Распределение Кента - Википедия - Kent distribution

Три набора точек, отобранные из распределения Кента. Средние направления показаны стрелками. В ${ Displaystyle каппа ,}$ параметр самый высокий для красного набора.

В направленная статистика, то 5-параметрическое распределение Фишера – Бингема или же Кент распределение, названный в честь Рональд Фишер, Кристофер Бингэм, а Джон Т. Кент - распределение вероятностей на двумерном блоке сфера ${ Displaystyle S ^ {2} ,}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ . Это аналог на двумерной единичной сфере двумерной нормальное распределение с непринужденной ковариационная матрица. Распределение Кента было предложено Джоном Т. Кентом в 1982 году и используется в геология а также биоинформатика.

В функция плотности вероятности ${ Displaystyle е ( mathbf {х}) ,}$ распределения Кента определяется по формуле:

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = { frac {1} {{ textrm {c}} ( kappa, beta)}} exp { kappa { boldsymbol { gamma}} _ {1} ^ {T} cdot mathbf {x} + beta [({ boldsymbol { gamma}} _ {2} ^ {T} cdot mathbf {x}) ^ {2} - ({ boldsymbol { gamma}} _ {3} ^ {T} cdot mathbf {x}) ^ {2}] }}$

куда ${ Displaystyle mathbf {х} ,}$ - трехмерный единичный вектор, ${ Displaystyle (.) ^ {T}}$ обозначает транспонирование ${ Displaystyle (.)}$, а нормирующая постоянная ${ Displaystyle { textrm {c}} ( каппа, бета) ,}$ является:

${ Displaystyle с ( каппа, бета) = 2 пи сумма _ {j = 0} ^ { infty} { frac { Gamma (j + { frac {1} {2}})} { Гамма (j + 1)}} beta ^ {2j} left ({ frac {1} {2}} kappa right) ^ {- 2j - { frac {1} {2}}} I_ { 2j + { frac {1} {2}}} ( kappa)}$

Где ${ Displaystyle I_ {v} ( каппа)}$ это модифицированная функция Бесселя и ${ displaystyle Gamma (.)}$ это гамма-функция. Обратите внимание, что ${ Displaystyle с (0,0) = 4 pi}$ и ${ Displaystyle с ( каппа, 0) = 4 пи ( каппа ^ {- 1}) зп ( каппа)}$, нормирующая постоянная Распределение фон Мизеса – Фишера.

Параметр ${ Displaystyle каппа ,}$ (с ${ displaystyle kappa> 0 ,}$ ) определяет концентрацию или разброс распределения, а ${ Displaystyle бета ,}$ (с ${ Displaystyle 0 Leq 2 бета < каппа}$ ) определяет эллиптичность контуров равновероятной. Чем выше ${ Displaystyle каппа ,}$ и ${ displaystyle beta ,}$ параметров, тем более концентрированным и эллиптическим будет распределение соответственно. Вектор ${ displaystyle gamma _ {1} ,}$ - среднее направление, а векторы ${ Displaystyle gamma _ {2}, gamma _ {3} ,}$ - это большая и малая оси. Последние два вектора определяют ориентацию равновероятных контуров на сфере, а первый вектор определяет общий центр контуров. Матрица 3 × 3 ${ displaystyle ( gamma _ {1}, gamma _ {2}, gamma _ {3}) ,}$ должен быть ортогональным.

Обобщение на более высокие измерения

Распределение Кента можно легко обобщить на сферы более высоких измерений. Если ${ displaystyle x}$ точка на единичной сфере ${ displaystyle S ^ {p-1}}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {p}}$, то функция плотности ${ displaystyle p}$-мерное распределение Кента пропорционально

${ displaystyle exp { kappa { boldsymbol { gamma}} _ {1} ^ {T} cdot mathbf {x} + sum _ {j = 2} ^ {p} beta _ {j } ({ boldsymbol { gamma}} _ {j} ^ {T} cdot mathbf {x}) ^ {2} } ,}$

куда ${ displaystyle sum _ {j = 2} ^ {p} beta _ {j} = 0}$ и ${ displaystyle 0 leq 2 | beta _ {j} | < kappa}$ и векторы ${ displaystyle {{ boldsymbol { gamma}} _ {j} mid j = 1 ldots p }}$ ортонормированы. Однако с константой нормализации становится очень трудно работать для ${ displaystyle p> 3}$.

Смотрите также

• Направленная статистика
• Распределение фон Мизеса – Фишера
• Двумерное распределение фон Мизеса
• Распределение фон Мизеса
• Распределение Бингема

Рекомендации

• Бумсма, У., Кент, Дж. Т., Мардиа, К. В., Тейлор, К. С. И Хэмелрик, Т. (2006) Графические модели и направленная статистика фиксируют структуру белка. В S. Barber, P.D. Бакстер, К. В. Мардиа и Р. Э. Стены (ред.), Междисциплинарная статистика и биоинформатикаС. 91–94. Лидс, Университетское издательство Лидса.
• Хамелрик Т., Кент Дж. Т., Крог А. (2006) Выборка реалистичных конформаций белков с использованием локального структурного смещения^{[постоянная мертвая ссылка ]}. PLoS Comput Biol 2 (9): e131
• Кент, Дж. Т. (1982) Распределение Фишера – Бингема на сфере., J. Royal. Стат. Soc., 44:71–80.
• Кент, Дж. Т., Хамелрик, Т. (2005). Использование распределения Фишера – Бингема в стохастических моделях структуры белка. В S. Barber, P.D. Бакстер, К. В. Мардиа и Р. Э. Стены (ред.), Количественная биология, анализ формы и всплескиС. 57–60. Лидс, Университетское издательство Лидса.
• Мардиа, К. В. М., Джапп, П. Э. (2000) Направленная статистика (2-е издание), John Wiley and Sons Ltd. ISBN  0-471-95333-4
• Пил, Д., Уайтен, У. Дж., Маклахлан, Дж. Дж. (2001) Подгонка смесей распределений Кента для облегчения идентификации соединительных узлов. Варенье. Стат. Жопа., 96:56–63