Биномиальное распределение Пуассона - Poisson binomial distribution

Бином Пуассона

Параметры	${ displaystyle mathbf {p} in [0,1] ^ {n}}$ - вероятности успеха для каждого из п испытания
Поддерживать	k ∈ { 0, …, п }
PMF	${ displaystyle sum limits _ {A in F_ {k}} prod limits _ {i in A} p_ {i} prod limits _ {j in A ^ {c}} (1- p_ {j})}$
CDF	${ displaystyle sum limits _ {l = 0} ^ {k} sum limits _ {A in F_ {l}} prod limits _ {i in A} p_ {i} prod limits _ {j in A ^ {c}} (1-p_ {j})}$
Иметь в виду	${ displaystyle sum limits _ {i = 1} ^ {n} p_ {i}}$
Дисперсия	${ displaystyle sigma ^ {2} = sum limits _ {i = 1} ^ {n} (1-p_ {i}) p_ {i}}$
Асимметрия	${ displaystyle { frac {1} { sigma ^ {3}}} sum limits _ {i = 1} ^ {n} (1-2p_ {i}) (1-p_ {i}) p_ { я}}$
Бывший. эксцесс	${ displaystyle { frac {1} { sigma ^ {4}}} sum limits _ {i = 1} ^ {n} (1-6 (1-p_ {i}) p_ {i}) ( 1-p_ {i}) p_ {i}}$
MGF	${ displaystyle prod limits _ {j = 1} ^ {n} (1-p_ {j} + p_ {j} e ^ {t})}$
CF	${ displaystyle prod limits _ {j = 1} ^ {n} (1-p_ {j} + p_ {j} e ^ {it})}$

В теория вероятности и статистика, то Биномиальное распределение Пуассона это дискретное распределение вероятностей из суммы независимый Бернулли испытания которые не обязательно одинаково распределены. Концепция названа в честь Симеон Дени Пуассон.

Другими словами, это распределение вероятностей количества успехов в сборе п независимый да / нет эксперименты с успехом вероятности ${ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, dots, p_ {n}}$. Обычный биномиальное распределение является частным случаем биномиального распределения Пуассона, когда все вероятности успеха одинаковы, то есть ${ displaystyle p_ {1} = p_ {2} = cdots = p_ {n}}$.

Среднее и дисперсия

Поскольку биномиальная распределенная переменная Пуассона представляет собой сумму п независимых переменных, распределенных Бернулли, их среднее значение и дисперсия будут просто суммами среднего и дисперсии п Распределения Бернулли:

${ displaystyle mu = sum limits _ {i = 1} ^ {n} p_ {i}}$

${ displaystyle sigma ^ {2} = sum limits _ {i = 1} ^ {n} (1-p_ {i}) p_ {i}}$

При фиксированных значениях среднего (${ displaystyle mu}$) и размер (п) дисперсия максимальна, когда все вероятности успеха равны и у нас есть биномиальное распределение. Когда среднее фиксировано, дисперсия ограничена сверху дисперсией распределение Пуассона с тем же средним, которое достигается асимптотически^{[нужна цитата ]} в качестве п стремится к бесконечности.

Функция массы вероятности

Вероятность наличия k успешных испытаний из общего числа п можно записать как сумму^[1]

${ Displaystyle Pr (К = К) = сумма пределы _ {A in F_ {k}} prod limits _ {i in A} p_ {i} prod limits _ {j in A ^ {c}} (1-p_ {j})}$

куда ${ displaystyle F_ {k}}$ - это множество всех подмножеств k целые числа, которые могут быть выбраны из {1,2,3, ...,п}. Например, если п = 3, тогда ${ Displaystyle F_ {2} = влево { {1,2 }, {1,3 }, {2,3 } right }}$. ${ displaystyle A ^ {c}}$ является дополнением ${ displaystyle A}$, т.е. ${ displaystyle A ^ {c} = {1,2,3, dots, n } setminus A}$.

