Интеграл Джексона - Jackson integral

В q-аналог теория, Интеграл Джексона серии в теории специальные функции который выражает операцию, обратную q-дифференцирование.

Интеграл Джексона был введен Фрэнк Хилтон Джексон. О методах численной оценки см. Экстон (1983) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFExton1983 (Помогите).

Определение

Позволять ж(Икс) быть функцией действительной переменной Икс. Интеграл Джексона ж определяется следующим разложением в ряд:

${displaystyle int f (x), {m {d}} _ {q} x = (1-q), xsum _ {k = 0} ^ {infty} q ^ {k} f (q ^ {k} x ).}$

В более общем смысле, если г(Икс) - другая функция и D_qг обозначает его q-производная, мы можем формально написать

${displaystyle int f (x), D_ {q} g, {m {d}} _ {q} x = (1-q), xsum _ {k = 0} ^ {infty} q ^ {k} f ( q ^ {k} x), D_ {q} g (q ^ {k} x) = (1-q), xsum _ {k = 0} ^ {infty} q ^ {k} f (q ^ {k } x) {гидроразрыв {g (q ^ {k} x) -g (q ^ {k + 1} x)} {(1-q) q ^ {k} x}},}$ или

${displaystyle int f (x), {m {d}} _ {q} g (x) = sum _ {k = 0} ^ {infty} f (q ^ {k} x) cdot (g (q ^ { k} x) -g (q ^ {k + 1} x)),}$

давая q-аналог Интеграл Римана – Стилтьеса..

Интеграл Джексона как q-первообразная

Так же, как обычный первообразный из непрерывная функция может быть представлена Интеграл Римана, можно показать, что интеграл Джексона дает единственное q-антипроизводная в рамках определенного класса функций (см. ^[1]).

Теорема

Предположим, что ${displaystyle 0$ Если ${displaystyle | f (x) x ^ {alpha} |}$ ограничена на интервале ${displaystyle [0, A)}$ для некоторых ${displaystyle 0leq alpha <1,}$ то интеграл Джексона сходится к функции ${displaystyle F (x)}$ на ${displaystyle [0, A)}$ который является q-антипроизводное ${displaystyle f (x).}$ Более того, ${displaystyle F (x)}$ непрерывно на ${displaystyle x = 0}$ с участием ${displaystyle F (0) = 0}$ и является уникальным производным от ${displaystyle f (x)}$ в этом классе функций.^[2]

Заметки

использованная литература

• Виктор Кац, Покман Чунг, Квантовое исчисление, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN  0-387-95341-8
• Джексон Ф. Х (1904), "Обобщение функций Γ (n) и x_п", Proc. R. Soc. 74 64–72.
• Джексон F H (1910), "О q-определенных интегралах", Q. J. Pure Appl. Математика. 41 193–203.
• Exton, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения, Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, ISBN  0853124914, ISBN  0470274530, ISBN  978-0470274538

Эта математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.