Гауссово q-распределение - Gaussian q-distribution

В математическая физика и вероятность и статистика, то Гауссовский q-распределение это семья распределения вероятностей это включает, как предельные случаи, то равномерное распределение и нормальное (гауссово) распределение. Его представили Диас и Теруэль,^{[требуется разъяснение ]} это q-аналог гауссова или нормальное распределение.

Распределение симметрично относительно нуля и ограничено, за исключением предельного случая нормального распределения. Предельное равномерное распределение находится в диапазоне от -1 до +1.

Определение

Гауссова q-плотность.

Позволять q быть настоящий номер в интервале [0, 1). В функция плотности вероятности гауссовского q-распределение дается

${ displaystyle s_ {q} (x) = { begin {cases} 0 & { text {if}} x <- nu { frac {1} {c (q)}} E_ {q ^ { 2}} ^ { frac {-q ^ {2} x ^ {2}} {[2] _ {q}}} & { text {if}} - nu leq x leq nu 0 & { mbox {if}} x> nu. End {case}}}$

куда

${ displaystyle nu = nu (q) = { frac {1} { sqrt {1-q}}},}$

${ displaystyle c (q) = 2 (1-q) ^ {1/2} sum _ {m = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {m} q ^ {m ( m + 1)}} {(1-q ^ {2m + 1}) (1-q ^ {2}) _ {q ^ {2}} ^ {m}}}.}.}$

В q-аналог [т]_q реального числа ${ displaystyle t}$ дан кем-то

${ displaystyle [t] _ {q} = { frac {q ^ {t} -1} {q-1}}.}$

В q-аналог экспоненциальная функция это q-экспонента, E^Икс
_q, который задается

${ displaystyle E_ {q} ^ {x} = sum _ {j = 0} ^ { infty} q ^ {j (j-1) / 2} { frac {x ^ {j}} {[j ]!}}}$

где q-аналог факториал это q-факториал, [п]_q!, который, в свою очередь, задается

${ displaystyle [n] _ {q}! = [n] _ {q} [n-1] _ {q} cdots [2] _ {q} ,}$

для целого числа п > 2 и [1]_q! = [0]_q! = 1.

Кумулятивное гауссово q-распределение.

В кумулятивная функция распределения гауссовского q-распределение дается

${ displaystyle G_ {q} (x) = { begin {case} 0 & { text {if}} x <- nu [12pt] displaystyle { frac {1} {c (q)}} int _ {- nu} ^ {x} E_ {q ^ {2}} ^ {- q ^ {2} t ^ {2} / [2]} , d_ {q} t & { text {если }} - nu leq x leq nu [12pt] 1 & { text {if}} x> nu end {case}}}$

где интеграция символ обозначает Интеграл Джексона.

Функция грамм_q дается явно

${ displaystyle G_ {q} (x) = { begin {cases} 0 & { text {if}} x <- nu, displaystyle { frac {1} {2}} + { frac { 1-q} {c (q)}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {q ^ {n (n + 1)} (q-1) ^ {n}} {( 1-q ^ {2n + 1}) (1-q ^ {2}) _ {q ^ {2}} ^ {n}}} x ^ {2n + 1} & { text {if}} - nu leq x leq nu 1 & { text {if}} x> nu end {case}}}$

куда

${ displaystyle (a + b) _ {q} ^ {n} = prod _ {i = 0} ^ {n-1} (a + q ^ {i} b).}$

Моменты

В моменты гауссовского q-распределение дано

${ displaystyle { frac {1} {c (q)}} int _ {- nu} ^ { nu} E_ {q ^ {2}} ^ {- q ^ {2} x ^ {2} / [2]} , x ^ {2n} , d_ {q} x = [2n-1] !!,}$

${ displaystyle { frac {1} {c (q)}} int _ {- nu} ^ { nu} E_ {q ^ {2}} ^ {- q ^ {2} x ^ {2} / [2]} , x ^ {2n + 1} , d_ {q} x = 0,}$

где символ [2п - 1] !! это q-аналог двойной факториал данный

${ Displaystyle [2n-1] [2n-3] cdots [1] = [2n-1] !!. ,}$

Смотрите также

• Q-гауссовский процесс

Рекомендации

• Díaz, R .; Паригуан, Э. (2009). «О гауссовском q-распределении». Журнал математического анализа и приложений. 358: 1. arXiv:0807.1918. Дои:10.1016 / j.jmaa.2009.04.046.
• Diaz, R .; Теруэль, К. (2005). «q, k-обобщенные гамма- и бета-функции» (PDF). Журнал нелинейной математической физики. 12 (1): 118–134. arXiv:математика / 0405402. Bibcode:2005JNMP ... 12..118D. Дои:10.2991 / jnmp.2005.12.1.10.
• van Leeuwen, H .; Маассен, Х. (1995). "А q деформация распределения Гаусса " (PDF). Журнал математической физики. 36 (9): 4743. Bibcode:1995JMP .... 36,4743V. CiteSeerX  10.1.1.24.6957. Дои:10.1063/1.530917.
• Экстон, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения, Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, 1983, ISBN  0853124914, ISBN  0470274530, ISBN  978-0470274538