Q-экспоненциальное распределение - Q-exponential distribution

q-экспоненциальное распределение

Функция плотности вероятности
Параметры	${ displaystyle q <2}$ форма (настоящий ) ${ displaystyle lambda> 0}$ ставка (настоящий )
Поддерживать	${ displaystyle x in [0, infty) { text {for}} q geq 1}$ ${ displaystyle x in left [0, { frac {1} { lambda (1-q)}} right) { text {for}} q <1}$
PDF	${ displaystyle (2-q) lambda e_ {q} ^ {- lambda x}}$
CDF	${ displaystyle 1-e_ {q '} ^ {- lambda x / q'} { text {where}} q '= { frac {1} {2-q}}}$
Иметь в виду	${ displaystyle { frac {1} { lambda (3-2q)}} { text {for}} q <{ frac {3} {2}}}$ В противном случае не определено
Медиана	${ displaystyle { frac {-q ' ln _ {q'} (1/2)} { lambda}} { text {where}} q '= { frac {1} {2-q}} }$
Режим	0
Дисперсия	${ displaystyle { frac {q-2} {(2q-3) ^ {2} (3q-4) lambda ^ {2}}} { text {for}} q <{ frac {4} { 3}}}$
Асимметрия	${ displaystyle { frac {2} {5-4q}} { sqrt { frac {3q-4} {q-2}}} { text {for}} q <{ frac {5} {4 }}}$
Бывший. эксцесс	${ displaystyle 6 { frac {-4q ^ {3} + 17q ^ {2} -20q + 6} {(q-2) (4q-5) (5q-6)}} { text {for}} q <{ frac {6} {5}}}$

В q-экспоненциальное распределение это распределение вероятностей возникающие в результате максимизации Энтропия Цаллиса при соответствующих ограничениях, включая ограничение домена быть положительным. Это один из примеров Распределение Цаллиса. В q-экспонента является обобщением экспоненциальное распределение так же, как энтропия Тсаллиса является обобщением стандартных Энтропия Больцмана – Гиббса или же Энтропия Шеннона.^[1] Экспоненциальное распределение восстанавливается как ${ displaystyle q rightarrow 1.}$

Первоначально предложено статистиками Джордж Бокс и Дэвид Кокс в 1964 г.,^[2] и известный как обратный Преобразование Бокса – Кокса за ${ Displaystyle д = 1- лямбда,}$ частный случай преобразование власти в статистике.

Характеристика

Функция плотности вероятности

В q-экспоненциальное распределение имеет функцию плотности вероятности

${ displaystyle (2-q) lambda e_ {q} (- lambda x)}$

куда

${ displaystyle e_ {q} (x) = [1+ (1-q) x] ^ {1 / (1-q)}}$

это q-экспоненциальный если q ≠ 1. Когда q = 1, е_q(x) просто exp (Икс).

Вывод

Аналогично тому, как экспоненциальное распределение можно вывести (используя стандартную энтропию Больцмана – Гиббса или энтропию Шеннона и ограничивая область определения переменной положительной величиной), q-экспоненциальное распределение может быть получено путем максимизации энтропии Цаллиса при соблюдении соответствующих ограничений.

Связь с другими дистрибутивами

В q-экспонента - частный случай обобщенное распределение Парето куда

${ displaystyle mu = 0, quad xi = { frac {q-1} {2-q}}, quad sigma = { frac {1} { lambda (2-q)}}. }$

В q-экспонента - это обобщение Распределение Lomax (Тип Парето II), поскольку он расширяет это распределение на случаи конечной поддержки. Параметры Lomax:

${ displaystyle alpha = { frac {2-q} {q-1}}, quad lambda _ { mathrm {Lomax}} = { frac {1} { lambda (q-1)}} .}$

Поскольку дистрибутив Lomax представляет собой сдвинутую версию Распределение Парето, то q-экспонента - это смещенное репараметризованное обобщение Парето. Когда q > 1, то q-экспонента эквивалентна сдвигу Парето, чтобы поддержка начиналась с нуля. В частности, если

${ displaystyle X sim operatorname {{ mathit {q}} - Exp} (q, lambda) { text {and}} Y sim left [ operatorname {Pareto} left (x_ {m} = { frac {1} { lambda (q-1)}}, alpha = { frac {2-q} {q-1}} right) -x_ {m} right],}$

тогда ${ displaystyle X sim Y.}$

Генерация случайных отклонений

Случайные отклонения можно нарисовать с помощью выборка с обратным преобразованием. Учитывая переменную U равномерно распределенный на интервале (0,1), то

${ displaystyle X = { frac {-q ' ln _ {q'} (U)} { lambda}} sim operatorname {{ mathit {q}} - Exp} (q, lambda)}$

куда ${ displaystyle ln _ {q '}}$ это q-логарифм и ${ displaystyle q '= { frac {1} {2-q}}.}$

Приложения

Быть преобразование власти, это обычный метод в статистике для стабилизации дисперсии, чтобы сделать данные более похожими на нормальное распределение и повысить достоверность показателей связи, таких как корреляция Пирсона между переменными. Было установлено, что это точная модель задержки поездов.^[3]Он также встречается в атомной физике и квантовой оптике, например, в процессах создания молекулярного конденсата через переход через резонанс Фешбаха.^[4]

Смотрите также

• Константино Цаллис
• Статистика Цаллиса
• Энтропия Цаллиса
• Распределение Цаллиса
• q-сопула
• q-Гауссовский

Примечания

дальнейшее чтение

• Можжевельник, Дж. (2007) «Распределение Цаллиса и обобщенная энтропия: перспективы будущих исследований принятия решений в условиях неопределенности», Центр полной занятости и справедливости, Университет Ньюкасла, Австралия

внешняя ссылка

• Статистика Цаллиса, статистическая механика неэкстенсивных систем и дальнодействующих взаимодействий