c4778d13b8bbc3f)
![E [X ^ {k}] = { frac {B ( alpha + k, beta -k)} {B ( alpha, beta)}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c6530cfd83409026129cc40968169281f41081)
![{ displaystyle E [X ^ {k}] = prod _ {i = 1} ^ {k} { frac { alpha + i-1} { beta -i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f1689a0ef95460a83f9f53462da32a9b1e8f04)
