Интеграл секущей функции - Википедия - Integral of the secant function

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  (обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Товар Цепь Мощность Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный интеграл  (неподходящий ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Замена  (тригонометрический, Weierstrass, Эйлер ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла
Серии Геометрический  (арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Мощность Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Глоссарий исчисления Глоссарий исчисления Список тем по математике

В расчетах интеграл секущей функции могут быть оценены с использованием различных методов, и существует несколько способов выражения первообразной, все из которых можно показать как эквивалентные с помощью тригонометрических тождеств,

${ displaystyle int sec theta , d theta = { begin {case} { dfrac {1} {2}} ln left | { dfrac {1+ sin theta} {1- sin theta}} right | + C [15pt] ln left | sec theta + tan theta right | + C [15pt] ln left | tan left ( { dfrac { theta} {2}} + { dfrac { pi} {4}} right) right | + C end {case}}}$

Эта формула полезна для вычисления различных тригонометрических интегралов. В частности, его можно использовать для оценки интеграл секущей функции в кубе, который, несмотря на кажущуюся особенность, довольно часто встречается в приложениях.^[1]

Доказательство эквивалентности различных первообразных

Тригонометрические формы

${ displaystyle int sec theta , d theta = left {{ begin {array} {l} { dfrac {1} {2}} ln left | { dfrac {1+ sin theta} {1- sin theta}} right | + C [15pt] ln left | sec theta + tan theta right | + C [15pt] ln left | tan left ({ dfrac { theta} {2}} + { dfrac { pi} {4}} right) right | + C end {array}} right } { текст {(эквивалентные формы)}}}$

Второй из них следует из первого умножения верхней и нижней части внутренней дроби на ${ Displaystyle (1+ грех тета)}$. Это дает ${ Displaystyle 1- грех ^ {2} тета = соз ^ {2} тета}$ в знаменателе, и результат следует путем перенесения множителя 1/2 в логарифм как квадратный корень. Оставив пока константу интегрирования,

${ displaystyle { begin {align} { dfrac {1} {2}} ln left | { dfrac {1+ sin theta} {1- sin theta}} right | & = { dfrac {1} {2}} ln left | { dfrac {1+ sin theta} {1- sin theta}} cdot { dfrac {1+ sin theta} {1+ sin theta}} right | = { dfrac {1} {2}} ln left | { dfrac {(1+ sin theta) ^ {2}} {1- sin ^ {2 } theta}} right | = { dfrac {1} {2}} ln left | { dfrac {(1+ sin theta) ^ {2}} { cos ^ {2} theta }} right | [6pt] & = { dfrac {1} {2}} ln left ({ dfrac {1+ sin theta} { cos theta}} right) ^ { 2} = ln { sqrt { left ({ dfrac {1+ sin theta} { cos theta}} right) ^ {2}}} = ln left | { dfrac {1 + sin theta} { cos theta}} right | = ln | sec theta + tan theta |. end {выравнивается}}}$

Третья форма следует заменой ${ Displaystyle грех тета}$ к ${ Displaystyle - соз ( тета + пи / 2)}$ и расширение с помощью идентичности за ${ displaystyle cos 2x}$. Его также можно получить напрямую, выполнив следующие замены:

${ displaystyle { begin {align} sec theta = { frac {1} { sin left ( theta + { dfrac { pi} {2}} right)}} = { frac { 1} {2 sin left ({ dfrac { theta} {2}} + { dfrac { pi} {4}} right) cos left ({ dfrac { theta} {2} } + { dfrac { pi} {4}} right)}} = { frac { sec ^ {2} left ({ dfrac { theta} {2}} + { dfrac { pi } {4}} right)} {2 tan left ({ dfrac { theta} {2}} + { dfrac { pi} {4}} right)}}. End {выравнивается} }}$

Традиционное решение для Проекция Меркатора ординату можно писать без знаков модуля, так как широта ${ displaystyle varphi}$ лежит между ${ displaystyle - { frac { pi} {2}}}$ и ${ displaystyle { frac { pi} {2}}}$,

${ displaystyle y = ln tan ! left ({ frac { varphi} {2}} + { frac { pi} {4}} right).}$

Гиперболические формы

Позволять

${ Displaystyle { begin {align} psi & = ln ( sec theta + tan theta), e ^ { psi} & = sec theta + tan theta, sinh psi & = { frac {1} {2}} (e ^ { psi} -e ^ {- psi}) = tan theta, cosh psi & = { sqrt {1 + sinh ^ {2} psi}} = sec theta, tanh psi & = sin theta. end {align}}}$

