Тождества векторного исчисления - Vector calculus identities

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Август 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Следующее важно идентичности с производными и интегралами от векторное исчисление.

Обозначение оператора

Градиент

Для функции ${ displaystyle f (x, y, z)}$ в трехмерном Декартова координата переменных, градиент - это векторное поле:

${ displaystyle operatorname {grad} (f) = nabla f = { begin {pmatrix} { frac { partial} { partial x}}, { frac { partial} { partial y}} , { frac { partial} { partial z}} end {pmatrix}} f = { frac { partial f} { partial x}} mathbf {i} + { frac { partial f } { partial y}} mathbf {j} + { frac { partial f} { partial z}} mathbf {k}}$

куда я, j, k являются стандарт единичные векторы для Икс, у, z-акси. В более общем смысле, для функции п переменные ${ Displaystyle psi (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$, также называемый скаляр поле, градиент - это векторное поле:

${ displaystyle nabla psi = { begin {pmatrix} { frac { partial} { partial x_ {1}}}, ldots, { frac { partial} { partial x_ {n}} } end {pmatrix}} psi = { frac { partial psi} { partial x_ {1}}} mathbf {e} _ {1} + ldots + { frac { partial psi} { partial x_ {n}}} mathbf {e} _ {n}.}$

куда ${ Displaystyle mathbf {е} _ {я}}$ ортогональные единичные векторы в произвольных направлениях.

Для векторного поля ${ Displaystyle mathbf {A} = left (A_ {1}, ldots, A_ {n} right)}$ записывается как 1 × п вектор-строка, также называемый тензорным полем порядка 1, градиентом или ковариантная производная это п × п Матрица якобиана:

${ displaystyle nabla ! mathbf {A} = mathbf {J} _ { mathbf {A}} = left ({ frac { partial A_ {i}} { partial x_ {j}}} right) _ {! ij}.}$

Для тензорное поле ${ displaystyle mathbf {A}}$ любого порядка k, градиент ${ Displaystyle OperatorName {grad} ( mathbf {A}) = nabla ! mathbf {A}}$ тензорное поле порядка k + 1.

Расхождение

В декартовых координатах расхождение непрерывно дифференцируемый векторное поле ${ Displaystyle mathbf {F} = F_ {x} mathbf {i} + F_ {y} mathbf {j} + F_ {z} mathbf {k}}$ - скалярная функция:

${ displaystyle operatorname {div} mathbf {F} = nabla cdot mathbf {F} = { begin {pmatrix} { frac { partial} { partial x}}, { frac { partial} { partial y}}, { frac { partial} { partial z}} end {pmatrix}} cdot { begin {pmatrix} F_ {x}, F_ {y}, F_ {z} end {pmatrix}} = { frac { partial F_ {x}} { partial x}} + { frac { partial F_ {y}} { partial y}} + { frac { partial F_ {z}} { partial z}}.}$

Дивергенция тензорное поле ${ displaystyle mathbf {A}}$ ненулевого порядка k записывается как ${ displaystyle operatorname {div} ( mathbf {A}) = nabla cdot mathbf {A}}$, а сокращение в тензорное поле порядка k - 1. В частности, дивергенция вектора является скаляром. Дивергенция тензорного поля более высокого порядка может быть найдена путем разложения тензорного поля на сумму внешних произведений и использования тождества

${ displaystyle nabla cdot left ( mathbf {B} otimes { hat { mathbf {A}}} right) = { hat { mathbf {A}}} ( nabla cdot mathbf {B}) + ( mathbf {B} cdot nabla) { hat { mathbf {A}}}}$

куда ${ Displaystyle mathbf {B} cdot nabla}$ это производная по направлению в направлении ${ displaystyle mathbf {B}}$ умноженное на его величину. В частности, для внешнего произведения двух векторов,

${ displaystyle nabla cdot left ( mathbf {b} mathbf {a} ^ { mathsf {T}} right) = mathbf {a} left ( nabla cdot mathbf {b} right) + left ( mathbf {b} cdot nabla right) mathbf {a}.}$

Завиток

В декартовых координатах для ${ Displaystyle mathbf {F} = F_ {x} mathbf {i} + F_ {y} mathbf {j} + F_ {z} mathbf {k}}$ локон - это векторное поле:

