(a, b, 0) класс распределений - (a,b,0) class of distributions

В теория вероятности, распределение дискретная случайная величина N чьи значения являются неотрицательными целыми числами, называется членом (а, б, 0) класс распределений если это функция массы вероятности подчиняется

${ displaystyle { frac {p_ {k}} {p_ {k-1}}} = a + { frac {b} {k}}, qquad k = 1,2,3, dots}$

где ${ displaystyle p_ {k} = P (N = k)}$ (при условии ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ существуют и реальны).

Есть только три дискретных распределения, которые удовлетворяют полной форме этого отношения: Пуассон, биномиальный и отрицательный бином раздачи. Это также три дискретных распределения среди шести членов группы. натуральное экспоненциальное семейство с квадратичными дисперсионными функциями (NEF – QVF).

Более общие распределения можно определить, зафиксировав некоторые начальные значения п_j и применение рекурсии для определения последующих значений. Это может быть полезно для подгонки распределений к эмпирическим данным. Однако доступны некоторые другие хорошо известные распределения, если указанная выше рекурсия должна выполняться только для ограниченного диапазона значений k:^[1] например логарифмическое распределение и дискретный равномерное распределение.

(а, б, 0) класс распределений имеет важные приложения в актуарная наука в контексте моделей потерь.^[2]

Характеристики

Sundt^[3] доказал, что только биномиальное распределение, то распределение Пуассона и отрицательное биномиальное распределение принадлежат к этому классу распределений, причем каждое распределение представлено разными знакамиа. Кроме того, это было показано Fackler^[4] что существует универсальная формула для всех трех распределений, называемая (объединенная) Panjer distribution.

Более обычные параметры этих распределений определяются как а иб. Свойства этих распределений по отношению к настоящему классу распределений обобщены в следующей таблице. Обратите внимание, что ${ Displaystyle W_ {N} (х) ,}$ обозначает функция, производящая вероятность.

Распределение	${ Displaystyle П [N = К] ,}$	${ Displaystyle а ,}$	${ displaystyle b ,}$	${ displaystyle p_ {0} ,}$	${ Displaystyle W_ {N} (х) ,}$	${ displaystyle E [N] ,}$	${ displaystyle Var (N) ,}$
Биномиальный	${ displaystyle { binom {n} {k}} p ^ {k} (1-p) ^ {n-k}}$	${ displaystyle { frac {-p} {1-p}}}$	${ displaystyle { frac {p (n + 1)} {1-p}}}$	${ Displaystyle (1-р) ^ {п} ,}$	${ displaystyle (px + (1-p)) ^ {n} ,}$	${ displaystyle np ,}$	${ displaystyle np (1-p) ,}$
Пуассон	${ displaystyle e ^ {- lambda} { frac { lambda ^ {k}} {k!}} ,}$	${ displaystyle 0 ,}$	${ displaystyle lambda ,}$	${ displaystyle e ^ {- lambda} ,}$	${ Displaystyle е ^ { лямбда (х-1)} ,}$	${ displaystyle lambda ,}$	${ displaystyle lambda ,}$
Отрицательный бином	${ displaystyle { frac { Gamma (r + k)} {k! , Gamma (r)}} , p ^ {r} , (1-p) ^ {k} ,}$	${ displaystyle 1-p ,}$	${ Displaystyle (1-р) (г-1) ,}$	${ displaystyle p ^ {r} ,}$	${ Displaystyle влево ({ гидроразрыва {р} {1-х (1-р)}} вправо) ^ {г} ,}$	${ displaystyle { frac {r (1-p)} {p}} ,}$	${ displaystyle { frac {r (1-p)} {p ^ {2}}} ,}$
Распределение Panjer	${ displaystyle left (1 + { frac { lambda} { alpha}} right) ^ {- alpha} { frac { lambda ^ {k}} {k!}} prod _ {я = 0} ^ {k-1} { frac { alpha + i} { alpha + lambda}} ,}$	${ displaystyle { frac { lambda} { alpha + lambda}} ,}$	${ displaystyle { frac {( alpha -1) lambda} { alpha + lambda}} ,}$	${ displaystyle left (1 + { frac { lambda} { alpha}} right) ^ {- alpha} ,}$	${ displaystyle left (1 - { frac { lambda} { alpha}} (x-1) right) ^ {- alpha} ,}$	${ displaystyle lambda ,}$	${ displaystyle lambda left (1 + { frac { lambda} { alpha}} right) ,}$

Отметим, что распределение Панджера сводится к распределению Пуассона в предельном случае ${ displaystyle alpha rightarrow pm infty}$; оно совпадает с отрицательным биномиальным распределением для положительных конечных действительных чисел ${ Displaystyle альфа в mathbb {R} _ {> 0}}$, и он равен биномиальному распределению для отрицательных целых чисел ${ displaystyle - alpha in mathbb {Z}}$.

Сюжет

Простой способ быстро определить, взята ли данная выборка из распределения из (а,б, 0) представляет собой график отношения двух последовательных наблюдаемых данных (умноженных на константу) против Икс-ось.

Умножая обе части рекурсивной формулы на ${ displaystyle k}$, ты получаешь

${ displaystyle k , { frac {p_ {k}} {p_ {k-1}}} = ak + b,}$

что показывает, что левая часть, очевидно, является линейной функцией ${ displaystyle k}$. При использовании образца ${ displaystyle n}$ данные, приближение ${ displaystyle p_ {k}}$нужно сделать. Если ${ displaystyle n_ {k}}$ представляет количество наблюдений, имеющих значение ${ displaystyle k}$, тогда ${ displaystyle { hat {p}} _ {k} = { frac {n_ {k}} {n}}}$ является беспристрастный оценщик истинного ${ displaystyle p_ {k}}$.

Следовательно, если наблюдается линейный тренд, то можно предположить, что данные взяты из (а,б, 0) распределение. Более того, склон функции будет параметром ${ displaystyle a}$, а ордината в начале координат будет ${ displaystyle b}$.

Смотрите также

• Рекурсия Панджера

Рекомендации