Следовательно,

${ Displaystyle { begin {align} int sec theta , d theta & = psi = tanh ^ {- 1} ! left ( sin theta right) = sinh ^ {- 1} ! Left ( tan theta right) = cosh ^ {- 1} ! Left ( sec theta right). End {выравнивается}}}$

История

Интеграл от секущей функции был одной из «нерешенных открытых проблем середины семнадцатого века», решенной в 1668 г. Джеймс Грегори.^[2] Он применил свой результат к задаче о навигационных таблицах.^[1] В 1599 г. Эдвард Райт оценил интеграл к численные методы - что сегодня мы бы назвали Суммы Римана.^[3] Он хотел решение для целей картография - специально для построения точного Проекция Меркатора.^[2] В 1640-х годах Генри Бонд, учитель навигации, геодезии и других математических дисциплин, сравнил численно вычисленную таблицу Райта значений интеграла секущий с таблицей логарифмов касательной функции, и, следовательно, предположил, что^[2]

${ displaystyle int _ {0} ^ { theta} sec theta , d theta = ln left | tan left ({ frac { theta} {2}} + { frac { pi} {4}} right) right |.}$

Эта гипотеза получила широкую известность, и в 1665 г. Исаак Ньютон знал об этом.^[4][5]

Оценки

Стандартной заменой (подход Грегори)

Стандартный метод вычисления секущего интеграла, представленный в различных источниках, включает в себя умножение числителя и знаменателя на ${ Displaystyle сек тета + загар тета}$ а затем подставив в полученное выражение следующее: ${ Displaystyle и = сек тета + загар тета}$ и ${ Displaystyle ду = ( сек тета загар тета + сек ^ {2} тета) , д тета}$.^[6][7] Эта замена может быть получена путем сложения производных секущей и касательной, у которых секущая является общим множителем.^[8]

Начиная с

${ displaystyle { frac {d} {d theta}} sec theta = sec theta tan theta quad { text {and}} quad { frac {d} {d theta} } tan theta = sec ^ {2} theta,}$

добавление их дает

${ displaystyle { frac {d} {d theta}} ( sec theta + tan theta) = sec theta tan theta + sec ^ {2} theta = sec theta ( tan theta + sec theta).}$

Таким образом, производная от суммы равна сумме, умноженной на ${ displaystyle sec theta}$. Это позволяет умножать ${ displaystyle sec theta}$ к ${ Displaystyle сек тета + загар тета}$ в числителе и знаменателе и произведя следующие замены: ${ Displaystyle и = сек тета + загар тета}$ и ${ Displaystyle ду = ( сек тета загар тета + сек ^ {2} тета) , д тета}$.

Интеграл вычисляется следующим образом:

${ Displaystyle { begin {align} int sec theta , d theta & = int { frac { sec theta ( sec theta + tan theta)} { sec theta + tan theta}} , d theta [6pt] & = int { frac {( sec ^ {2} theta + sec theta tan theta) , d theta} { sec theta + tan theta}} && u = sec theta + tan theta [6pt] & = int { frac {du} {u}} && du = ( sec theta tan theta + sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = ln | u | + C = ln | sec theta + tan theta | + C, end {выровнено}}}$

как заявлено. Эту формулу открыл Джеймс Грегори.^[1]

Частичными дробями и заменой (подход Барроу)

Хотя Григорий доказал гипотезу в 1668 г. Геометрические упражнениядоказательство было представлено в форме, которая делает его почти невозможным для понимания современного читателя; Исаак Барроу, в его Геометрические лекции 1670 г.,^[9] дал первое «вразумительное» доказательство, хотя даже оно было «сформулировано в геометрической идиоме того времени».^[2] Доказательство результата Барроу было самым ранним использованием частичные фракции в интеграции.^[2] Доказательство Барроу, адаптированное к современным обозначениям, начиналось следующим образом:

${ displaystyle int sec theta , d theta = int { frac {d theta} { cos theta}} = int { frac { cos theta , d theta} { cos ^ {2} theta}} = int { frac { cos theta , d theta} {1- sin ^ {2} theta}}}$

Подстановка ${ displaystyle u}$ за ${ Displaystyle грех тета}$ сводит интеграл к

${ displaystyle { begin {align} int { frac {du} {1-u ^ {2}}} & = int { frac {du} {(1 + u) (1-u)}} = { dfrac {1} {2}} int left ({ frac {1} {1 + u}} + { frac {1} {1-u}} right) , du [ 10pt] & = { frac {1} {2}} left ( ln left | 1 + u right | - ln left | 1-u right | right) + C = { frac { 1} {2}} ln left | { frac {1 + u} {1-u}} right | + C end {align}}}$

Следовательно,

${ displaystyle int sec theta , d theta = { frac {1} {2}} ln left | { frac {1+ sin theta} {1- sin theta}} right | + C,}$

как и ожидалось.