${ displaystyle operatorname {curl} mathbf {F} = nabla times mathbf {F} = { begin {pmatrix} { frac { partial} { partial x}}, { frac { partial} { partial y}}, { frac { partial} { partial z}} end {pmatrix}} times { begin {pmatrix} F_ {x}, F_ {y}, F_ {z} end {pmatrix}} = left | { begin {matrix} mathbf {i} & mathbf {j} & mathbf {k} { frac { partial} { partial x} } & { frac { partial} { partial y}} & { frac { partial} { partial z}} F_ {x} & F_ {y} & F_ {z} end {matrix}} right | = left ({ frac { partial F_ {z}} { partial y}} - { frac { partial F_ {y}} { partial z}} right) mathbf {i} + left ({ frac { partial F_ {x}} { partial z}} - { frac { partial F_ {z}} { partial x}} right) mathbf {j} + left ( { frac { partial F_ {y}} { partial x}} - { frac { partial F_ {x}} { partial y}} right) mathbf {k}}$

куда я, j, и k являются единичные векторы для Икс-, у-, и z-axes соответственно. В Обозначения Эйнштейна, векторное поле ${ displaystyle mathbf {F} = { begin {pmatrix} F_ {1} & F_ {2} & F_ {3} end {pmatrix}}}$ имеет завиток, полученный:

${ displaystyle nabla times mathbf {F} = varepsilon ^ {ijk} mathbf {e} _ {i} { frac { partial F_ {k}} { partial x ^ {j}}}}$

куда ${ displaystyle varepsilon}$ = ± 1 или 0 - это Символ паритета Леви-Чивита.

Лапласиан

В Декартовы координаты, лапласиан функции ${ displaystyle f (x, y, z)}$ является

${ displaystyle Delta f = nabla ^ {2} ! f = ( nabla cdot nabla) f = { frac { partial ^ {2} ! f} { partial x ^ {2}} } + { frac { partial ^ {2} ! f} { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} ! f} { partial z ^ {2}} }.}$

Для тензорное поле, ${ displaystyle mathbf {A}}$, лапласиан обычно записывается как:

${ Displaystyle Delta mathbf {A} = nabla ^ {2} ! mathbf {A} = ( nabla cdot nabla) mathbf {A}}$

и - тензорное поле того же порядка.

Когда лапласиан равен 0, функция называется Гармоническая функция. То есть,

${ displaystyle Delta f = 0}$

Особые обозначения

В Обозначение индекса Фейнмана,

${ displaystyle nabla _ { mathbf {B}} ! left ( mathbf {A { cdot} B} right) = mathbf {A} { times} ! left ( nabla { раз} mathbf {B} right) + left ( mathbf {A} { cdot} nabla right) mathbf {B}}$

где обозначение ∇_B означает, что индексированный градиент действует только на фактор B.^[1][2]

Менее общий, но похожий Hestenes обозначение точки в геометрическая алгебра.^[3] Вышеупомянутая идентичность затем выражается как:

${ displaystyle { dot { nabla}} left ( mathbf {A} { cdot} { dot { mathbf {B}}} right) = mathbf {A} { times} ! слева ( nabla { times} mathbf {B} right) + left ( mathbf {A} { cdot} nabla right) mathbf {B}}$

где точки определяют объем производной вектора. Пунктирный вектор, в данном случае B, дифференцируется, а (без точек) А остается неизменным.

В оставшейся части этой статьи, где это уместно, будет использоваться индекс Фейнмана.

Первые производные тождества

Для скалярных полей ${ displaystyle psi}$, ${ displaystyle phi}$ и векторные поля ${ displaystyle mathbf {A}}$, ${ displaystyle mathbf {B}}$, имеем следующие производные тождества.

Распределительные свойства

${ Displaystyle { begin {align} nabla ( psi + phi) & = nabla psi + nabla phi nabla ( mathbf {A} + mathbf {B}) & = nabla mathbf {A} + nabla mathbf {B} nabla cdot ( mathbf {A} + mathbf {B}) & = nabla { cdot} mathbf {A} + nabla cdot mathbf {B} nabla times ( mathbf {A} + mathbf {B}) & = nabla times mathbf {A} + nabla times mathbf {B} end {выровнено} }}$

Правило произведения для умножения на скаляр

Имеются следующие обобщения правило продукта в одной переменной исчисление.

