Распределение Кумарасвами - Kumaraswamy distribution

Кумарасвами

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${ displaystyle a> 0 ,}$ (реальный) ${ displaystyle b> 0 ,}$ (реальный)
Поддержка	${ Displaystyle х в (0,1) ,}$
PDF	${ displaystyle abx ^ {a-1} (1-x ^ {a}) ^ {b-1} ,}$
CDF	${ displaystyle 1- (1-x ^ {a}) ^ {b}}$
Значить	${ displaystyle { frac {b Gamma (1 + { tfrac {1} {a}}) Gamma (b)} { Gamma (1 + { tfrac {1} {a}} + b)} } ,}$
Медиана	${ displaystyle left (1-2 ^ {- 1 / b} right) ^ {1 / a}}$
Режим	${ displaystyle left ({ frac {a-1} {ab-1}} right) ^ {1 / a}}$ за ${ Displaystyle а geq 1, б geq 1, (а, b) neq (1,1)}$
Дисперсия	(сложный - см. текст)
Асимметрия	(сложный - см. текст)
Ex. эксцесс	(сложный - см. текст)
Энтропия	${ displaystyle left (1 ! - ! { tfrac {1} {b}} right) + left (1 ! - ! { tfrac {1} {a}} right) H_ { b} - ln (ab)}$

В вероятность и статистика, то Двойное ограниченное распределение Кумарасвами это семья непрерывные распределения вероятностей определенная на интервале (0,1). Это похоже на Бета-распространение, но намного проще в использовании, особенно в симуляционных исследованиях, поскольку функция плотности вероятности, кумулятивная функция распределения и квантильные функции могут быть выражены в закрытая форма. Это распределение было первоначально предложено Пунди Кумарасвами^[1] для переменных, ограниченных сверху и снизу с нулевой инфляцией. Это было распространено на инфляцию с обоими крайними значениями [0,1] дюйма.^[2]

Характеристика

Функция плотности вероятности

В функция плотности вероятности распределения Кумарасвами без учета инфляции

${ displaystyle f (x; a, b) = abx ^ {a-1} {(1-x ^ {a})} ^ {b-1}, { mbox {where}} x в (0,1),}$

и где а и б неотрицательны параметры формы.

Кумулятивная функция распределения

В кумулятивная функция распределения является

${ Displaystyle F (x; a, b) = int _ {0} ^ {x} f ( xi; a, b) d xi = 1- (1-x ^ {a}) ^ {b} . }$

Квантильная функция

Обратная кумулятивная функция распределения (функция квантиля) есть

${ Displaystyle F (y; a, b) ^ {- 1} = (1- (1-y) ^ { frac {1} {b}}) ^ { frac {1} {a}}. }$

Обобщение на поддержку произвольного интервала

В простейшей форме распределение имеет носитель (0,1). В более общем виде нормализованная переменная Икс заменяется несмещенной и немасштабированной переменной z куда:

${ displaystyle x = { frac {z-z _ { text {min}}} {z _ { text {max}} - z _ { text {min}}}}, qquad z _ { text {min} } leq z leq z _ { text {max}}. , !}$

Характеристики

Сырье моменты распределения Кумарасвами дают:^[3][4]

${ displaystyle m_ {n} = { frac {b Gamma (1 + n / a) Gamma (b)} { Gamma (1 + b + n / a)}} = bB (1 + n / a) , б) ,}$

где B это Бета-функция а Γ (.) обозначает Гамма-функция. Дисперсия, перекос, и избыточный эксцесс можно рассчитать из этих сырых моментов. Например, разница составляет:

${ displaystyle sigma ^ {2} = m_ {2} -m_ {1} ^ {2}.}$

В Энтропия Шеннона (в нац) распределения составляет:^[5]

${ displaystyle H = left (1 ! - ! { tfrac {1} {a}} right) + left (1 ! - ! { tfrac {1} {b}} right) H_ {b} - ln (ab)}$

где ${ displaystyle H_ {i}}$ это номер гармоники функция.

