Обобщенное распределение экстремальных значений - Generalized extreme value distribution

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Обобщенное распределение экстремальных значений»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Май 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Обозначение	${ Displaystyle { textrm {GEV}} ( му, , сигма, , xi)}$
Параметры	μ ∈ р — место расположения, σ > 0 — шкала, ξ ∈ р — форма.
Поддерживать	Икс ∈ [ μ − σ / ξ, + ∞), когда ξ > 0, Икс ∈ (−∞, + ∞), когда ξ = 0, Икс ∈ (−∞, μ − σ / ξ ] когда ξ < 0.
PDF	${ displaystyle { frac {1} { sigma}} , t (x) ^ { xi +1} e ^ {- t (x)},}$   куда ${ Displaystyle т (х) = { begin {case} { big (} 1+ xi ({ tfrac {x- mu} { sigma}}) { big)} ^ {- 1 / xi} & { textrm {if}} xi neq 0 e ^ {- (x- mu) / sigma} & { textrm {if}} xi = 0 end {case} }}$
CDF	${ Displaystyle е ^ {- т (х)}, ,}$ за Икс ∈ поддержка
Иметь в виду	${ Displaystyle { begin {case} mu + sigma (g_ {1} -1) / xi & { text {if}} xi neq 0, xi <1, mu + sigma , gamma & { text {if}} xi = 0, infty & { text {if}} xi geq 1, end {cases}}}$ куда граммk = Γ (1 − kξ), и ${ displaystyle gamma}$ является Постоянная Эйлера.
Медиана	${ Displaystyle { begin {case} mu + sigma { frac {( ln 2) ^ {- xi} -1} { xi}} & { text {if}} xi neq 0, mu - sigma ln ln 2 & { text {if}} xi = 0. End {case}}}$
Режим	${ displaystyle { begin {cases} mu + sigma { frac {(1+ xi) ^ {- xi} -1} { xi}} & { text {if}} xi neq 0, mu & { text {if}} xi = 0. end {case}}}$
Дисперсия	${ Displaystyle { begin {case} sigma ^ {2} , (g_ {2} -g_ {1} ^ {2}) / xi ^ {2} & { text {if}} xi neq 0, xi <{ frac {1} {2}}, sigma ^ {2} , { frac { pi ^ {2}} {6}} и { text {if} } xi = 0, infty & { text {if}} xi geq { frac {1} {2}}, end {cases}}}$.
Асимметрия	${ displaystyle { begin {cases} operatorname {sgn} ( xi) { frac {g_ {3} -3g_ {2} g_ {1} + 2g_ {1} ^ {3}} {(g_ {2 } -g_ {1} ^ {2}) ^ {3/2}}} & { text {if}} xi neq 0, xi <{ frac {1} {3}}, { frac {12 { sqrt {6}} , zeta (3)} { pi ^ {3}}} & { text {if}} xi = 0. end {cases}}}$ куда ${ displaystyle operatorname {sgn} (x)}$ это функция знака и ${ Displaystyle zeta (х)}$ это Дзета-функция Римана
Бывший. эксцесс	${ displaystyle { begin {cases} { frac {g_ {4} -4g_ {3} g_ {1} -3g_ {2} ^ {2} + 12g_ {2} g_ {1} ^ {2} -6g_) {1} ^ {4}} {(g_ {2} -g_ {1} ^ {2}) ^ {2}}} & { text {if}} xi neq 0, xi <{ frac {1} {4}}, { frac {12} {5}} & { text {if}} xi = 0. end {cases}}}$
Энтропия	${ Displaystyle журнал ( сигма) , + , гамма хи , + , гамма , + , 1}$
MGF	[1]
CF	[1]

В теория вероятности и статистика, то обобщенное экстремальное значение (GEV) распределение это семья непрерывных распределения вероятностей разработан в теория экстремальных ценностей объединить Гамбель, Фреше и Weibull семейства, также известные как распределения экстремальных значений типа I, II и III. Посредством теорема об экстремальном значении распределение GEV - единственно возможное предельное распределение правильно нормированных максимумов последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин.^[2] Обратите внимание, что должно существовать предельное распределение, которое требует условий регулярности в хвосте распределения. Несмотря на это, распределение GEV часто используется в качестве приближения для моделирования максимумов длинных (конечных) последовательностей случайных величин.

