Бета-прямоугольное распределение - Википедия - Beta rectangular distribution

Бета прямоугольный

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${ displaystyle alpha> 0}$ форма (настоящий ) ${ displaystyle beta> 0}$ форма (настоящий ) ${ Displaystyle 0 < theta <1}$ параметр смеси
Поддерживать	${ Displaystyle х в (а, Ь) !}$
PDF	${ Displaystyle { begin {case} { frac { theta Gamma ( alpha + beta)} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}} { frac {(xa) ^ { альфа -1} (bx) ^ { beta -1}} {(ba) ^ { alpha + beta +1}}} + { frac {1- theta} {ba}} & { text { for}} x in [a, b] 0 & { text {иначе}} end {case}}}$
CDF	${ displaystyle { begin {case} 0 & { text {for}} x leq a theta I_ {z} ( alpha, beta) + { frac {(1- theta) (xa) } {ba}} & { text {for}} x in [a, b] 1 & { text {for}} x geq b end {case}}}$ куда ${ Displaystyle Z = (х-а) / (б-а)}$
Иметь в виду	${ displaystyle a + (b-a) left ({ frac { theta alpha} { alpha + beta}} + { frac {1- theta} {2}} right)}$
Дисперсия	${ displaystyle (ba) ^ {2} left ({ frac { theta , alpha ( alpha +1)} {k (k + 1)}} + { frac {1- theta} { 3}} - { frac {{ bigl (} k + theta ( alpha - beta) { bigr)} ^ {2}} {4k ^ {2}}} right)}$ куда ${ Displaystyle к = альфа + бета}$

В теория вероятности и статистика, то бета-прямоугольное распределение это распределение вероятностей это конечный распределение смеси из бета-распространение и непрерывное равномерное распределение. Поддержка раздачи указывается параметрами а и б, которые являются минимальным и максимальным значениями соответственно. Распределение представляет собой альтернативу бета-распределению, позволяющую разместить большую плотность на крайних точках ограниченного интервала поддержки.^[1] Таким образом, это ограниченное распределение, которое позволяет выбросы иметь больше шансов на появление, чем бета-распределение.

Определение

Функция плотности вероятности

Если параметры бета-распределения равны α и β, а если параметр смеси равен θ, то бета-прямоугольное распределение имеет функция плотности вероятности^{[нужна цитата ]}

${ Displaystyle п (Икс | альфа, бета, тета) = { begin {case} { frac { theta Gamma ( alpha + beta)} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}} { frac {(xa) ^ { alpha -1} (bx) ^ { beta -1}} {(ba) ^ { alpha + beta +1}}} + { frac { 1- theta} {ba}} & mathrm {для} a leq x leq b, [8pt] 0 & mathrm {для} x b конец {case}}}$

куда ${ Displaystyle Gamma ( cdot)}$ это гамма-функция.

Кумулятивная функция распределения

В кумулятивная функция распределения является^{[нужна цитата ]}

${ Displaystyle F (Икс | альфа, бета, theta) = theta I_ {z} ( alpha, beta) + { frac {(1- theta) (xa)} {ba}} quad quad mathrm {for} a leq x leq b,}$

куда ${ displaystyle z = { dfrac {x-a} {b-a}}}$ и ${ Displaystyle I_ {z} ( альфа, бета)}$ это регуляризованная неполная бета-функция.

Приложения

Управление проектом

В Распределение PERT вариация бета-распространение часто используется в ПЕРТ, метод критического пути (CPM) и другие управление проектом методологии для характеристики распределения времени до завершения деятельности.^[2]

В PERT ограничения на параметры распределения PERT приводят к сокращенным вычислениям среднего и стандартного отклонения бета-распределения:

${ displaystyle { begin {align} E (x) & {} = { frac {a + 4m + b} {6}} operatorname {Var} (x) & {} = { frac {( ба) ^ {2}} {36}} конец {выровнено}}}$

куда а это минимум, б это максимум, а м это режим или наиболее вероятное значение. Однако считается, что дисперсия постоянно зависит от диапазона. В результате нет возможности выразить различные уровни неопределенности, которые может иметь руководитель проекта в отношении времени действия.

Выявление параметра достоверности бета-прямоугольника θ позволяет менеджеру проекта включить прямоугольное распределение и увеличить неопределенность, указав θ меньше 1. Приведенная выше формула ожидания становится

${ displaystyle E (x) = { frac { theta (a + 4m + b) +3 (1- theta) (a + b)} {6}}.}$

Если руководитель проекта предполагает, что бета-распределение симметрично при стандартных условиях PERT, тогда дисперсия равна

${ displaystyle operatorname {Var} (x) = { frac {(b-a) ^ {2} (3-2 theta)} {36}},}$

в то время как для асимметричного случая это

${ displaystyle operatorname {Var} (x) = { frac {(b-a) ^ {2} (3-2 theta ^ {2})} {36}}.}$

Теперь, когда неопределенность больше, дисперсия может быть увеличена. Однако бета-распределение может по-прежнему применяться в зависимости от мнения менеджера проекта.

Бета-прямоугольное распределение сравнивалось с равномерно-двусторонним распределением мощности и равномерно-обобщенным бипараболическим распределением в контексте управления проектами. Бета-прямоугольник показал большую дисперсию и меньший эксцесс по сравнению.^[3]

Распределение доходов

Бета-прямоугольное распределение сравнивалось с повышенным двусторонним распределением мощности при подборе данных о доходах в США.^[4] Было обнаружено, что пятипараметрическое повышенное двустороннее распределение мощности лучше подходит для некоторых субпопуляций, в то время как трехпараметрическое бета-прямоугольное распределение лучше подходит для других субпопуляций.

Рекомендации