Распределение Рэлея - Rayleigh distribution

Рэлей

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	шкала: ${ displaystyle sigma> 0}$
Поддерживать	${ Displaystyle х в [0, infty)}$
PDF	${ displaystyle { frac {x} { sigma ^ {2}}} e ^ {- x ^ {2} / left (2 sigma ^ {2} right)}}$
CDF	${ displaystyle 1-e ^ {- x ^ {2} / left (2 sigma ^ {2} right)}}$
Квантиль	${ Displaystyle Q (F; sigma) = sigma { sqrt {-2 ln (1-F)}}}$
Иметь в виду	${ displaystyle sigma { sqrt { frac { pi} {2}}}}$
Медиана	${ Displaystyle sigma { sqrt {2 ln (2)}}}$
Режим	${ displaystyle sigma}$
Дисперсия	${ displaystyle { frac {4- pi} {2}} sigma ^ {2}}$
Асимметрия	${ displaystyle { frac {2 { sqrt { pi}} ( pi -3)} {(4- pi) ^ {3/2}}}}$
Бывший. эксцесс	${ displaystyle - { frac {6 pi ^ {2} -24 pi +16} {(4- pi) ^ {2}}}}$
Энтропия	${ displaystyle 1+ ln left ({ frac { sigma} { sqrt {2}}} right) + { frac { gamma} {2}}}$
MGF	${ displaystyle 1+ sigma te ^ { sigma ^ {2} t ^ {2} / 2} { sqrt { frac { pi} {2}}} left ( operatorname {erf} left ( { frac { sigma t} { sqrt {2}}} right) +1 right)}$
CF	${ displaystyle 1- sigma te ^ {- sigma ^ {2} t ^ {2} / 2} { sqrt { frac { pi} {2}}} left ( operatorname {erfi} left ({ frac { sigma t} { sqrt {2}}} right) -i right)}$

В теория вероятности и статистика, то Распределение Рэлея это непрерывное распределение вероятностей для неотрицательных случайные переменные. По сути, это распределение ци с двумя степени свободы.

Распределение Рэлея часто наблюдается, когда общая величина вектора связана с его направлением. составные части. Один из примеров, когда естественно возникает распределение Рэлея, - это когда ветер скорость анализируется в два измерения. Предполагая, что каждый компонент некоррелированный, нормально распределенный с равным отклонение, и ноль иметь в виду, то общая скорость ветра (вектор величина) будет характеризоваться распределением Рэлея. Второй пример распределения возникает в случае случайных комплексных чисел, действительная и мнимая составляющие которых независимо и одинаково распределены. Гауссовский с равной дисперсией и нулевым средним. В этом случае абсолютное значение комплексного числа распределено по Рэлею.

Распространение названо в честь Лорд Рэйли (/ˈрeɪля/).^[1]

Определение

В функция плотности вероятности распределения Рэлея есть^[2]

${ displaystyle f (x; sigma) = { frac {x} { sigma ^ {2}}} e ^ {- x ^ {2} / (2 sigma ^ {2})}, quad x geq 0,}$

куда ${ displaystyle sigma}$ это параметр масштаба распределения. В кумулятивная функция распределения является^[2]

${ Displaystyle F (х; sigma) = 1-е ^ {- х ^ {2} / (2 sigma ^ {2})}}$

за ${ displaystyle x in [0, infty).}$

Связь со случайной длиной вектора

Рассмотрим двумерный вектор ${ Displaystyle Y = (U, V)}$ который имеет компоненты, которые нормально распределены, центрированы в нуле и независимы. потом ${ displaystyle U}$ и ${ displaystyle V}$ иметь функции плотности

${ displaystyle f_ {U} (x; sigma) = f_ {V} (x; sigma) = { frac {e ^ {- x ^ {2} / (2 sigma ^ {2})}} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}}}}.}$

Позволять ${ displaystyle X}$ быть длиной ${ displaystyle Y}$. То есть, ${ displaystyle X = { sqrt {U ^ {2} + V ^ {2}}}.}$ потом ${ displaystyle X}$ имеет кумулятивную функцию распределения

${ Displaystyle F_ {X} (х; sigma) = iint _ {D_ {x}} f_ {U} (u; sigma) f_ {V} (v; sigma) , dA,}$

куда ${ displaystyle D_ {x}}$ диск

${ displaystyle D_ {x} = left {(u, v): { sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}}$

