Функция Гудермана - Gudermannian function

График функции Гудермана

В Функция Гудермана, названный в честь Кристоф Гудерманн (1798–1852) связывает круговые функции и гиперболические функции без явного использования сложные числа.

Он определен для всех Икс к^[1][2][3]

${ displaystyle operatorname {gd} x = int _ {0} ^ {x} { frac {1} { cosh t}} , dt.}$

 

Характеристики

Альтернативные определения

${ displaystyle { begin {align} operatorname {gd} x & = arcsin left ( tanh x right) = arctan ( sinh x) = operatorname {arccsc} ( coth x) & = operatorname {sgn} (x) cdot arccos left ( operatorname {sech} x right) = operatorname {sgn} (x) cdot operatorname {arcsec} ( cosh x) & = 2 arctan left [ tanh left ({ tfrac {1} {2}} x right) right] & = 2 arctan (e ^ {x}) - { tfrac {1} {2 }} пи. конец {выровнено}}}$

Некоторые личности

${ displaystyle { begin {align} sin ( operatorname {gd} x) = tanh x; quad & csc ( operatorname {gd} x) = coth x; cos ( operatorname { gd} x) = operatorname {sech} x; quad & sec ( operatorname {gd} x) = cosh x; tan ( operatorname {gd} x) = sinh x; quad & cot ( operatorname {gd} x) = operatorname {csch} x; tan left ({ tfrac {1} {2}} operatorname {gd} x right) = tanh left ( { tfrac {1} {2}} x right). end {align}}}$

Обратный

График обратной функции Гудермана

${ displaystyle { begin {align} operatorname {gd} ^ {- 1} x & = int _ {0} ^ {x} { frac {1} { cos t}} , dt qquad - pi / 2$

(Видеть обратные гиперболические функции.)

Некоторые личности

${ displaystyle { begin {align} sinh ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = tan x; quad & operatorname {csch} ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = cot x; cosh ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = sec x; quad & operatorname {sech} ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = cos x; tanh ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = sin x; quad & coth ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = csc x. end {выровнено}}}$

Производные

${ displaystyle { frac {d} {dx}} operatorname {gd} x = operatorname {sech} x; quad { frac {d} {dx}} ; operatorname {gd} ^ {- 1 } x = sec x.}$

История

Функция была введена Иоганн Генрих Ламберт в 1760-х годах одновременно с гиперболические функции. Он назвал его «трансцендентным углом», и он носил различные названия до 1862 года, когда Артур Кэли предложил дать ему нынешнее название как дань уважения работам Гудермана в 1830-х годах по теории специальных функций.^[4] Гудерманн опубликовал статьи в Журнал Крелля которые были собраны в Theorie der Potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen Functionen (1833), книга, в которой грех и шиш широкой аудитории (под видом ${ displaystyle { mathfrak {Sin}}}$ и ${ Displaystyle { mathfrak {Cos}}}$).

Обозначение б-г был представлен Кэли^[5] где он начинает с звонка gd. ты противоположность интеграл секущей функции:

${ displaystyle u = int _ {0} ^ { phi} sec t , dt = ln left ( tan left ({ tfrac {1} {4}} pi + { tfrac { 1} {2}} phi right) right)}$

а затем выводит «определение» трансцендентного:

${ displaystyle operatorname {gd} u = i ^ {- 1} ln left ( tan left ({ tfrac {1} {4}} pi + { tfrac {1} {2}} ui верно-верно)}$

сразу заметив, что это реальная функция ты.

Приложения

• В угол параллельности функционировать в гиперболическая геометрия определяется

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} pi - operatorname {gd} x}$

• На Проекция Меркатора линия постоянной широты параллельна экватору (на проекции) и смещена на величину, пропорциональную обратному гудерманиану широты.
• Гудерманиан (со сложным аргументом) может использоваться в определении поперечная проекция Меркатора.^[6]

• Гудерманиан появляется в непериодическом решении задачи перевернутый маятник.^[7]

• Гудерманиан также появляется в решении динамической Эффект Казимира.^[8]

Смотрите также

• Распределение гиперболического секанса
• Проекция Меркатора
• Формула касательного полуугла
• Tractrix
• Тригонометрическая идентичность

Рекомендации