Распределение Леви - Lévy distribution

Леви (без сдвига)

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${ displaystyle mu}$ место расположения; ${ displaystyle c> 0 ,}$ шкала
Поддерживать	${ Displaystyle х в [ му, infty)}$
PDF	${ displaystyle { sqrt { frac {c} {2 pi}}} ~~ { frac {e ^ {- { frac {c} {2 (x- mu)}}}} {(x - mu) ^ {3/2}}}}$
CDF	${ displaystyle { textrm {erfc}} left ({ sqrt { frac {c} {2 (x- mu)}}} right)}$
Иметь в виду	${ displaystyle infty}$
Медиана	${ Displaystyle му + с / 2 ({ textrm {erfc}} ^ {- 1} (1/2)) ^ {2} ,}$
Режим	${ displaystyle mu + { frac {c} {3}}}$
Дисперсия	${ displaystyle infty}$
Асимметрия	неопределенный
Бывший. эксцесс	неопределенный
Энтропия	${ displaystyle { frac {1 + 3 gamma + ln (16 pi c ^ {2})} {2}}}$ куда ${ displaystyle gamma}$ это Постоянная Эйлера-Маскерони
MGF	неопределенный
CF	${ Displaystyle е ^ {я му т - { sqrt {-2ict}}}}$

В теория вероятности и статистика, то Распределение Леви, названный в честь Поль Леви, это непрерывное распределение вероятностей для неотрицательного случайная переменная. В спектроскопия, это распределение с частотой в качестве зависимой переменной известно как профиль ван дер Ваальса.^{[примечание 1]} Это частный случай обратное гамма-распределение. Это стабильное распространение.

Определение

В функция плотности вероятности распределения Леви по области ${ Displaystyle х geq mu}$ является

${ displaystyle f (x; mu, c) = { sqrt { frac {c} {2 pi}}} ~~ { frac {e ^ {- { frac {c} {2 (x- mu)}}}} {(x- mu) ^ {3/2}}}}$

куда ${ displaystyle mu}$ это параметр местоположения и ${ displaystyle c}$ это масштабный параметр. Кумулятивная функция распределения:

${ Displaystyle F (x; mu, c) = { textrm {erfc}} left ({ sqrt { frac {c} {2 (x- mu)}}} right)}$

куда ${ Displaystyle { textrm {erfc}} (г)}$ является дополнительным функция ошибки. Параметр сдвига ${ displaystyle mu}$ имеет эффект сдвига кривой вправо на величину ${ displaystyle mu}$, и меняя опору на интервал [${ displaystyle mu}$, ${ displaystyle infty}$). Как все стабильные дистрибутивы, распределение Леви имеет стандартный вид f (x; 0,1), который обладает следующим свойством:

${ Displaystyle е (х; му, с) dx = f (y; 0,1) dy ,}$

куда у определяется как

${ displaystyle y = { frac {x- mu} {c}} ,}$

В характеристическая функция распределения Леви дается формулой

${ displaystyle varphi (t; mu, c) = e ^ {i mu t - { sqrt {-2ict}}}.}$

Обратите внимание, что характеристическая функция также может быть записана в той же форме, что и для устойчивого распределения с ${ Displaystyle альфа = 1/2}$ и ${ displaystyle beta = 1}$:

${ displaystyle varphi (t; mu, c) = e ^ {i mu t- | ct | ^ {1/2} ~ (1-я ~ { textrm {sign}} (t))}. }$

Предполагая ${ displaystyle mu = 0}$, то пth момент несмещенного распределения Леви формально определяется следующим образом:

${ displaystyle m_ {n} { stackrel { mathrm {def}} {=}} { sqrt { frac {c} {2 pi}}} int _ {0} ^ { infty} { гидроразрыва {е ^ {- c / 2x} , x ^ {n}} {x ^ {3/2}}} , dx}$

который расходится для всех ${ Displaystyle п geq 0,5}$ так что целые моменты распределения Леви не существуют (только некоторые дробные моменты).

В функция, производящая момент будет формально определяться:

${ displaystyle M (t; c) { stackrel { mathrm {def}} {=}} { sqrt { frac {c} {2 pi}}} int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- c / 2x + tx}} {x ^ {3/2}}} , dx}$

однако это расходится для ${ displaystyle t> 0}$ и, следовательно, не определена на интервале около нуля, поэтому производящая функция момента не определена как таковой.