${ Displaystyle { begin {align} nabla ( psi phi) & = phi , nabla psi + psi , nabla phi набла ( psi mathbf {A}) & = ( nabla psi) ^ { mathbf {T}} mathbf {A} + psi nabla mathbf {A} = nabla psi otimes mathbf {A} + psi , набла mathbf {A} nabla cdot ( psi mathbf {A}) & = psi , nabla { cdot} mathbf {A} + ( nabla psi) , { cdot } mathbf {A} nabla { times} ( psi mathbf {A}) & = psi , nabla { times} mathbf {A} + ( nabla psi) { times } mathbf {A} nabla ^ {2} (fg) & = f , nabla ^ {2 !} g + 2 , nabla ! f cdot ! nabla g + g , nabla ^ {2 !} е конец {выровнено}}}$

Во второй формуле транспонированный градиент ${ Displaystyle ( набла пси) ^ { mathbf {T}}}$ является п × 1 вектор-столбец, ${ displaystyle mathbf {A}}$ является 1 × п вектор-строка, а их произведение - п × п матрица (точнее, диада ); Это также можно рассматривать как тензорное произведение ${ displaystyle otimes}$ двух векторов, или ковектора и вектора.

Правило частного деления на скаляр

${ Displaystyle { begin {align} nabla left ({ frac { psi} { phi}} right) & = { frac { phi , nabla psi - psi , nabla phi} { phi ^ {2}}} [1em] nabla cdot left ({ frac { mathbf {A}} { phi}} right) & = { frac { phi , nabla { cdot} mathbf {A} - nabla ! phi cdot mathbf {A}} { phi ^ {2}}} [1em] nabla times left ({ frac { mathbf {A}} { phi}} right) & = { frac { phi , nabla { times} mathbf {A} - nabla ! phi , { times } , mathbf {A}} { phi ^ {2}}} конец {выровнено}}}$

Правило цепи

Позволять ${ displaystyle f (x)}$ - функция одной переменной от скаляров к скалярам, ${ Displaystyle mathbf {r} (t) = (r_ {1} (t), ldots, r_ {n} (t))}$ а параметризованный кривая и ${ Displaystyle F: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ функция от векторов до скаляров. У нас есть следующие частные случаи многомерной Правило цепи.

${ Displaystyle { begin {align} nabla (е circ F) & = left (f ' circ F right) , nabla F (F circ mathbf {r})' & = ( nabla F circ mathbf {r}) cdot mathbf {r} ' nabla (F circ mathbf {A}) & = ( nabla F circ mathbf {A}) , набла mathbf {А} конец {выровнено}}}$

Для параметризация координат ${ Displaystyle Phi: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {n}}$ у нас есть:

${ displaystyle nabla cdot ( mathbf {A} circ Phi) = mathrm {tr} left (( nabla mathbf {A} circ Phi) mathbf {J} _ { Phi} верно)}$

Здесь мы берем след продукта двух п × п матрицы: градиент А и якобиан ${ displaystyle Phi}$.

Правило точечного произведения

${ Displaystyle { begin {align} nabla ( mathbf {A} cdot mathbf {B}) & = ( mathbf {A} cdot nabla) mathbf {B} , + , ( mathbf {B} cdot nabla) mathbf {A} , + , mathbf {A} { times} ( nabla { times} mathbf {B}) , + , mathbf {B} { times} ( nabla { times} mathbf {A}) & = mathbf {A} cdot mathbf {J} _ { mathbf {B}} + mathbf { B} cdot mathbf {J} _ { mathbf {A}} = mathbf {A} cdot nabla mathbf {B} , + , mathbf {B} cdot nabla ! mathbf {A} end {выровнено}}}$

куда ${ displaystyle mathbf {J} _ { mathbf {A}} = nabla ! mathbf {A} = ( partial A_ {i} / partial x_ {j}) _ {ij}}$ обозначает Матрица якобиана векторного поля ${ Displaystyle mathbf {A} = (A_ {1}, ldots, A_ {n})}$, а в последнем выражении ${ displaystyle cdot}$ операции понимаются как не влияющие на ${ displaystyle nabla}$ направления (которые некоторые авторы укажут соответствующими скобками или транспозициями).

В качестве альтернативы, используя обозначение индекса Фейнмана,

${ displaystyle nabla ( mathbf {A} cdot mathbf {B}) = nabla _ { mathbf {A}} ( mathbf {A} cdot mathbf {B}) + nabla _ { mathbf {B}} ( mathbf {A} cdot mathbf {B}) .}$

См. Эти примечания.^[4]

Как частный случай, когда А = B,

${ Displaystyle { tfrac {1} {2}} nabla left ( mathbf {A} cdot mathbf {A} right) = mathbf {A} cdot mathbf {J} _ { mathbf {A}} = mathbf {A} cdot nabla mathbf {A} = ( mathbf {A} { cdot} nabla) mathbf {A} , + , mathbf {A} { times} ( nabla { times} mathbf {A}).}$

Обобщение формулы скалярного произведения на римановы многообразия является определяющим свойством Риманова связь, который дифференцирует векторное поле для получения векторнозначного 1-форма.

