Сравнение векторной алгебры и геометрической алгебры - Comparison of vector algebra and geometric algebra

Эта статья возможно содержит оригинальные исследования. Пожалуйста Улучши это к проверка заявленные претензии и добавление встроенные цитаты. Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. (Март 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Геометрическая алгебра является продолжением векторная алгебра, предоставляя дополнительные алгебраические структуры на векторных пространствах с геометрической интерпретацией.

Векторная алгебра использует все измерения и сигнатуры, как и геометрическая алгебра, особенно 3 + 1. пространство-время а также 2 габарита.

Основные концепции и операции

Геометрическая алгебра (GA) - это расширение или пополнение векторной алгебры (VA).^[1] Предполагается, что читатель знаком с основными концепциями и операциями VA, и эта статья в основном будет посвящена операциям в ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {3}}$ ГА трехмерного пространства (и эта статья не является математически строгой). В GA векторы обычно не пишутся жирным шрифтом, поскольку значение обычно ясно из контекста.

Принципиальное отличие состоит в том, что GA предоставляет новый продукт векторов, называемый «геометрическим продуктом». Элементы GA оцениваются многовекторы, скаляры имеют степень 0, обычные векторы - степень 1, бивекторы - степень 2, а наивысшая оценка (3 в случае 3D) традиционно называется псевдоскалярной и обозначается ${ displaystyle I}$.

Необобщенная трехмерная векторная форма геометрического продукта:^[2]

${ displaystyle ab = a cdot b + a wedge b}$

это сумма обычного скалярного (внутреннего) произведения и внешнего (внешнего) произведения (последнее тесно связано с перекрестным произведением и будет объяснено ниже).

В VA такие объекты, как псевдовекторы и псевдоскаляры должны быть закреплены, тогда как в GA эквивалентные бивектор и псевдовектор, соответственно, естественным образом существуют как подпространства алгебры.

Например, применение векторного исчисления в 2 измерениях, например, для вычисления крутящего момента или скручивания, требует добавления искусственного 3-го измерения и расширения векторного поля, чтобы оно было постоянным в этом измерении, или, альтернативно, рассмотрения их как скаляров. Крутящий момент или изгиб - это нормальное векторное поле в этом 3-м измерении. Напротив, геометрическая алгебра в двух измерениях определяет их как псевдоскалярное поле (бивектор), не требуя третьего измерения. Точно так же скалярное тройное произведение является специальным, и вместо этого может быть выражено единообразно с помощью внешнего продукта и геометрического продукта.

Переводы между формализмами

Вот несколько сравнений между стандартными ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ векторные отношения и соответствующие им внешний продукт и эквиваленты геометрических произведений. Все внешние и геометрические эквиваленты продукта здесь подходят для более чем трех измерений, а некоторые также для двух. В двух измерениях перекрестное произведение не определено, даже если то, что оно описывает (например, крутящий момент), прекрасно определено на плоскости без введения произвольного вектора нормали вне пространства.

Многие из этих отношений требуют только введения внешнего продукта для обобщения, но, поскольку это может быть незнакомо кому-то, имеющему только опыт работы в векторной алгебре и исчислении, приводится несколько примеров.

Крестовые и экстерьерные изделия

Перекрестное произведение по отношению к внешнему продукту. Красным цветом обозначены ортогональные единичный вектор, и «параллельный» единичный бивектор.

${ displaystyle mathbf {u} times mathbf {v}}$ перпендикулярна плоскости, содержащей ${ displaystyle mathbf {u}}$ и ${ displaystyle mathbf {v}}$.
${ Displaystyle mathbf {и} клин mathbf {v}}$ ориентированное представление той же плоскости.

У нас есть псевдоскаляр ${ displaystyle I = e_ {1} e_ {2} e_ {3}}$ (правая ортонормированная рамка) и так

${ displaystyle e_ {1} I = Ie_ {1} = e_ {2} e_ {3}}$ возвращает бивектор и

${ displaystyle I (e_ {2} wedge e_ {3}) = Ie_ {2} e_ {3} = - e_ {1}}$ возвращает вектор, перпендикулярный ${ Displaystyle е_ {2} клин е_ {3}}$ самолет.

