Распределение гиперболического секанса - Hyperbolic secant distribution

гиперболический секанс

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	никто
Поддержка	${ Displaystyle х в (- infty; + infty) !}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} {2}} ; operatorname {sech} ! left ({ frac { pi} {2}} , x right) !}$
CDF	${ displaystyle { frac {2} { pi}} arctan ! left [ exp ! left ({ frac { pi} {2}} , x right) right] ! }$
Значить	${ displaystyle 0}$
Медиана	${ displaystyle 0}$
Режим	${ displaystyle 0}$
Дисперсия	${ displaystyle 1}$
Асимметрия	${ displaystyle 0}$
Ex. эксцесс	${ displaystyle 2}$
Энтропия	4/π K ${ displaystyle ; приблизительно 1.16624}$
MGF	${ Displaystyle сек (т) !}$ для ${ Displaystyle | т | <{ гидроразрыва { pi} {2}} !}$
CF	${ displaystyle operatorname {sech} (т) !}$ для ${ Displaystyle | т | <{ гидроразрыва { pi} {2}} !}$

В теория вероятности и статистика, то гиперболическое секущее распределение является непрерывным распределение вероятностей чья функция плотности вероятности и характеристическая функция пропорциональны гиперболическая секущая функция. Гиперболическая секущая функция эквивалентна обратной гиперболический косинус, поэтому это распределение также называют обратное распределение.

Обобщение распределения приводит к Распределение Мейкснера, также известный как Естественное экспоненциальное семейство - обобщенный гиперболический секанс или Распределение NEF-GHS.

Объяснение

А случайная переменная следует гиперболическому секущему распределению, если его функция плотности вероятности (pdf) может быть связана со следующей стандартной формой функции плотности посредством преобразования местоположения и сдвига:

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2}} ; operatorname {sech} ! left ({ frac { pi} {2}} , x right) !, }$

где "sech" обозначает функцию гиперболического секанса. кумулятивная функция распределения (cdf) стандартного дистрибутива - это масштабированная и сдвинутая версия Функция Гудермана,

${ displaystyle F (x) = { frac {1} {2}} + { frac {1} { pi}} arctan ! left [ operatorname {sinh} ! left ({ frac { pi} {2}} , x right) right] !,}$

${ displaystyle = { frac {2} { pi}} arctan ! left [ exp left ({ frac { pi} {2}} , x right) right] !. }$

где "арктан" - это обратная (круговая) касательная функция Обратный cdf (или квантильная функция) равен

${ displaystyle F ^ {- 1} (p) = - { frac {2} { pi}} , operatorname {arcsinh} ! left [ cot ( pi , p) right] !,}$

${ displaystyle = { frac {2} { pi}} , ln ! left [ tan left ({ frac { pi} {2}} , p right) right] !.}$

где "arcsinh" - это функция обратного гиперболического синуса а "раскладушка" - это (круговая) функция котангенса.

Распределение гиперболического секанса имеет много общих свойств со стандартным нормальное распределение: симметричен единице отклонение и ноль значить, медиана и Режим, а его pdf пропорционален его характеристической функции. Однако распределение гиперболического секанса лептокуртика; то есть у него более острый пик около своего среднего значения и более тяжелые хвосты по сравнению со стандартным нормальным распределением.

Джонсон и др. (1995)^[1](p147) помещает это распределение в контекст класса обобщенных форм логистическая дистрибуция, но используйте другую параметризацию стандартного распределения, чем здесь. Дин (2014)^[2] показывает три случая распределения гиперболического секанса в статистическом моделировании и выводе.

Обобщения

Свертка

Учитывая (масштабированную) сумму ${ displaystyle r}$ независимые и одинаково распределенные случайные величины с гиперболическим секансом:

${ displaystyle X = { frac {1} { sqrt {r}}} ; (X_ {1} + X_ {2} + ; ... ; + X_ {r})}$

тогда в пределе ${ Displaystyle г к infty}$ распределение ${ displaystyle X}$ будет стремиться к нормальному распределению ${ Displaystyle N (0,1)}$, в соответствии с Центральная предельная теорема.

Это позволяет определить удобное семейство распределений со свойствами, промежуточными между гиперболическим секансом и нормальным распределением, управляемым параметром формы. ${ displaystyle r}$, который может быть расширен до нецелочисленных значений с помощью характеристическая функция

${ displaystyle varphi (t) = { big (} operatorname {sech} (t / { sqrt {r}}) { big)} ^ {r}}$

Моменты можно легко вычислить по характеристической функции. Избыток эксцесс оказывается ${ displaystyle 2 / r}$.

Перекос

А перекошенный форму распределения можно получить, умножив на экспоненциальную ${ Displaystyle е ^ { тета х}, | { тета} | <{ pi} / 2}$ и нормализуя, чтобы дать распределение

${ displaystyle f (x) = cos theta ; { frac {e ^ { theta x}} {2 operatorname {cosh} ({ frac { pi x} {2}})}}}$

где значение параметра ${ displaystyle theta = 0}$ соответствует исходной раздаче.

Расположение и масштаб

Распределение (и его обобщения) также можно тривиально сдвинуть и масштабировать обычным способом, чтобы получить соответствующее семья в масштабе местности

Все вышеперечисленное

Разрешение всех четырех вышеперечисленных настроек дает распределение с четырьмя параметрами, управляющими формой, перекосом, положением и масштабом соответственно, которые называются либо Распределение Мейкснера^[3] после Йозеф Мейкснер кто первым исследовал семью, или Распределение NEF-GHS (Естественная экспоненциальная семья - Распределение обобщенного гиперболического секанса).

Лосев (1989) независимо изучил асимметричную (наклонную) кривую ${ displaystyle h (x) = { frac {1} { exp (-ax) + exp (bx)}}}$, который использует всего два параметра ${ displaystyle a, b}$. Они должны быть как положительными, так и отрицательными, с ${ displaystyle a = b}$ будучи секансом, и ${ Displaystyle ч (х) ^ {г}}$ являясь его дальнейшей видоизмененной формой.^[4]

В финансовая математика Распределение Мейкснера использовалось для моделирования негауссовского движения цен акций с приложениями, включая ценообразование опционов.

использованная литература

• Батен, В. Д. (1934). "Вероятностный закон для суммы п независимые переменные, каждая из которых подчиняется закону ${ displaystyle (2h) ^ {- 1} operatorname {sech} ( pi x / 2h)}$". Бюллетень Американского математического общества. 40 (4): 284–290. Дои:10.1090 / S0002-9904-1934-05852-X.
• Талацко, Дж. (1956). «Распределения привилегий и их роль в теории стохастических переменных Винера». Trabajos de Estadistica. 7 (2): 159–174. Дои:10.1007 / BF03003994.
• Деврой, Люк (1986). Неравномерная генерация случайных переменных. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Раздел IX.7.2.
• Смит, Г.К. (1994). «Заметка о моделировании взаимных корреляций: гиперболическая секущая регрессия» (PDF). Биометрика. 81 (2): 396–402. Дои:10.1093 / biomet / 81.2.396.
• Маттиас Дж. Фишер (2013), Обобщенные гиперболические секущие распределения: с приложениями к финансам, Springer. ISBN  3642451381. Google Книги