Отношение к бета-распределению

Распределение Кумарасвами тесно связано с бета-распределением.^[6]Предположим, что Икс_{а, б} Кумарасвами распространяет случайная переменная с параметрами а и б.Потом Икс_{а, б} это акорень -й степени из подходящим образом определенной Бета-распределенной случайной величины. Более формально, Пусть Y_{1, б} обозначить Бета-версия распространена случайная величина с параметрами ${ Displaystyle альфа = 1}$ и ${ displaystyle beta = b}$Между ними существует следующая связь. Икс_{а, б} и Y_{1, б}.

${ displaystyle X_ {a, b} = Y_ {1, b} ^ {1 / a},}$

с равным распределением.

${ displaystyle operatorname {P} {X_ {a, b} leq x } = int _ {0} ^ {x} abt ^ {a-1} (1-t ^ {a}) ^ { b-1} dt = int _ {0} ^ {x ^ {a}} b (1-t) ^ {b-1} dt = operatorname {P} {Y_ {1, b} leq x ^ {a} } = operatorname {P} {Y_ {1, b} ^ {1 / a} leq x }.}$

Можно ввести обобщенные распределения Кумарасвами, рассматривая случайные величины вида${ displaystyle Y _ { alpha, beta} ^ {1 / gamma}}$, с участием ${ displaystyle gamma> 0}$ и где ${ displaystyle Y _ { alpha, beta}}$обозначает бета-распределенную случайную величину с параметрами ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$. Необработанный моменты этого обобщенного распределения Кумарасвами даются:

${ Displaystyle m_ {N} = { гидроразрыва { Gamma ( alpha + beta) Gamma ( alpha + n / gamma)} { Gamma ( alpha) Gamma ( alpha + beta + n / gamma)}}.}$

Обратите внимание, что мы можем восстановить исходное значение моментов ${ Displaystyle альфа = 1}$, ${ displaystyle beta = b}$ и ${ Displaystyle gamma = а}$Однако, как правило, кумулятивная функция распределения не имеет решения в замкнутой форме.

Связанные дистрибутивы

• Если ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (1,1) ,}$ тогда ${ Displaystyle X сим U (0,1) ,}$
• Если ${ Displaystyle X сим U (0,1) ,}$ (Равномерное распределение (непрерывное) ) тогда ${ displaystyle {{ Big (} 1 - { left (1-X right)} ^ { tfrac {1} {b}} { Big)}} ^ { tfrac {1} {a}} sim { textrm {Kumaraswamy}} (a, b) ,}$
• Если ${ displaystyle X sim { textrm {Beta}} (1, b) ,}$ (Бета-распространение ) тогда ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (1, b) ,}$
• Если ${ Displaystyle X sim { textrm {бета}} (а, 1) ,}$ (Бета-распространение ) тогда ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (а, 1) ,}$
• Если ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (а, 1) ,}$ тогда ${ Displaystyle (1-Х) сим { textrm {Кумарасвами}} (1, а) ,}$
• Если ${ Displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (1, а) ,}$ тогда ${ displaystyle (1-X) sim { textrm {Kumaraswamy}} (а, 1) ,}$
• Если ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (а, 1) ,}$ тогда ${ displaystyle - log (X) sim { textrm {Exponential}} (а) ,}$
• Если ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (1, b) ,}$ тогда ${ displaystyle - log (1-X) sim { textrm {Exponential}} (b) ,}$
• Если ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (a, b) ,}$ тогда ${ Displaystyle X sim { textrm {GB1}} (а, 1,1, b) ,}$, то обобщенное бета-распределение первого рода.

пример

Примером использования распределения Кумарасвами является объем хранения резервуара емкости z чья верхняя граница z_{Максимум} а нижняя граница равна 0, что также является естественным примером наличия двух инфляций, поскольку многие резервуары имеют ненулевые вероятности как для пустого, так и для полного состояний резервуара.^[2]

Рекомендации