${ displaystyle F_ {k}}$ будет содержать ${ Displaystyle п! / ((п-к)! к!)}$ элементы, сумма которых невозможно вычислить на практике, если только количество испытаний п маленький (например, если п = 30, ${ displaystyle F_ {15}}$ содержит более 10²⁰ элементы). Однако есть и другие, более эффективные способы расчета ${ Displaystyle Pr (К = к)}$.

Пока ни одна из вероятностей успеха не равна единице, можно вычислить вероятность k успехи с использованием рекурсивной формулы ^[2][3]

${ displaystyle Pr (K = k) = { begin {cases} prod limits _ {i = 1} ^ {n} (1-p_ {i}) & k = 0 { frac {1} {k}} sum limits _ {i = 1} ^ {k} (- 1) ^ {i-1} Pr (K = ki) T (i) & k> 0 end {case}} }$

куда

${ displaystyle T (i) = sum limits _ {j = 1} ^ {n} left ({ frac {p_ {j}} {1-p_ {j}}} right) ^ {i} .}$

Рекурсивная формула не является численно устойчивой, и ее следует избегать, если ${ displaystyle n}$ больше, чем приблизительно 20. Другая возможность - использовать дискретное преобразование Фурье.^[4]

${ Displaystyle Pr (К = К) = { гидроразрыва {1} {n + 1}} sum limits _ {l = 0} ^ {n} C ^ {- lk} prod limits _ {m = 1} ^ {n} left (1+ (C ^ {l} -1) p_ {m} right)}$

куда ${ Displaystyle С = ехр влево ({ гидроразрыва {2i pi} {п + 1}} вправо)}$ и ${ displaystyle i = { sqrt {-1}}}$.

Остальные методы описаны в ^[5].

Энтропия

Нет простой формулы для энтропии биномиального распределения Пуассона, но энтропия ограничена сверху энтропией биномиального распределения с тем же числовым параметром и тем же средним. Следовательно, энтропия также ограничена сверху энтропией распределения Пуассона с тем же средним значением.^[6]

Гипотеза о вогнутости Шеппа – Олкина, в силу Лоуренс Шепп и Инграм Олкин в 1981 году, утверждает, что энтропия биномиального распределения Пуассона является вогнутой функцией вероятностей успеха ${ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, dots, p_ {n}}$.^[7] Это предположение было доказано Эрваном Хиллионом и Оливером Джонсоном в 2015 году.^[8] Гипотеза о монотонности Шеппа-Олкина, также из той же статьи 1981 г., состоит в том, что энтропия монотонно возрастает по ${ displaystyle p_ {i}}$, я упал ${ displaystyle p_ {i} leq 1/2}$. Эту гипотезу также доказали Хиллион и Джонсон в 2019 году. ^[9]

Граница Чернова

Вероятность того, что биномиальное распределение Пуассона станет большим, может быть ограничена с помощью его производящей функции момента следующим образом (действительно, когда ${ displaystyle s geq mu}$):

${ Displaystyle { begin {align} Pr [S geq s] & leq exp (-st) OperatorName {E} left [ exp left [т сумма _ {i} X_ {i} right] right] & = exp (-st) prod _ {i} (1-p_ {i} + e ^ {t} p_ {i}) & = exp left (- st + sum _ {i} log left (p_ {i} (e ^ {t} -1) +1 right) right) & leq exp left (-st + sum _ {i } log left ( exp (p_ {i} (e ^ {t} -1)) right) right) & = exp left (-st + sum _ {i} p_ {i} (e ^ {t} -1) right) & = exp left (s- mu -s log { frac {s} { mu}} right), end {align}} }$

где мы взяли ${ textstyle t = log left (s left / sum _ {i} p_ {i} right. right)}$. Это похоже на хвостовые границы биномиального распределения.

Смотрите также

• Теорема Ле Кама

Рекомендации