Правило перекрестного продукта

${ Displaystyle { begin {выровнено} набла cdot ( mathbf {A} times mathbf {B}) & = ( nabla { times} mathbf {A}) cdot mathbf {B } , - , mathbf {A} cdot ( nabla { times} mathbf {B}) [5pt] nabla times ( mathbf {A} times mathbf {B}) & = mathbf {A} ( nabla { cdot} mathbf {B}) , - , mathbf {B} ( nabla { cdot} mathbf {A}) , + , ( mathbf {B} { cdot} nabla) mathbf {A} , - , ( mathbf {A} { cdot} nabla) mathbf {B} [2pt] & = ( nabla { cdot} , mathbf {B} , + , mathbf {B} , { cdot} nabla) mathbf {A} , - , ( nabla { cdot} mathbf {A} , + , mathbf {A} { cdot} nabla) mathbf {B} [2pt] & = nabla { cdot} left ( mathbf {B} mathbf {A} ^ { mathrm {T}} right) , - , nabla { cdot} left ( mathbf {A} mathbf {B} ^ { mathrm {T}} right) [2pt] & = nabla { cdot} left ( mathbf {B} mathbf {A} ^ { mathrm {T}} , - , mathbf {A} mathbf {B } ^ { mathrm {T}} right) mathbf {A} times ( nabla times mathbf {B}) & = nabla _ { mathbf {B}} ( mathbf { A} { cdot} mathbf {B}) , - , ( mathbf {A} { cd ot} nabla) mathbf {B} [2pt] & = mathbf {A} cdot mathbf {J} _ { mathbf {B}} , - , ( mathbf {A} { cdot} nabla) mathbf {B} = mathbf {A} cdot nabla mathbf {B} , - , ( mathbf {A} { cdot} nabla) mathbf {B } [5pt] ( mathbf {A} times nabla) times mathbf {B} & = mathbf {A} cdot nabla mathbf {B} , - , mathbf { A} ( nabla { cdot} mathbf {B}) & = mathbf {A} times ( nabla times mathbf {B}) , + , ( mathbf {A} { cdot} nabla) mathbf {B} , - , mathbf {A} ( nabla { cdot} mathbf {B}) end {выровнено}}}$

Обратите внимание на разницу между

${ displaystyle mathbf {A} cdot nabla mathbf {B} = mathbf {A} cdot mathbf {J} _ { mathbf {B}} = A_ {i} left ( { frac { partial B_ {i}} { partial x_ {j}}} right)}$

и

${ Displaystyle ( mathbf {A} cdot nabla) mathbf {B} = left (A_ {i} { frac { partial} { partial x_ {i}}} right) B_ { j} = A_ {i} left ({ frac { partial B_ {j}} { partial x_ {i}}} right) ,.}$

Вторая производная тождества

Дивергенция локона нулевая

В расхождение завитка любой векторное поле А всегда равен нулю:

${ Displaystyle набла cdot ( набла раз mathbf {A}) = 0}$

Это частный случай обращения в нуль квадрата внешняя производная в Де Рам цепной комплекс.

Дивергенция градиента лапласова

В Лапласиан скалярного поля - это дивергенция его градиента:

${ Displaystyle nabla ^ {2} psi = nabla cdot ( nabla psi)}$

Результат - скалярная величина.

Дивергенция дивергенции не определена

Дивергенция векторного поля А является скаляром, и вы не можете взять расходимость скалярной величины. Следовательно:

${ displaystyle nabla cdot ( nabla cdot mathbf {A}) { text {не определено}}}$

Завиток градиента равен нулю

В завиток из градиент из любой непрерывно дважды дифференцируемый скалярное поле ${ displaystyle varphi}$ всегда нулевой вектор:

${ Displaystyle набла раз ( набла varphi) = mathbf {0}}$

Это частный случай обращения в нуль квадрата внешняя производная в Де Рам цепной комплекс.

Завиток локона

${ displaystyle nabla times left ( nabla times mathbf {A} right) = nabla ( nabla { cdot} mathbf {A}) , - , nabla ^ {2 !} mathbf {A}}$

Здесь ∇² это векторный лапласиан оперируя векторным полем А.