В некоторых областях применения обобщенное распределение экстремальных значений известно как Распределение Фишера – Типпета, названный в честь Рональд Фишер и Л. Х. К. Типпетт кто распознал три различные формы, описанные ниже. Однако использование этого имени иногда ограничивается особым случаем Гамбель раздача. Происхождение общей функциональной формы для всех трех распределений восходит, по крайней мере, к Дженкинсону А. Ф. (1955),^[3] хотя якобы^[4] это могло также быть дано Mises, R. (1936).^[5]

Технические характеристики

Использование стандартизованной переменной ${ Displaystyle s = (х- му) / сигма ,,}$ куда ${ Displaystyle mu ,,}$ параметр местоположения может быть любым действительным числом и ${ displaystyle sigma> 0}$ - масштабный параметр; кумулятивная функция распределения распределения GEV тогда

$${ Displaystyle F (s; xi) = { begin {case} exp { Bigl (} - exp (-s) { Bigr)} & ~~ { text {for}} ~~ xi = 0 {} exp { Bigl (} - (1+ xi s) ^ {- 1 / xi} { Bigr)} & ~~ { text {for}} ~~ xi neq 0 ~~ { text {and}} ~~ xi , s> -1 {} 0 & ~~ { text {for}} ~~ xi> 0 ~~ { text { и}} ~~ xi , s leq -1 {} 1 & ~~ { text {for}} ~~ xi <0 ~~ { text {and}} ~~ xi , s leq -1 ~, end {case}}}$$

куда ${ Displaystyle xi ,,}$ параметр формы может быть любым действительным числом. Таким образом, для ${ displaystyle xi> 0}$, выражение справедливо для ${ Displaystyle s> -1 / xi ,,}$ в то время как для ${ displaystyle xi <0}$ это действительно для ${ Displaystyle s <-1 / xi ,.}$ В первом случае ${ displaystyle -1 / xi}$ - отрицательная нижняя конечная точка, где ${ displaystyle F}$ равно 0; во втором случае ${ displaystyle -1 / xi}$ положительная верхняя конечная точка, где ${ displaystyle F}$ равно 1. Для ${ Displaystyle xi = 0}$ второе выражение формально не определено и заменяется первым выражением, которое является результатом взятия предела второго, как ${ displaystyle xi to 0}$ в таком случае ${ displaystyle s}$ может быть любым действительным числом.

В частном случае среднего ${ Displaystyle х = му ,,}$ так ${ displaystyle s = 0}$ и ${ Displaystyle F (s; xi) = ехр (-1)}$ ≈ ${ displaystyle 0.368}$ для любых значений ${ Displaystyle xi}$ и ${ displaystyle sigma}$ должно быть.

Функция плотности вероятности стандартизованного распределения равна

$${ Displaystyle е (s; xi) = { begin {case} exp (-s) exp { Bigl (} - exp (-s) { Bigr)} & ~~ { text {для }} ~~ xi = 0 {} { Bigl (} 1+ xi s { Bigr)} ^ {- (1 + 1 / xi)} exp { Bigl (} - ( 1+ xi s) ^ {- 1 / xi} { Bigr)} & ~~ { text {for}} ~~ xi neq 0 ~~ { text {and}} ~~ xi , s> -1 {} 0 & ~~ { text {в противном случае}} end {case}}}$$

снова действительно для ${ displaystyle s> -1 / xi}$ в случае ${ Displaystyle xi> 0 ,,}$ и для ${ Displaystyle s <-1 / xi}$ в случае ${ Displaystyle хи <0 ,.}$ Плотность равна нулю за пределами соответствующего диапазона. В случае ${ Displaystyle xi = 0}$ плотность положительна на всей реальной линии.

Поскольку кумулятивная функция распределения обратима, функция квантили для распределения GEV имеет явное выражение, а именно

$${ Displaystyle Q (п; му, сигма, xi) = { begin {case} mu - sigma log { Bigl (} - log left (p right) , { Bigr )} & ~ { text {for}} ~ xi = 0 ~ { text {and}} ~ p in left (0,1 right) {} mu + displaystyle {{ , sigma ,} over {, xi ,}} left ({ Bigl (} - log (p) , { Bigr)} ^ {- xi} -1 right) & ~ { text {for}} ~ xi> 0 ~ { text {and}} ~ p in left [0,1 right) {} & ~~ { text {or}} ~ , xi <0 ~ { text {and}} ~ p in (0,1] ;, end {case}}}$$

и поэтому квантильная функция плотности ${ displaystyle left (q Equiv { frac {; operatorname {d} Q ;} { operatorname {d} p}} right)}$ является