Написание двойной интеграл в полярные координаты, это становится

${ displaystyle F_ {X} (x; sigma) = { frac {1} {2 pi sigma ^ {2}}} int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {x} re ^ {- r ^ {2} / (2 sigma ^ {2})} , dr , d theta = { frac {1} { sigma ^ {2}}} int _ {0} ^ {x} re ^ {- r ^ {2} / (2 sigma ^ {2})} , доктор}$

Наконец, функция плотности вероятности для ${ displaystyle X}$ является производной его кумулятивной функции распределения, которая по основная теорема исчисления является

${ displaystyle f_ {X} (x; sigma) = { frac {d} {dx}} F_ {X} (x; sigma) = { frac {x} { sigma ^ {2}}} e ^ {- x ^ {2} / (2 sigma ^ {2})},}$

которое является распределением Рэлея. Легко обобщить на векторы размерности, отличной от 2. Существуют также обобщения, когда компоненты имеют неравная дисперсия или корреляции, или когда вектор Y следует за двумерный студент т-распределение.^[3]

Характеристики

В сырые моменты даны:

${ displaystyle mu _ {j} = sigma ^ {j} 2 ^ {j / 2} , Gamma left (1 + { frac {j} {2}} right),}$

куда ${ Displaystyle Gamma (г)}$ это гамма-функция.

В иметь в виду случайной величины Рэлея:

${ displaystyle mu (X) = sigma { sqrt { frac { pi} {2}}} приблизительно 1,253 sigma.}$

В стандартное отклонение случайной величины Рэлея:

${ displaystyle operatorname {std} (X) = { sqrt { left (2 - { frac { pi} {2}} right)}} sigma приблизительно { sqrt {0.429}} сигма}$

В отклонение случайной величины Рэлея:

${ displaystyle operatorname {var} (X) = mu _ {2} - mu _ {1} ^ {2} = left (2 - { frac { pi} {2}} right) сигма ^ {2} приблизительно 0,429 sigma ^ {2}}$

В Режим является ${ displaystyle sigma,}$ и максимальный pdf

${ displaystyle f _ { max} = f ( sigma; sigma) = { frac {1} { sigma}} e ^ {- 1/2} приблизительно { frac {0.606} { sigma}} .}$

В перекос дан кем-то:

${ displaystyle gamma _ {1} = { frac {2 { sqrt { pi}} ( pi -3)} {(4- pi) ^ {3/2}}} приблизительно 0,631}$

Избыток эксцесс дан кем-то:

${ displaystyle gamma _ {2} = - { frac {6 pi ^ {2} -24 pi +16} {(4- pi) ^ {2}}} приблизительно 0,245}$

В характеристическая функция дан кем-то:

${ displaystyle varphi (t) = 1- sigma te ^ {- { frac {1} {2}} sigma ^ {2} t ^ {2}} { sqrt { frac { pi} { 2}}} left [ operatorname {erfi} left ({ frac { sigma t} { sqrt {2}}} right) -i right]}$

куда ${ displaystyle operatorname {erfi} (z)}$ это воображаемый функция ошибки. В функция, производящая момент дан кем-то

${ Displaystyle M (t) = 1 + sigma t , e ^ {{ frac {1} {2}} sigma ^ {2} t ^ {2}} { sqrt { frac { pi} {2}}} left [ operatorname {erf} left ({ frac { sigma t} { sqrt {2}}} right) +1 right]}$

куда ${ displaystyle operatorname {erf} (z)}$ это функция ошибки.

Дифференциальная энтропия

В дифференциальная энтропия дан кем-то^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle H = 1 + ln left ({ frac { sigma} { sqrt {2}}} right) + { frac { gamma} {2}}}$

куда ${ displaystyle gamma}$ это Константа Эйлера – Маскерони.

Оценка параметров

Учитывая образец N независимые и одинаково распределенные Случайные величины Рэлея ${ displaystyle x_ {i}}$ с параметром ${ displaystyle sigma}$,

${ displaystyle { widehat { sigma}} ^ {2} приблизительно ! , { frac {1} {2N}} sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {2 }}$ это максимальная вероятность оценка, а также беспристрастный.