Это дает удобное определение для перекрестное произведение традиционной векторной алгебры:

${ displaystyle {u} times {v} = - я ({u} wedge {v})}$

(это антисимметрично). Актуальным является различие между аксиальными и полярными векторами в векторной алгебре, что естественно в геометрической алгебре как различие между векторами и бивекторами (элементами второй ступени).

В ${ displaystyle i}$ вот единица псевдоскалярный евклидова 3-мерного пространства, которое устанавливает двойственность между векторами и бивекторами и названо так из-за ожидаемого свойства

${ displaystyle I ^ {2} = (e_ {1} e_ {2} e_ {3}) ^ {2} = e_ {1} e_ {2} e_ {3} e_ {1} e_ {2} e_ { 3} = - e_ {1} e_ {2} e_ {1} e_ {3} e_ {2} e_ {3} = e_ {1} e_ {1} e_ {2} e_ {3} e_ {2} e_ {3} = - e_ {3} e_ {2} e_ {2} e_ {3} = - 1}$

Эквивалентность ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ перекрестное произведение и выражение внешнего произведения выше могут быть подтверждены прямым умножением ${ displaystyle -I = - {е_ {1}} {е_ {2}} {е_ {3}}}$ с детерминантным расширением внешнего продукта

${ Displaystyle и клин v = сумма _ {1 leq я$

Смотрите также Перекрестный продукт как внешний продукт. По сути, геометрическое произведение бивектора и псевдоскалярный евклидова 3-мерного пространства обеспечивает метод вычисления Ходж Дуал.

Кроссовые и коммутаторные изделия

В псевдовектор /бивектор подалгебра геометрическая алгебра евклидова 3-мерного пространства образуют 3-мерное векторное пространство самих себя. Пусть стандартные единичные псевдовекторы / бивекторы подалгебры равны ${ Displaystyle mathbf {я} = mathbf {е_ {2}} mathbf {е_ {3}}}$, ${ Displaystyle mathbf {j} = mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {3}}}$, и ${ Displaystyle mathbf {к} = mathbf {е_ {1}} mathbf {е_ {2}}}$, а антикоммутативный коммутаторный продукт быть определенным как ${ displaystyle A times B = { tfrac {1} {2}} (AB-BA)}$, куда ${ displaystyle AB}$ это геометрический продукт. Коммутаторное произведение распределительный сверх сложения и линейный, так как геометрическое произведение дистрибутивно по сложению и линейно.

Из определения коммутаторного произведения ${ Displaystyle mathbf {я}}$, ${ displaystyle mathbf {j}}$ и ${ displaystyle mathbf {k}}$ удовлетворяют следующим равенствам:

${ displaystyle mathbf {i} times mathbf {j} = { tfrac {1} {2}} ( mathbf {i} mathbf {j} - mathbf {j} mathbf {i}) = { tfrac {1} {2}} (( mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {3}} mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {3}} - mathbf {e_ { 1}} mathbf {e_ {3}} mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {3}}) = { tfrac {1} {2}} (- mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {3}} mathbf {e_ {3}} mathbf {e_ {1}} + mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {3}} mathbf {e_ {3}} mathbf {e_ {2}}) = { tfrac {1} {2}} (- mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {1}} + mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ { 2}}) = { tfrac {1} {2}} ( mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {2}} + mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {2}}) = mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {2}} = mathbf {k}}$

${ displaystyle mathbf {j} times mathbf {k} = { tfrac {1} {2}} ( mathbf {j} mathbf {k} - mathbf {k} mathbf {j}) = { tfrac {1} {2}} (( mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {3}} mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {2}} - mathbf {e_ { 1}} mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {3}}) = { tfrac {1} {2}} (- mathbf {e_ {3}} mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {2}} + mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {3}}) = { tfrac {1} {2}} (- mathbf {e_ {3}} mathbf {e_ {2}} + mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ { 3}}) = { tfrac {1} {2}} ( mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {3}} + mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {3}}) = mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {3}} = mathbf {i}}$