${ Displaystyle Q (p; sigma, xi) = { frac { sigma} {; { Bigl (} - log left (p right) , { Bigr)} ^ { xi +1} , p ,}} quad { text {for}} ~~ p in left (0,1 right) ;,}$

Годен до ${ displaystyle ~ sigma> 0 ~}$ и для любого реального ${ Displaystyle ~ xi ;.}$

Сводные статистические данные

Вот некоторые простые статистические данные о распределении:^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle operatorname {E} (X) = mu + left (g_ {1} -1 right) { frac { sigma} { xi}}}$ за ${ Displaystyle xi <1}$

${ displaystyle operatorname {Var} (X) = left (g_ {2} -g_ {1} ^ {2} right) { frac { sigma ^ {2}} { xi ^ {2}} },}$

${ displaystyle operatorname {Mode} (X) = mu + { frac { sigma} { xi}} [(1+ xi) ^ {- xi} -1].}$

В перекос для ξ> 0

${ displaystyle operatorname {skewness} (X) = { frac {g_ {3} -3g_ {2} g_ {1} + 2g_ {1} ^ {3}} {(g_ {2} -g_ {1}) ^ {2}) ^ {3/2}}}}$

При ξ <0 знак числителя меняется на противоположный.

Избыток эксцесс является:

${ displaystyle operatorname {эксцесс избыток} (X) = { frac {g_ {4} -4g_ {3} g_ {1} + 6g_ {2} g_ {1} ^ {2} -3g_ {1} ^ {4}} {(g_ {2} -g_ {1} ^ {2}) ^ {2}}} - 3.}$

куда ${ displaystyle g_ {k} = Gamma (1-k xi)}$, k = 1,2,3,4 и ${ displaystyle Gamma (t)}$ это гамма-функция.

Связь с семьями Фреше, Вейбулла и Гумбеля

Параметр формы ${ Displaystyle xi}$ управляет хвостовым поведением распределения. Подсемейства, определенные ${ Displaystyle xi = 0}$, ${ displaystyle xi> 0}$ и ${ displaystyle xi <0}$ соответствуют, соответственно, семействам Gumbel, Fréchet и Weibull, чьи кумулятивные функции распределения показаны ниже.

• Гамбель или распределение экстремальных значений типа I (${ Displaystyle xi = 0}$)

${ Displaystyle F (х; му, сигма, 0) = е ^ {- е ^ {- (х- му) / сигма}} ; ; ; { текст {для}} ; ; x in mathbb {R}.}$

• Фреше или распределение экстремальных значений типа II, если ${ Displaystyle xi = альфа ^ {- 1}> 0}$ и ${ Displaystyle у = 1 + хи (х- му) / сигма}$

${ displaystyle F (x; mu, sigma, xi) = { begin {cases} e ^ {- y ^ {- alpha}} & y> 0 0 & y leq 0. end {cases} }}$

• Обратный Weibull или распределение экстремальных значений типа III, если ${ Displaystyle xi = - альфа ^ {- 1} <0}$ и ${ displaystyle y = - left (1+ xi (x- mu) / sigma right)}$

${ displaystyle F (x; mu, sigma, xi) = { begin {cases} e ^ {- (- y) ^ { alpha}} & y <0 1 & y geq 0 end {case }}}$

В следующих подразделах говорится о свойствах этих распределений.

Модификация минимумов, а не максимумов

Теория здесь относится к максимумам данных, и обсуждаемое распределение представляет собой распределение экстремальных значений для максимумов. Обобщенное распределение экстремальных значений для минимумов данных можно получить, например, подставив (-Икс) за Икс в функции распределения и вычитание из единицы: это дает отдельное семейство распределений.

Альтернативное соглашение для распределения Вейбулла

Обычное распределение Вейбулла возникает в приложениях надежности и получается из распределения здесь с помощью переменной ${ displaystyle t = mu -x}$, что дает строго положительную поддержку - в отличие от использования здесь в теории экстремальных ценностей. Это происходит потому, что обычное распределение Вейбулла используется в случаях, когда речь идет о минимумах данных, а не о максимумах данных. Распределение здесь имеет дополнительный параметр по сравнению с обычной формой распределения Вейбулла и, кроме того, обратное, так что распределение имеет верхнюю границу, а не нижнюю границу. Важно отметить, что в приложениях GEV верхняя граница неизвестна и поэтому должна быть оценена, в то время как при применении обычного распределения Вейбулла в приложениях надежности нижняя граница обычно равна нулю.