${ displaystyle { widehat { sigma}} приблизительно { sqrt {{ frac {1} {2N}} sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {2}}}}$ является смещенной оценкой, которую можно исправить с помощью формулы

${ displaystyle sigma = { widehat { sigma}} { frac { Gamma (N) { sqrt {N}}} { Gamma (N + { frac {1} {2}})}} = { widehat { sigma}} { frac {4 ^ {N} N! (N-1)! { sqrt {N}}} {(2N)! { sqrt { pi}}}}}}$^[4]

Доверительные интервалы

Чтобы найти (1 -α) доверительный интервал, сначала найдите границы ${ Displaystyle [а, б]}$ куда:

  ${ Displaystyle P ( chi _ {2N} ^ {2} leq a) = alpha / 2, quad P ( chi _ {2N} ^ {2} leq b) = 1- alpha / 2 }$

тогда параметр масштаба попадет в границы

  ${ displaystyle { frac {{N} { overline {x ^ {2}}}} {b}} leq { widehat { sigma}} ^ {2} leq { frac {{N} { overline {x ^ {2}}}} {а}}}$^[5]

Генерация случайных переменных

Учитывая случайную вариацию U взяты из равномерное распределение в интервале (0, 1), то вариация

${ Displaystyle X = sigma { sqrt {-2 ln U}} ,}$

имеет распределение Рэлея с параметром ${ displaystyle sigma}$. Это достигается применением выборка с обратным преобразованием -метод.

Связанные дистрибутивы

• ${ Displaystyle R sim mathrm {Рэлей} ( sigma)}$ распределено Рэлея, если ${ displaystyle R = { sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}}$, куда ${ Displaystyle X sim N (0, sigma ^ {2})}$ и ${ Displaystyle Y sim N (0, sigma ^ {2})}$ независимы нормальные случайные величины.^[6] (Это дает мотивацию к использованию символа «сигма» в описанной выше параметризации плотности Рэлея.)

• Величина ${ displaystyle | z |}$ из стандартный комплекс нормально распределенный Переменная z будет иметь распределение Рэлея.

• В распределение ци с v = 2 эквивалентно распределению Рэлея сσ = 1.

• Если ${ Displaystyle R sim mathrm {Рэлей} (1)}$, тогда ${ displaystyle R ^ {2}}$ имеет распределение хи-квадрат с параметром ${ displaystyle N}$, степени свободы, равные двум (N = 2)

${ Displaystyle [Q = R ^ {2}] sim chi ^ {2} (N) .}$

• Если ${ Displaystyle R sim mathrm {Рэлей} ( sigma)}$, тогда ${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {N} R_ {я} ^ {2}}$ имеет гамма-распределение с параметрами ${ displaystyle N}$ и ${ displaystyle 2 sigma ^ {2}}$

${ displaystyle left [Y = sum _ {i = 1} ^ {N} R_ {i} ^ {2} right] sim Gamma (N, 2 sigma ^ {2}).}$

• В Раздача риса это нецентральное обобщение распределения Рэлея: ${ displaystyle mathrm {Rayleigh} ( sigma) = mathrm {Rice} (0, sigma)}$.
• В Распределение Вейбулла с "параметром формы" k= 2 дает распределение Рэлея. Тогда параметр распределения Рэлея ${ displaystyle sigma}$ связана с параметром шкалы Вейбулла согласно ${ displaystyle lambda = sigma { sqrt {2}}.}$
• В Распределение Максвелла – Больцмана описывает величину вектора нормали в трех измерениях.
• Если ${ displaystyle X}$ имеет экспоненциальное распределение ${ displaystyle X sim mathrm {Exponential} ( lambda)}$, тогда ${ displaystyle Y = { sqrt {X}} sim mathrm {Rayleigh} (1 / { sqrt {2 lambda}}).}$

• В полунормальное распределение является одномерным частным случаем распределения Рэлея.

Приложения

Приложение оценки σ можно найти в магнитно-резонансная томография (МРТ). Поскольку изображения МРТ записываются как сложный изображения, но чаще всего рассматриваемые как изображения величины, фоновые данные распределены по Рэлею. Следовательно, приведенная выше формула может использоваться для оценки дисперсии шума в МРТ-изображении по фоновым данным.^[7][8]

Распределение Рэлея также использовалось в области питание для связи диетический питательное вещество уровни и человек и животное ответы. Таким образом, параметр σ можно использовать для расчета зависимости отклика на питательные вещества.^[9]

Смотрите также

• Замирание Рэлея
• Распределение смеси Рэлея
• Вероятна круговая ошибка

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (апрель 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Рекомендации