${ displaystyle mathbf {k} times mathbf {i} = { tfrac {1} {2}} ( mathbf {k} mathbf {i} - mathbf {i} mathbf {k}) = { tfrac {1} {2}} ( mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {3}} - mathbf {e_ {2 }} mathbf {e_ {3}} mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {2}}) = { tfrac {1} {2}} ( mathbf {e_ {1}} mathbf { e_ {2}} mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {3}} - mathbf {e_ {3}} mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {2}} mathbf {e_ {1}}) = { tfrac {1} {2}} ( mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {3}} - mathbf {e_ {3}} mathbf {e_ {1}} ) = { tfrac {1} {2}} ( mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {3}} + mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {3}}) = mathbf {е_ {1}} mathbf {e_ {3}} = mathbf {j}}$

откуда следует, в силу антикоммутативности коммутаторного произведения, что

${ displaystyle mathbf {j} times mathbf {i} = - mathbf {k}}$

${ displaystyle mathbf {k} times mathbf {j} = - mathbf {i}}$

${ Displaystyle mathbf {я} раз mathbf {k} = - mathbf {j}}$

Из антикоммутативности коммутаторного произведения также следует, что

${ Displaystyle mathbf {я} раз mathbf {я} = mathbf {j} times mathbf {j} = mathbf {k} times mathbf {k} = 0}$

Этих равенств и свойств достаточно, чтобы определить коммутаторное произведение любых двух псевдовекторов / бивекторов. ${ displaystyle mathbf {A}}$ и ${ displaystyle mathbf {B}}$. Поскольку псевдовекторы / бивекторы образуют векторное пространство, каждый псевдовектор / бивектор может быть определен как сумма трех ортогональных компонентов, параллельных стандартным базисным псевдовекторам / бивекторам:

${ Displaystyle mathbf {A} = (A_ {1} mathbf {i} + A_ {2} mathbf {j} + A_ {3} mathbf {k})}$

${ Displaystyle mathbf {B} = (B_ {1} mathbf {i} + B_ {2} mathbf {j} + B_ {3} mathbf {k})}$

Их коммутаторный продукт ${ displaystyle mathbf {A} times mathbf {B}}$ может быть расширен с помощью его распределительного свойства:

${ displaystyle mathbf {A} times mathbf {B} = (A_ {1} mathbf {i} + A_ {2} mathbf {j} + A_ {3} mathbf {k}) times ( B_ {1} mathbf {i} + B_ {2} mathbf {j} + B_ {3} mathbf {k})}$

${ displaystyle = A_ {1} B_ {1} mathbf {i} times mathbf {i} + A_ {1} B_ {2} mathbf {i} times mathbf {j} + A_ {1} B_ {3} mathbf {i} times mathbf {k} + A_ {2} B_ {1} mathbf {j} times mathbf {i} + A_ {2} B_ {2} mathbf {j } times mathbf {j} + A_ {2} B_ {3} mathbf {j} times mathbf {k} + A_ {3} B_ {1} mathbf {k} times mathbf {i} + A_ {3} B_ {2} mathbf {k} times mathbf {j} + A_ {3} B_ {3} mathbf {k} times mathbf {k}}$

${ displaystyle = A_ {1} B_ {2} mathbf {k} -A_ {1} B_ {3} mathbf {j} -A_ {2} B_ {1} mathbf {k} + A_ {2} B_ {3} mathbf {i} + A_ {3} B_ {1} mathbf {j} -A_ {3} B_ {2} mathbf {i} = (A_ {2} B_ {3} -A_ { 3} B_ {2}) mathbf {i} + (A_ {3} B_ {1} -A_ {1} B_ {3}) mathbf {j} + (A_ {1} B_ {2} -A_ { 2} B_ {1}) mathbf {k}}$

что и есть произведение в векторной алгебре для псевдовекторов.