Как все стабильные дистрибутивы кроме нормальное распределение, крыло функции плотности вероятности демонстрирует поведение тяжелого хвоста, спадающее по степенному закону:

${ displaystyle f (x; mu, c) sim { sqrt { frac {c} {2 pi}}} { frac {1} {x ^ {3/2}}}}$ в качестве ${ displaystyle x to infty,}$

что показывает, что Леви не просто хвостатый но также толстохвостый. Это проиллюстрировано на приведенной ниже диаграмме, на которой функции плотности вероятности для различных значений c и ${ displaystyle mu = 0}$ нанесены на график – журнал.

Функция плотности вероятности для распределения Леви на логарифмическом графике

Стандартное распределение Леви удовлетворяет условию существования стабильный

${ displaystyle (X_ {1} + X_ {2} + dotsb + X_ {n}) sim n ^ {1 / alpha} X}$,

куда ${ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {n}, X}$ - независимые стандартные переменные Леви с ${ Displaystyle альфа = 1/2}$.

Связанные дистрибутивы

• Если ${ Displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} ( mu, c)}$ тогда ${ displaystyle kX + b , sim , { textrm {Levy}} (k mu + b, kc)}$
• Если ${ displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} (0, c)}$ тогда ${ displaystyle X , sim , { textrm {Inv-Gamma}} ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {c} {2}})}$ (обратное гамма-распределение )
  Здесь распределение Леви является частным случаем Распределение Пирсона типа V
• Если ${ Displaystyle , Y , sim , { textrm {Нормальный}} ( mu, sigma)}$ (Нормальное распределение ) тогда ${ displaystyle {(Y- mu)} ^ {- 2} , sim , { textrm {Levy}} (0,1 / sigma ^ {2})}$
• Если ${ displaystyle X , sim , { textrm {Normal}} ( mu, { tfrac {1} { sqrt { sigma}}})}$ тогда ${ displaystyle {(X- mu)} ^ {- 2} , sim , { textrm {Levy}} (0, sigma)}$
• Если ${ Displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} ( mu, c)}$ тогда ${ Displaystyle X , sim , { textrm {Stable}} (1/2,1, c, mu)}$ (Стабильное распространение )
• Если ${ displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} (0, c)}$ тогда ${ displaystyle X , sim , { textrm {Scale-inv -}} chi ^ {2} (1, c)}$ (Масштабированное обратное распределение хи-квадрат )
• Если ${ displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} ( mu, c)}$ тогда ${ displaystyle {(X- mu)} ^ {- { tfrac {1} {2}}} sim , { textrm {FoldedNormal}} (0,1 / { sqrt {c}})}$ (Сложенное нормальное распределение )

Генерация случайной выборки

Случайные выборки из распределения Леви могут быть сгенерированы с помощью выборка с обратным преобразованием. Учитывая случайную вариацию U взяты из равномерное распределение на единичном интервале (0, 1] переменная Икс данный^[1]

${ Displaystyle X = F ^ {- 1} (U) = { frac {c} {( Phi ^ {- 1} (1-U)) ^ {2}}} + mu}$

распространяется Леви с местоположением ${ displaystyle mu}$ и масштабировать ${ displaystyle c}$. Здесь ${ Displaystyle Phi (х)}$ - кумулятивная функция распределения стандартного нормальное распределение.

Приложения

• Частота геомагнитные инверсии похоже, следует распределению Леви
• В время удара одна точка на расстоянии ${ displaystyle alpha}$ от начальной точки, по Броуновское движение имеет распределение Леви с ${ Displaystyle с = альфа ^ {2}}$. (Для броуновского движения со сносом это время может следовать обратное гауссово распределение, который имеет в качестве предела распределение Леви.)
• Длина пути, по которому проходит фотон в мутной среде, соответствует распределению Леви.^[2]
• А Процесс Коши можно определить как Броуновское движение подчиненный к процессу, связанному с распределением Леви.^[3]

Сноски

Примечания

Рекомендации

• «Информация о стабильных дистрибутивах». Получено 13 июля, 2005. - Введение Джона П. Нолана в стабильные распределения, некоторые статьи по стабильным законам и бесплатную программу для вычисления стабильных плотностей, кумулятивных функций распределения, квантилей, параметров оценки и т. Д. См. Особенно Введение в стабильные дистрибутивы, Глава 1

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Леви Дистрибьюшн". MathWorld.