Диапазоны распределений

Обратите внимание на различия в диапазонах, представляющих интерес для трех распределений экстремальных значений: Гамбель безлимитно, Фреше имеет нижний предел, а обратный Weibull имеет верхний предел. Теория экстремальных значений (одномерная теория) описывает, какой из трех является предельным законом в соответствии с исходным законом X и, в частности, в зависимости от его хвоста.

Распределение переменных журнала

Связать тип I с типами II и III можно следующим образом: если кумулятивная функция распределения некоторой случайной величины ${ displaystyle X}$ имеет тип II, и положительные числа служат опорой, т.е. ${ Displaystyle F (х; 0, сигма, альфа)}$, то кумулятивная функция распределения ${ displaystyle ln X}$ относится к типу I, а именно ${ Displaystyle F (х; ln sigma, 1 / альфа, 0)}$. Аналогично, если кумулятивная функция распределения ${ displaystyle X}$ относится к типу III, и с отрицательными числами в качестве опоры, т.е. ${ Displaystyle F (х; 0, sigma, - alpha)}$, то кумулятивная функция распределения ${ Displaystyle ln (-X)}$ относится к типу I, а именно ${ Displaystyle F (х; - ln sigma, 1 / альфа, 0)}$.

Ссылка на модели логита (логистическая регрессия)

Полиномиальный логит модели и некоторые другие типы логистическая регрессия, можно сформулировать как скрытая переменная модели с переменные ошибки распространяется как Распределения Gumbel (обобщенные распределения экстремальных значений I типа). Эта формулировка распространена в теории дискретный выбор модели, которые включают модели logit, пробит модели, и различные их расширения, и вытекает из того факта, что разница двух переменных, распределенных GEV типа I, следует логистическая дистрибуция, из которых функция logit это квантильная функция. Таким образом, распределение GEV типа I играет в этих логит-моделях ту же роль, что и нормальное распределение делает в соответствующих пробит-моделях.

Характеристики

В кумулятивная функция распределения обобщенного распределения экстремальных значений решает постулат стабильности уравнение.^{[нужна цитата ]} Обобщенное распределение экстремальных значений является частным случаем max-устойчивого распределения и является преобразованием min-устойчивого распределения.

Приложения

• Распределение GEV широко используется для обработки «хвостовых рисков» в самых разных областях, от страхования до финансов. В последнем случае он рассматривался как средство оценки различных финансовых рисков с помощью таких показателей, как Стоимость под риском.^[6][7]

Соответствующее распределение вероятности GEV для месячного максимума однодневных осадков в октябре, Суринам^[8]

• Однако было обнаружено, что результирующие параметры формы лежат в диапазоне, ведущем к неопределенным средним и отклонениям, что подчеркивает тот факт, что надежный анализ данных часто невозможен.^[9]

• В гидрология распределение GEV применяется к экстремальным явлениям, таким как годовые максимальные однодневные осадки и сток реки. Голубая картинка, сделанная с CumFreq, иллюстрирует пример подгонки распределения GEV к ранжированным годовым максимальным однодневным осадкам, показывающим также 90% пояс уверенности на основе биномиальное распределение. Данные об осадках представлены построение позиций как часть совокупный частотный анализ.

Пример для нормально распределенных переменных

Позволять ${ Displaystyle (X_ {я}) _ {я в [п]}}$ быть iid. нормально распределенный случайные величины со средним 0 и дисперсией 1. Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко. говорит нам, что${ displaystyle max _ {я in [n]} X_ {i} sim GEV ( mu _ {n}, sigma _ {n}, 0)}$,куда

${ displaystyle { begin {align} mu _ {n} & = Phi ^ {- 1} left (1 - { frac {1} {n}} right) sigma _ {n} & = Phi ^ {- 1} left (1 - { frac {1} {n}} cdot mathrm {e} ^ {- 1} right) - Phi ^ {- 1} left ( 1 - { frac {1} {n}} right) end {align}}}$.