Подстановкой Вейерштрасса

Стандарт

Формулы для Замена Вейерштрасса являются следующими. Позволять ${ Displaystyle т = загар ( тета / 2)}$, куда ${ Displaystyle - пи < тета < пи}$. потом^[10]

${ displaystyle sin left ({ frac { theta} {2}} right) = { frac {t} { sqrt {1 + t ^ {2}}}} qquad { text {и }} qquad cos left ({ frac { theta} {2}} right) = { frac {1} { sqrt {1 + t ^ {2}}}}.}.$

Следовательно,

${ displaystyle sin theta = { frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, qquad cos theta = { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ { 2}}}, qquad { text {and}} qquad d theta = { frac {2} {1 + t ^ {2}}} , dt,}$

по формулам двойного угла. Что касается интеграла от секущей функции,

${ Displaystyle { begin {align} int sec theta , d theta & = int { frac {d theta} { cos theta}} = int { frac {1 + t ^ {2}} {1-t ^ {2}}} { frac {2} {1 + t ^ {2}}} dt && t = tan { frac { theta} {2}} [6pt] & = int { frac {2 , dt} {1-t ^ {2}}} = int { frac {2 , dt} {(1-t) (1 + t)}} [6pt] & = int 2 left [{ frac {1} {2 (1 + t)}} + { frac {1} {2 (1-t)}} right] dt && { text { разложение на частичную дробь}} [6pt] & = int left ({ frac {1} {t + 1}} - { frac {1} {t-1}} right) dt [6pt ] & = ln | t + 1 | - ln | t-1 | + C = ln left | { frac {t + 1} {t-1}} right | + C [6pt] & = ln left | { frac {t + 1} {t-1}} cdot { frac {t + 1} {t + 1}} right | + C = ln left | { frac {t ^ {2} + 2t + 1} {t ^ {2} -1}} right | + C [6pt] & = ln left | { frac {t ^ {2} +1 } {t ^ {2} -1}} + { frac {2t} {t ^ {2} -1}} right | + C = ln left | { frac {t ^ {2} +1 } {t ^ {2} -1}} + { frac {2t} {t ^ {2} -1}} cdot { frac {t ^ {2} +1} {t ^ {2} +1 }} right | + C [6pt] & = ln left | { frac {t ^ {2} +1} {t ^ {2} -1}} + { frac {2t} {t ^ {2} +1}} cdot { frac {t ^ {2} +1} {t ^ {2} -1}} right | + C [6pt] & = ln left | { frac {1} { cos theta}} + sin theta cdot { frac {1} { cos theta}} right | + C = ln | se c theta + tan theta | + C, end {align}}}$

как прежде.

Нестандартный

Интеграл также может быть получен с помощью несколько нестандартной версии подстановки Вейерштрасса, которая проще в случае этого конкретного интеграла, опубликованного в 2013 г.^[11] как следует:

${ displaystyle { begin {align} & x = tan left ({ frac { pi} {4}} + { frac { theta} {2}} right) [10pt] & { frac {2x} {1 + x ^ {2}}} = 2 sin left ({ frac { pi} {4}} + { frac { theta} {2}} right) cos left ({ frac { pi} {4}} + { frac { theta} {2}} right) = sin left ({ frac { pi} {2}} + theta right ) = cos theta [10pt] & dx = { frac {1} {2}} sec ^ {2} left ({ frac { pi} {4}} + { frac { theta } {2}} right) d theta = { frac {1} {2}} (1 + x ^ {2}) d theta [10pt] & { frac {2 , dx} { 1 + x ^ {2}}} = d theta [10pt] int sec theta , d theta & = int left ({ frac {1 + x ^ {2}} {2x }} right) left ({ frac {2} {1 + x ^ {2}}} right) , dx = int { frac {dx} {x}} = ln | x | + C = ln left | tan left ({ frac { pi} {4}} + { frac { theta} {2}} right) right | + C. End {align}} }$

Гудермановский и ламбертианский

Интеграл от секущей функции определяет функцию Ламберта, которая является обратной функцией Функция Гудермана:

${ displaystyle int sec theta , d theta = operatorname {lam} ( theta) = operatorname {gd} ^ {- 1} ( theta).}$

Это встречается в теории картографических проекций: Проекция Меркатора точки с долготой θ и широта φ может быть написано^[12] в качестве:

${ displaystyle (x, y) = ( theta, operatorname {lam} ( varphi)).}$

Смотрите также

• Интеграл секущей в кубе
• Функция Гудермана

Рекомендации