Обобщенное гиперболическое распределение - Generalised hyperbolic distribution

Обобщенный гиперболический

Параметры	${ displaystyle lambda}$ (настоящий) ${ displaystyle alpha}$ (настоящий) ${ displaystyle beta}$ параметр асимметрии (реальный) ${ displaystyle delta}$ параметр масштаба (настоящий) ${ displaystyle mu}$ место расположения (настоящий ) ${ displaystyle gamma = { sqrt { alpha ^ {2} - beta ^ {2}}}}$
Поддерживать	${ Displaystyle х в (- infty; + infty) !}$
PDF	${ displaystyle { frac {( gamma / delta) ^ { lambda}} {{ sqrt {2 pi}} K _ { lambda} ( delta gamma)}} ; e ^ { beta (х- му)} !}$ ${ displaystyle times { frac {K _ { lambda -1/2} left ( alpha { sqrt { delta ^ {2} + (x- mu) ^ {2}}} right)} { left ({ sqrt { delta ^ {2} + (x- mu) ^ {2}}} / alpha right) ^ {1 / 2- lambda}}} !}$
Иметь в виду	${ displaystyle mu + { frac { delta beta K _ { lambda +1} ( delta gamma)} { gamma K _ { lambda} ( delta gamma)}}}$
Дисперсия	${ displaystyle { frac { delta K _ { lambda +1} ( delta gamma)} { gamma K _ { lambda} ( delta gamma)}} + { frac { beta ^ {2} delta ^ {2}} { gamma ^ {2}}} left ({ frac {K _ { lambda +2} ( delta gamma)} {K _ { lambda} ( delta gamma)} } - { frac {K _ { lambda +1} ^ {2} ( delta gamma)} {K _ { lambda} ^ {2} ( delta gamma)}} right)}$
MGF	${ displaystyle { frac {e ^ { mu z} gamma ^ { lambda}} {({ sqrt { alpha ^ {2} - ( beta + z) ^ {2}}}) ^ { lambda}}} { frac {K _ { lambda} ( delta { sqrt { alpha ^ {2} - ( beta + z) ^ {2}}})} {K _ { lambda} ( дельта гамма)}}}$

В обобщенное гиперболическое распределение (GH) это непрерывное распределение вероятностей определяется как нормальная смесь средних дисперсий где распределение смешения - это обобщенное обратное гауссово распределение (GIG). Его функция плотности вероятности (см. рамку) дано в терминах модифицированная функция Бесселя второго рода, обозначаемый ${ displaystyle K _ { lambda}}$.^[1] Он был представлен Оле Барндорф-Нильсен, изучавшие его в контексте физики переносимый ветром песок.^[2]

Характеристики

Линейное преобразование

Этот класс закрыт аффинные преобразования.^[1]

Суммирование

Барндорф-Нильсен и Халгрин доказали, что распределение GIG бесконечно делимый и поскольку распределение GH может быть получено как нормальная смесь средних значений дисперсии, где распределение смешивания является обобщенное обратное гауссово распределение, Барндорф-Нильсен и Халгрин показали, что распределение GH также бесконечно делимо.^[3]

Не может быть закрыто сверткой

Важным моментом о безгранично делимых распределениях является их связь с Леви процессы, т.е. в любой момент времени процесс Леви является бесконечно делимым распределенным. Многие семейства хорошо известных безгранично делимых распределений являются так называемыми сверточно-замкнутыми, то есть если распределение процесса Леви в один момент времени принадлежит одному из этих семейств, то распределение процесса Леви во все моменты времени принадлежит к тому же семейству дистрибутивов. Например, процесс Пуассона будет распределен по Пуассону во все моменты времени, или броуновское движение будет нормально распределено во все моменты времени. Однако процесс Леви, который является обобщенно гиперболическим в один момент времени, может не быть обобщенно гиперболическим в другой момент времени. Фактически, обобщенные распределения Лапласа и нормальные обратные гауссовские распределения являются единственными подклассами обобщенных гиперболических распределений, которые замкнуты относительно свертки.^[4]

Связанные дистрибутивы

Как следует из названия, он имеет очень общую форму и является суперклассом, среди прочего, Студенты т-распределение, то Распределение Лапласа, то гиперболическое распределение, то нормально-обратное гауссово распределение и дисперсионно-гамма-распределение.

• ${ displaystyle X sim mathrm {GH} (- { frac { nu} {2}}, 0,0, { sqrt { nu}}, mu) ,}$ имеет Студенты т-распределение с ${ displaystyle nu}$ степени свободы.
• ${ Displaystyle Х сим mathrm {GH} (1, альфа, бета, дельта, му) ,}$ имеет гиперболическое распределение.

• ${ Displaystyle Х сим mathrm {GH} (-1/2, альфа, бета, дельта, му) ,}$ имеет нормально-обратное гауссово распределение (НИГ).
• ${ Displaystyle X sim mathrm {GH} (?,?,?,?,?) ,}$ нормально-обратное распределение хи-квадрат
• ${ Displaystyle X sim mathrm {GH} (?,?,?,?,?) ,}$ нормально-обратное гамма-распределение (NI)
• ${ Displaystyle Х сим mathrm {GH} ( лямбда, альфа, бета, 0, му) ,}$ имеет дисперсионно-гамма-распределение
• ${ Displaystyle X sim mathrm {GH} (1,1,0,0, mu) ,}$ имеет Распределение Лапласа с параметром местоположения ${ displaystyle mu}$ и масштабный параметр 1.

Приложения

Он в основном применяется в областях, где требуется достаточная вероятность поведения в дальней зоне.^{[требуется разъяснение ]}, который он может моделировать благодаря своим полутяжелым хвостам - свойство нормальное распределение не обладает. В обобщенное гиперболическое распределение часто используется в экономике, особенно в области моделирование финансовых рынков и управление рисками из-за его полутяжелых хвостов.

Рекомендации