Норма вектора

Обычно:

${ Displaystyle { Vert mathbf {u} Vert} ^ {2} = mathbf {u} cdot mathbf {u}}$

Используя геометрическое произведение и тот факт, что внешнее произведение вектора на себя равно нулю:

${ displaystyle mathbf {u} , mathbf {u} = { Vert mathbf {u} Vert} ^ {2} = { mathbf {u}} ^ {2} = mathbf {u} cdot mathbf {u} + mathbf {u} wedge mathbf {u} = mathbf {u} cdot mathbf {u}}$

Личность Лагранжа

В трех измерениях произведение двух длин векторов может быть выражено через точечные и перекрестные произведения.

${ displaystyle { Vert mathbf {u} Vert} ^ {2} { Vert mathbf {v} Vert} ^ {2} = ({ mathbf {u} cdot mathbf {v}}) ^ {2} + { Vert mathbf {u} times mathbf {v} Vert} ^ {2}}$

Соответствующее обобщение, выраженное с помощью геометрического произведения, имеет вид

${ displaystyle { Vert mathbf {u} Vert} ^ {2} { Vert mathbf {v} Vert} ^ {2} = ({ mathbf {u} cdot mathbf {v}}) ^ {2} - ( mathbf {u} wedge mathbf {v}) ^ {2}}$

Это следует из разложения геометрического произведения пары векторов на обратную

${ displaystyle ( mathbf {u} mathbf {v}) ( mathbf {v} mathbf {u}) = ({ mathbf {u} cdot mathbf {v}} + { mathbf {u} wedge mathbf {v}}) ({ mathbf {u} cdot mathbf {v}} - { mathbf {u} wedge mathbf {v}})}$

Определяющее расширение поперечных и клиновых изделий

${ displaystyle mathbf {u} times mathbf {v} = sum _ {i$

${ displaystyle mathbf {u} wedge mathbf {v} = sum _ {i$

В текстах по линейной алгебре определитель часто используется для решения линейных систем по формуле Правило Крамера или для инверсии матрицы и.

Альтернативный подход состоит в том, чтобы аксиоматически ввести произведение клина, а затем продемонстрировать, что его можно использовать непосредственно для решения линейных систем. Это показано ниже, и для понимания не требуется сложных математических навыков.

Тогда можно определить детерминанты как не что иное, как коэффициенты произведения клина в единицах k-векторы "(${ displaystyle { mathbf {e}} _ {i} wedge { mathbf {e}} _ {j}}$ термины), как указано выше.

Поочередным определителем является коэффициент при ${ displaystyle mathbf {e} _ {1}}$ для ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {1}}$ 1-вектор.

Определитель два на два - это коэффициент ${ Displaystyle mathbf {е} _ {1} клин mathbf {е} _ {2}}$ для ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ бивектор

Определитель три на три - это коэффициент ${ displaystyle mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3}}$ для ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ тривектор

...

Когда решение линейной системы вводится через произведение клина, правило Крамера следует как побочный эффект, и нет необходимости приводить к конечным результатам определения миноров, матриц, обратимости матриц, сопряженных, кофакторов, разложений Лапласа, теорем о детерминантном умножении и обмене столбцами строк и т. д.

Связанные с матрицей

Инверсия матриц (правило Крамера) и детерминанты могут быть естественным образом выражены через произведение клина.

Использование продукта клина при решении линейных уравнений может быть весьма полезным для вычислений различных геометрических продуктов.

Традиционно, вместо использования продукта клина, правило Крамера обычно представляется как общий алгоритм, который можно использовать для решения линейных уравнений вида ${ displaystyle Ax = b}$ (или эквивалентно инвертировать матрицу). А именно

${ displaystyle x = { frac {1} {| A |}} operatorname {adj} (A) b.}$

Это полезный теоретический результат. Для численных задач сокращение строк с помощью стержней и других методов более стабильно и эффективно.

Когда продукт клина сочетается с продуктом Клиффорда и помещается в естественный геометрический контекст, тот факт, что детерминанты используются в выражении ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {N}}$ площадь параллелограмма и объемы параллелепипеда (и их многомерные обобщения) также являются приятным побочным эффектом.

Как также показано ниже, такие результаты, как правило Крамера, также непосредственно следуют из выбора неидентичными элементами в продукте клина. В таком случае конечный результат достаточно прост, чтобы его можно было легко получить, если потребуется, вместо того, чтобы запоминать или искать правило.