Завиток дивергенции не определен

В расхождение векторного поля А является скаляром, и вы не можете взять ротор скалярной величины. Следовательно

${ displaystyle nabla times ( nabla cdot mathbf {A}) { text {не определено}}}$

Краткое изложение важных личностей

Дифференциация

Градиент

• ${ Displaystyle набла ( пси + фи) = набла пси + набла фи}$
• ${ Displaystyle набла ( пси фи) = фи набла пси + пси набла фи}$
• ${ displaystyle nabla ( psi mathbf {A}) = nabla psi otimes mathbf {A} + psi nabla mathbf {A}}$
• ${ Displaystyle набла ( mathbf {A} cdot mathbf {B}) = ( mathbf {A} cdot nabla) mathbf {B} + ( mathbf {B} cdot nabla) mathbf {A} + mathbf {A} times ( nabla times mathbf {B}) + mathbf {B} times ( nabla times mathbf {A})}$

Расхождение

• ${ displaystyle nabla cdot ( mathbf {A} + mathbf {B}) = nabla cdot mathbf {A} + nabla cdot mathbf {B}}$
• ${ displaystyle nabla cdot left ( psi mathbf {A} right) = psi nabla cdot mathbf {A} + mathbf {A} cdot nabla psi}$
• ${ displaystyle nabla cdot left ( mathbf {A} times mathbf {B} right) = ( nabla times mathbf {A}) cdot mathbf {B} - ( nabla times mathbf {B}) cdot mathbf {A}}$

Завиток

• ${ displaystyle nabla times ( mathbf {A} + mathbf {B}) = nabla times mathbf {A} + nabla times mathbf {B}}$
• ${ displaystyle nabla times left ( psi mathbf {A} right) = psi , ( nabla times mathbf {A}) + nabla psi times mathbf {A}}$
• ${ Displaystyle набла раз влево ( пси набла фи справа) = набла пси раз набла фи}$
• ${ displaystyle nabla times left ( mathbf {A} times mathbf {B} right) = mathbf {A} left ( nabla cdot mathbf {B} right) - mathbf { B} left ( nabla cdot mathbf {A} right) + left ( mathbf {B} cdot nabla right) mathbf {A} - left ( mathbf {A} cdot набла право) mathbf {B}}$

Оператор Del Vector точка

• ${ displaystyle ( mathbf {A} cdot nabla) mathbf {A} = { frac {1} {2}} nabla mathbf {A} ^ {2} - mathbf {A} times ( набла раз mathbf {A})}$

Вторые производные

График DCG: некоторые правила для вторых производных.

• ${ Displaystyle набла cdot ( набла раз mathbf {A}) = 0}$
• ${ Displaystyle набла раз ( набла пси) = mathbf {0}}$
• ${ displaystyle nabla cdot ( nabla psi) = nabla ^ {2} psi}$ (скалярный лапласиан )
• ${ displaystyle nabla left ( nabla cdot mathbf {A} right) - nabla times left ( nabla times mathbf {A} right) = nabla ^ {2} mathbf { A}}$ (векторный лапласиан )
• ${ displaystyle nabla cdot ( phi nabla psi) = phi nabla ^ {2} psi + nabla phi cdot nabla psi}$
• ${ Displaystyle psi nabla ^ {2} phi - phi nabla ^ {2} psi = nabla cdot left ( psi nabla phi - phi nabla psi right)}$
• ${ displaystyle nabla ^ {2} ( phi psi) = phi nabla ^ {2} psi +2 ( nabla phi) cdot ( nabla psi) + left ( nabla ^ { 2} phi right) psi}$
• ${ Displaystyle nabla ^ {2} ( psi mathbf {A}) = mathbf {A} nabla ^ {2} psi +2 ( nabla psi cdot nabla) mathbf {A} + psi nabla ^ {2} mathbf {A}}$
• ${ Displaystyle nabla ^ {2} ( mathbf {A} cdot mathbf {B}) = mathbf {A} cdot nabla ^ {2} mathbf {B} - mathbf {B} cdot nabla ^ {2} ! mathbf {A} +2 nabla cdot (( mathbf {B} cdot nabla) mathbf {A} + mathbf {B} times ( nabla times mathbf {A}))}$ (Векторная идентичность Грина )

Цифра справа - мнемоника некоторых из этих идентичностей. Используемые сокращения:

• D: расхождение,
• C: локон,
• G: градиент,
• L: лапласиан,
• CC: завиток локона.

