Бета-отрицательное биномиальное распределение - Википедия - Beta negative binomial distribution

Бета-отрицательный биномиальный

Параметры	${ displaystyle alpha> 0}$ форма (настоящий ) ${ displaystyle beta> 0}$ форма (настоящий ) ${ displaystyle r> 0}$ - количество отказов до остановки эксперимента (целое число но может быть расширен до настоящий )
Поддерживать	k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
PMF	${ displaystyle { frac { Gamma (r + k)} {k! ; Gamma (r)}} { frac { mathrm {B} ( alpha + r, beta + k)} { mathrm {B} ( alpha, beta)}}}$
Иметь в виду	${ displaystyle { begin {case} { frac {r beta} { alpha -1}} & { text {if}} alpha> 1 infty & { text {else}} end {case}}}$
Дисперсия	${ displaystyle { begin {case} { frac {r ( alpha + r-1) beta ( alpha + beta -1)} {( alpha -2) {( alpha -1)} ^ {2}}} & { text {if}} alpha> 2 infty & { text {else}} end {case}}}$
Асимметрия	${ displaystyle { begin {case} { frac {( alpha + 2r-1) ( alpha +2 beta -1)} {( alpha -3) { sqrt { frac {r ( alpha + r-1) beta ( alpha + beta -1)} { alpha -2}}}}} & { text {if}} alpha> 3 infty & { text {иначе }} end {case}}}$
MGF	неопределенный
CF	${ Displaystyle { гидроразрыва { Gamma ( alpha + r) Gamma ( alpha + beta)} { Gamma ( alpha + beta + r) Gamma ( alpha)}} {} _ {2 } F_ {1} (r, beta; alpha + beta + r; e ^ {it}) !}$ куда ${ displaystyle Gamma}$ это гамма-функция и ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$ это гипергеометрическая функция.

В теория вероятности, а бета-отрицательное биномиальное распределение это распределение вероятностей из дискретный случайная переменная  Икс равно количеству отказов, необходимых для получения р успехов в последовательности независимый Бернулли испытания где вероятность п успеха в каждом испытании, будучи постоянным в рамках любого данного эксперимента, сам по себе является случайной величиной, следующей за бета-распространение, варьируясь между разными экспериментами. Таким образом, распределение является сложное распределение вероятностей.

Это распределение также называют обратное распределение Маркова-Полиа и обобщенное распределение Варинга.^[1] Сдвинутая форма распределения получила название бета-Паскаль распределение.^[1]

Если параметры бета-распределения равны α и β, и если

${ displaystyle X mid p sim mathrm {NB} (r, p),}$

куда

${ displaystyle p sim { textrm {B}} ( alpha, beta),}$

то предельное распределение Икс это бета-отрицательное биномиальное распределение:

${ displaystyle X sim mathrm {BNB} (r, alpha, beta).}$

Выше NB (р, п) это отрицательное биномиальное распределение и B (α, β) это бета-распространение.

Определение

Если ${ displaystyle r}$ является целым числом, то PMF можно записать в терминах бета-функция,:

${ Displaystyle е (к | альфа, бета, г) = { binom {г + к-1} {к}} { гидроразрыва { mathrm {B} ( альфа + г, бета + к) } { mathrm {B} ( alpha, beta)}}}$.

В более общем виде PMF можно записать

${ Displaystyle е (К | альфа, бета, г) = { гидроразрыва { Гамма (г + к)} {к! ; Гамма (г)}} { гидроразрыва { mathrm {B} ( alpha + r, beta + k)} { mathrm {B} ( alpha, beta)}}}$

или же

${ Displaystyle е (к | альфа, бета, г) = { гидроразрыва { mathrm {B} (г + к, альфа + бета)} { mathrm {B} (г, альфа)} } { frac { Gamma (k + beta)} {k! ; Gamma ( beta)}}}$.

PMF, выраженный с помощью гаммы

Используя свойства Бета-функция, PMF с целым числом ${ displaystyle r}$ можно переписать как:

${ Displaystyle е (к | альфа, бета, г) = { бином {г + к-1} {к}} { гидроразрыва { гамма ( альфа + г) гамма ( бета + к) Gamma ( alpha + beta)} { Gamma ( alpha + r + beta + k) Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}}}$.

В более общем виде PMF можно записать как

${ Displaystyle е (к | альфа, бета, r) = { гидроразрыва { Gamma (r + k)} {k! ; Gamma (r)}} { frac { Gamma ( alpha + r) Gamma ( beta + k) Gamma ( alpha + beta)} { Gamma ( alpha + r + beta + k) Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}}}$.

PMF выражается восходящим символом Покаммера

PMF часто также представляется в виде Символ Pochammer для целого числа ${ displaystyle r}$

${ Displaystyle е (к | альфа, бета, г) = { гидроразрыва {г ^ {(к)} альфа ^ {(г)} бета ^ {(к)}} {к! ( альфа + beta) ^ {(r)} (r + alpha + beta) ^ {(k)}}}}$

Характеристики

Неидентифицируемый

Бета-отрицательный бином неидентифицируемый что можно легко увидеть, просто поменяв местами ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle beta}$ в указанной плотности или характеристическая функция и отметив, что он не изменился.

Отношение к другим дистрибутивам

Бета-отрицательное биномиальное распределение содержит бета-геометрическое распределение как частный случай, когда ${ displaystyle r = 1}$. Следовательно, он может приблизить геометрическое распределение произвольно хорошо. Он также хорошо аппроксимирует отрицательное биномиальное распределение для больших ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$. Следовательно, он может приблизить распределение Пуассона произвольно хорошо для больших ${ displaystyle alpha}$, ${ displaystyle beta}$ и ${ displaystyle r}$.

Тяжелохвостый

К Приближение Стирлинга к бета-функции, легко показать, что

${ Displaystyle е (к | альфа, бета, г) сим { гидроразрыва { гамма ( альфа + г)} { гамма (г) mathrm {B} ( альфа, бета)}} { frac {k ^ {r-1}} {( beta + k) ^ {r + alpha}}}}$

откуда следует, что бета-отрицательное биномиальное распределение равно тяжелый хвост и это моменты меньше или равно ${ displaystyle alpha}$ не существует.

Смотрите также

• Отрицательное биномиальное распределение
• Отрицательное полиномиальное распределение Дирихле

Примечания

Рекомендации

• Jonhnson, N.L .; Kotz, S .; Кемп, А. (1993) Одномерные дискретные распределения, 2-е издание, Wiley ISBN  0-471-54897-9 (Раздел 6.2.3)
• Kemp, C.D .; Кемп, А. (1956) «Обобщенные гипергеометрические распределения., Журнал Королевского статистического общества, Series B, 18, 202–211
• Ван, Чжаолян (2011) «Одно смешанное отрицательное биномиальное распределение с приложением», Журнал статистического планирования и вывода, 141 (3), 1153-1160 Дои:10.1016 / j.jspi.2010.09.020

внешняя ссылка

• Интерактивная графика: Одномерные отношения распределения