Пример двух переменных

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}} = ax + by = c.}$

Пре- и пост-умножение на ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$,

${ Displaystyle (топор + по) клин b = (а клин b) х = с клин b}$

${ Displaystyle а клин (топор + по) = (а клин б) у = а клин с}$

При условии ${ Displaystyle а клин б neq 0}$ решение

${ displaystyle { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}} = { frac {1} {a wedge b}} { begin {bmatrix} c wedge b a wedge c конец {bmatrix}}.}$

За ${ displaystyle a, b in { mathbb {R}} ^ {2}}$, это правило Крамера, поскольку ${ Displaystyle {е} _ {1} клин {е} _ {2}}$ факторы клиновых продуктов

${ displaystyle u wedge v = { begin {vmatrix} u_ {1} & u_ {2} v_ {1} & v_ {2} end {vmatrix}} {e} _ {1} wedge {e} _ {2}}$

разделить.

Аналогично для троих или N переменные, те же идеи верны

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b & c end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y z end {bmatrix}} = d}$

${ displaystyle { begin {bmatrix} x y z end {bmatrix}} = { frac {1} {a wedge b wedge c}} { begin {bmatrix} d wedge b клин c a клин d клин c a клин b клин d end {bmatrix}}}$

Опять же, для случая с тремя переменными и тремя уравнениями это правило Крамера, поскольку ${ Displaystyle {е} _ {1} клин {е} _ {2} клин {е} _ {3}}$ факторы всех продуктов клина делятся, оставляя знакомые детерминанты.

Числовой пример с тремя уравнениями и двумя неизвестными: если уравнений больше, чем переменных, и уравнения имеют решение, тогда каждое из частных k-векторов будет скалярами.

В качестве иллюстрации приводится решение простого примера с тремя уравнениями и двумя неизвестными.

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 1 0 end {bmatrix}} x + { begin {bmatrix} 1 1 1 end {bmatrix}} y = { begin {bmatrix} 1 1 2 end {bmatrix}}}$

Правильный клин с ${ Displaystyle (1,1,1)}$ решает для ${ displaystyle x}$

${ Displaystyle { begin {bmatrix} 1 1 0 end {bmatrix}} wedge { begin {bmatrix} 1 1 1 end {bmatrix}} x = { begin {bmatrix} } 1 1 2 end {bmatrix}} wedge { begin {bmatrix} 1 1 1 end {bmatrix}}}$

и левый клин с ${ displaystyle (1,1,0)}$ решает для ${ displaystyle y}$

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 1 0 end {bmatrix}} wedge { begin {bmatrix} 1 1 1 end {bmatrix}} y = { begin {bmatrix} } 1 1 0 end {bmatrix}} wedge { begin {bmatrix} 1 1 2 end {bmatrix}}.}$

Обратите внимание, что оба этих уравнения имеют одинаковый коэффициент, поэтому его можно вычислить только один раз (если бы он был равен нулю, это означало бы, что система уравнений не имеет решения).

Сбор результатов для${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ дает форму, подобную правилу Крамера:

${ displaystyle { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}} = { frac {1} {(1,1,0) wedge (1,1,1)}} { begin {bmatrix } (1,1,2) wedge (1,1,1) (1,1,0) wedge (1,1,2) end {bmatrix}}.}$

Письмо ${ Displaystyle {е} _ {я} клин {е} _ {j} = {е} _ {ij}}$, имеем конечный результат:

${ displaystyle { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}} = { frac {1} {{e} _ {13} + {e} _ {23}}} { begin {bmatrix} {- {e} _ {13} - {e} _ {23}} {2 {e} _ {13} +2 {e} _ {23}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} -1 2 end {bmatrix}}.}$

Уравнение плоскости

Для плоскости всех точек ${ displaystyle { mathbf {r}}}$ через плоскость, проходящую через три независимые точки ${ displaystyle { mathbf {r}} _ {0}}$, ${ displaystyle { mathbf {r}} _ {1}}$, и ${ displaystyle { mathbf {r}} _ {2}}$, нормальная форма уравнения имеет вид