Это позволяет нам оценить, например, среднее значение ${ Displaystyle макс _ {я в [п]} X_ {я}}$от среднего значения распределения GEV:

${ Displaystyle { begin {align} E left [ max _ {i in [n]} X_ {i} right] & приблизительно mu _ {n} + gamma sigma _ {n} & = (1- gamma) Phi ^ {- 1} (1-1 / n) + gamma Phi ^ {- 1} (1-1 / (en)) & = { sqrt { log left ({ frac {n ^ {2}} {2 pi log left ({ frac {n ^ {2}} {2 pi}} right)}} right)}} cdot left (1 + { frac { gamma} { log (n)}} + { mathcal {o}} left ({ frac {1} { log (n)}} right) right) end {выровнен}}}$

Связанные дистрибутивы

1. Если ${ Displaystyle X sim { textrm {GEV}} ( mu, , sigma, , xi)}$ тогда ${ displaystyle mX + b sim { textrm {GEV}} (m mu + b, , m sigma, , xi)}$
2. Если ${ Displaystyle X sim { textrm {Gumbel}} ( mu, , sigma)}$ (Гамбель раздача ) тогда ${ Displaystyle X sim { textrm {GEV}} ( mu, , sigma, , 0)}$
3. Если ${ Displaystyle X sim { textrm {Weibull}} ( sigma, , mu)}$ (Распределение Вейбулла ) тогда ${ displaystyle mu left (1- sigma mathrm {log} { tfrac {X} { sigma}} right) sim { textrm {GEV}} ( mu, , sigma, , 0)}$
4. Если ${ Displaystyle X sim { textrm {GEV}} ( mu, , sigma, , 0)}$ тогда ${ displaystyle sigma exp (- { tfrac {X- mu} { mu sigma}}) sim { textrm {Weibull}} ( sigma, , mu)}$ (Распределение Вейбулла )
5. Если ${ displaystyle X sim { textrm {Exponential}} (1) ,}$ (Экспоненциальное распределение ) тогда ${ displaystyle mu - sigma log {X} sim { textrm {GEV}} ( mu, , sigma, , 0)}$
6. Если ${ Displaystyle X sim mathrm {Gumbel} ( alpha _ {X}, beta)}$ и ${ Displaystyle Y sim mathrm {Gumbel} ( alpha _ {Y}, beta)}$ тогда ${ Displaystyle XY sim mathrm {Логистический} ( alpha _ {X} - alpha _ {Y}, beta) ,}$ (видеть Logistic_distribution ).
7. Если ${ displaystyle X}$ и ${ Displaystyle Y sim mathrm {Gumbel} ( alpha, beta)}$ тогда ${ Displaystyle Х + Y nsim mathrm {Логистика} (2 альфа, бета) ,}$ (Сумма нет логистическое распределение). Обратите внимание, что ${ Displaystyle Е (Х + Y) = 2 альфа +2 бета гамма neq 2 альфа = Е влево ( mathrm {Логистик} (2 альфа, бета) вправо)}$.

Доказательства

4. Пусть ${ Displaystyle X sim { textrm {Weibull}} ( sigma, , mu)}$, то кумулятивное распределение ${ displaystyle g (x) = mu left (1- sigma mathrm {log} { frac {X} { sigma}} right)}$ является:

${ Displaystyle { begin {выровнен} P ( му left (1- sigma log { frac {X} { sigma}} right)$

который является cdf для ${ displaystyle sim { textrm {GEV}} ( mu, , sigma, , 0)}$.

5. Пусть ${ displaystyle X sim { textrm {Exponential}} (1)}$, то кумулятивное распределение ${ Displaystyle г (Х) = му - сигма журнал {X}}$ является:

${ Displaystyle { begin {выровнен} P ( mu - sigma log {X}$

что является совокупным распределением ${ displaystyle { textrm {GEV}} ( mu, sigma, 0)}$.

Смотрите также

• Теория экстремальных значений (одномерная теория)
• Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко.
• Обобщенное распределение Парето
• Проблема с немецким танком, противоположный вопрос о максимуме совокупности данного максимума выборки
• Теорема Пикандса – Балкемы – де Хаана.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Embrechts, Пол; Клюппельберг, Клаудиа; Микош, Томас (1997). Моделирование экстремальных событий для страхования и финансов. Берлин: Springer Verlag. ISBN  9783540609315.
• Ледбеттер, М.Р., Линдгрен, Г. и Рутцен, Х. (1983). Крайности и связанные свойства случайных последовательностей и процессов. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90731-9.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
• Резник, С.И. (1987). Экстремальные значения, регулярные вариации и точечные процессы. Springer-Verlag. ISBN  0-387-96481-9.
• Коулз, Стюарт (2001). Введение в статистическое моделирование экстремальных значений. Springer-Verlag. ISBN  1-85233-459-2.