Каждая стрелка помечена результатом идентичности, в частности, результатом применения оператора в хвосте стрелки к оператору в ее голове. Синий кружок в середине означает, что локон из локона существует, тогда как два других красных кружка (пунктирные) означают, что DD и GG не существуют.

Третьи производные

${ Displaystyle { begin {align} nabla ^ {2} ( nabla psi) & = nabla ( nabla cdot ( nabla psi)) = nabla left ( nabla ^ {2} psi right) nabla ^ {2} ( nabla cdot mathbf {A}) & = nabla cdot ( nabla ( nabla cdot mathbf {A})) = nabla cdot left ( nabla ^ {2} mathbf {A} right) nabla ^ {2} ( nabla times mathbf {A}) & = - nabla times ( nabla times ( nabla times mathbf {A})) = nabla times left ( nabla ^ {2} mathbf {A} right) end {align}}}$

Интеграция

Ниже фигурный символ ∂ средства "граница "поверхность или твердое тело.

Интегралы поверхность – объем

В следующих интегральных теоремах поверхности и объема V обозначает трехмерный объем с соответствующим двумерным граница S = ∂V (а закрытая поверхность ):

• ${ displaystyle scriptstyle partial V}$ ${ Displaystyle mathbf {A} cdot d mathbf {S} = iiint _ {V} left ( nabla cdot mathbf {A} right) dV}$ (теорема расходимости )
• ${ displaystyle scriptstyle partial V}$ ${ Displaystyle psi , d mathbf {S} = iiint _ {V} nabla psi , dV}$
• ${ displaystyle scriptstyle partial V}$ ${ Displaystyle mathbf {A} times d mathbf {S} = - iiint _ {V} nabla times mathbf {A} , dV}$
• ${ displaystyle scriptstyle partial V}$ ${ Displaystyle psi nabla ! varphi cdot d mathbf {S} = iiint _ {V} left ( psi nabla ^ {2} ! varphi + nabla ! varphi cdot nabla ! psi right) , dV}$ (Первая личность Грина )
• ${ displaystyle scriptstyle partial V}$ ${ displaystyle left ( psi nabla ! varphi - varphi nabla ! psi right) cdot d mathbf {S} = }$ ${ displaystyle scriptstyle partial V}$ ${ displaystyle left ( psi { frac { partial varphi} { partial n}} - varphi { frac { partial psi} { partial n}} right) dS}$ ${ Displaystyle Displaystyle = iiint _ {V} left ( psi nabla ^ {2} ! varphi - varphi nabla ^ {2} ! psi right) , dV}$ (Вторая личность Грина )
• ${ Displaystyle iiint _ {V} mathbf {A} cdot nabla psi , dV = }$ ${ displaystyle scriptstyle partial V}$ ${ Displaystyle psi mathbf {A} cdot d mathbf {S} - iiint _ {V} psi nabla cdot mathbf {A} , dV}$ (интеграция по частям )
• ${ displaystyle iiint _ {V} psi nabla cdot mathbf {A} , dV = iint _ { partial V} psi mathbf {A} cdot d mathbf {S} - iiint _ {V} nabla psi cdot mathbf {A} , dV}$ (интеграция по частям )

Кривая – поверхностные интегралы

В следующих интегральных теоремах кривая – поверхность S обозначает 2d открытую поверхность с соответствующей 1d границей C = ∂S (а замкнутая кривая ):

• ${ Displaystyle oint _ { partial S} mathbf {A} cdot d { boldsymbol { ell}} = iint _ {S} left ( nabla times mathbf {A} right ) cdot d mathbf {S}}$ (Теорема Стокса )
• ${ Displaystyle oint _ { partial S} psi , d { boldsymbol { ell}} = - iint _ {S} nabla psi times d mathbf {S}}$

Интеграция вокруг замкнутой кривой в по часовой стрелке это отрицательное значение того же линейного интеграла в направлении против часовой стрелки (аналогично перестановке пределов в определенный интеграл ):

${ displaystyle { scriptstyle partial S}}$ ${ displaystyle mathbf {A} cdot { rm {d}} { boldsymbol { ell}} = -}$ ${ displaystyle { scriptstyle partial S}}$ ${ displaystyle mathbf {A} cdot { rm {d}} { boldsymbol { ell}}.}$

Смотрите также

• Тождества внешнего исчисления
• Внешняя производная
• Del в цилиндрических и сферических координатах
• Отношения векторной алгебры
• Сравнение векторной алгебры и геометрической алгебры

Рекомендации

дальнейшее чтение