${ displaystyle (({ mathbf {r}} _ {2} - { mathbf {r}} _ {0}) times ({ mathbf {r}} _ {1} - { mathbf {r}) } _ {0})) cdot ({ mathbf {r}} - { mathbf {r}} _ {0}) = 0.}$

Эквивалентное уравнение произведения клина:

${ displaystyle ({ mathbf {r}} _ {2} - { mathbf {r}} _ {0}) wedge ({ mathbf {r}} _ {1} - { mathbf {r}} _ {0}) wedge ({ mathbf {r}} - { mathbf {r}} _ {0}) = 0.}$

Проекция и отвержение

С использованием Процесс Грама – Шмидта один вектор можно разложить на два компонент относительно опорного вектора, а именно проекция на единичный вектор в направлении опорного, а разница между вектором и этой проекцией.

С, ${ displaystyle { hat {u}} = u / { Vert u Vert}}$, проекция ${ displaystyle v}$ на ${ displaystyle { hat {u}}}$ является

${ displaystyle mathrm {Proj} _ { hat {u}} , {v} = { hat {u}} ({ hat {u}} cdot v)}$

Ортогональна этому вектору разность, обозначенная отклонением,

${ displaystyle v - { hat {u}} ({ hat {u}} cdot v) = { frac {1} {{ Vert u Vert} ^ {2}}} ({ Vert u Vert} ^ {2} vu (и cdot v))}$

Отклонение может быть выражено как единое геометрическое алгебраическое произведение несколькими способами.

${ displaystyle { frac {u} {{u} ^ {2}}} (uv-u cdot v) = { frac {1} {u}} (u wedge v) = { hat {u }} ({ hat {u}} wedge v) = (v wedge { hat {u}}) { hat {u}}}$

Сходство по форме между проекцией и отказом заметно. Их сумма восстанавливает исходный вектор

${ displaystyle v = { hat {u}} ({ hat {u}} cdot v) + { hat {u}} ({ hat {u}} wedge v)}$

Здесь проекция представлена ​​в привычной векторной форме. Возможна альтернативная формулировка, при которой проекция принимает форму, отличную от обычной векторной формулировки.

${ displaystyle v = { frac {1} {u}} ({u} cdot v) + { frac {1} {u}} ({u} wedge v) = ({v} cdot u ) { frac {1} {u}} + (v wedge u) { frac {1} {u}}}$

Работая в обратном направлении от конечного результата, можно заметить, что этот результат ортогонального разложения может более непосредственно следовать из определения самого геометрического продукта.

${ displaystyle v = { hat {u}} { hat {u}} v = { hat {u}} ({ hat {u}} cdot v + { hat {u}} wedge v) }$

При таком подходе исходное геометрическое рассмотрение не обязательно очевидно, но это гораздо более быстрый способ получить тот же алгебраический результат.

Однако намек на то, что можно работать в обратном направлении, вкупе со знанием того, что произведение клина можно использовать для решения наборов линейных уравнений (см. [1] ), задача ортогонального разложения может быть поставлена ​​непосредственно,

Позволять ${ displaystyle v = au + x}$, куда ${ Displaystyle и cdot х = 0}$. Чтобы отбросить части ${ displaystyle v}$ которые коллинеарны с ${ displaystyle u}$, возьми внешний продукт

${ Displaystyle и клин v = и клин (au + х) = и клин х}$

Здесь можно использовать геометрическое произведение

${ Displaystyle и клин v = и клин х = ux-u cdot x = ux}$

Поскольку геометрическое произведение обратимо, это можно решить для Икс:

${ displaystyle x = { frac {1} {u}} (u wedge v).}$

Те же методы могут быть применены к аналогичным задачам, таким как вычисление составляющей вектора в плоскости и перпендикулярно плоскости.

Для трех измерений проективные и отклоняющие компоненты вектора по отношению к произвольному ненулевому единичному вектору могут быть выражены через точечное произведение и перекрестное произведение

${ displaystyle mathbf {v} = ( mathbf {v} cdot { hat { mathbf {u}}}) { hat { mathbf {u}}} + { hat { mathbf {u} }} times ( mathbf {v} times { hat { mathbf {u}}}).}$

В общем случае тот же результат можно записать в терминах скалярного и клиновидного произведения, а также геометрического произведения этого и единичного вектора.

${ displaystyle mathbf {v} = ( mathbf {v} cdot { hat { mathbf {u}}}) { hat { mathbf {u}}} + ( mathbf {v} wedge { hat { mathbf {u}}}) { hat { mathbf {u}}}.}$

Также стоит отметить, что этот результат также может быть выражен с использованием правого или левого векторного деления, как определено геометрическим произведением:

${ displaystyle mathbf {v} = ( mathbf {v} cdot mathbf {u}) { frac {1} { mathbf {u}}} + ( mathbf {v} wedge mathbf {u }) { frac {1} { mathbf {u}}}}$

${ displaystyle mathbf {v} = { frac {1} { mathbf {u}}} ( mathbf {u} cdot mathbf {v}) + { frac {1} { mathbf {u} }} ( mathbf {u} wedge mathbf {v}).}$

Подобно векторной проекции и отклонению, многомерные аналоги этого вычисления также возможны с использованием геометрического произведения.

В качестве примера можно вычислить компонент вектора, перпендикулярный плоскости, и проекцию этого вектора на плоскость.

Позволять ${ displaystyle w = au + bv + x}$, куда ${ Displaystyle и cdot x = v cdot x = 0}$. Как указано выше, чтобы отбросить части ${ displaystyle w}$ которые коллинеарны с ${ displaystyle u}$ или же ${ displaystyle v}$, берем клин

${ Displaystyle ш клин и клин v = (au + bv + x) клин и клин v = х клин и клин v.}$

Сделав этот расчет с проекцией вектора, можно предположить, что эта величина равна ${ Displaystyle х (и клин v)}$. Можно также предположить, что существует вектор и бивекторное скалярное произведение, такое как величина, такая, что позволяет вычислить компонент вектора, который находится в «направлении плоскости». Обе эти догадки верны, и стоит подтвердить эти факты. Однако, немного забегая вперед, этот факт, который должен быть доказан, позволяет получить хорошее решение в замкнутой форме для векторной компоненты вне плоскости:

${ Displaystyle х = (вес клин и клин v) { гидроразрыва {1} {и клин v}} = { гидроразрыва {1} {и клин v}} (и клин v клин w) .}$

Обратите внимание на сходство между этим результатом плоского отклонения и результатом отклонения вектора. Чтобы вычислить компонент вектора вне плоскости, мы берем объем, охватываемый тремя векторами (тривектор), и «делим» плоскость.

Независимо от использования геометрического произведения можно показать, что этот отказ с точки зрения стандартного базиса

${ displaystyle x = { frac {1} {(A_ {u, v}) ^ {2}}} sum _ {я$

куда

${ displaystyle (A_ {u, v}) ^ {2} = sum _ {я$

- квадрат площади параллелограмма, образованного ${ displaystyle u}$, и ${ displaystyle v}$.

(Квадратная) величина ${ displaystyle x}$ является

${ displaystyle { Vert x Vert} ^ {2} = x cdot w = { frac {1} {(A_ {u, v}) ^ {2}}} sum _ {i$

Таким образом, (квадрат) объем параллелепипеда (площадь основания, умноженная на высоту перпендикуляра) равен

${ displaystyle sum _ {я$

Обратите внимание на сходство по форме с ш, ты, v сам тривектор

${ displaystyle sum _ {я$

который, если взять набор ${ Displaystyle {е} _ {я} клин {е} _ {j} клин {е} _ {к}}$ в качестве основы для пространства тривектора, предполагает, что это естественный способ определения меры тривектора. Грубо говоря, мера вектора - это длина, мера бивектора - это площадь, а мера тривектора - это объем.

Если вектор разлагается непосредственно на проективные и отклоняющие термины с использованием геометрического произведения ${ Displaystyle v = { гидроразрыва {1} {u}} (и cdot v + и клин v)}$, то не обязательно очевидно, что член отклонения, произведение вектора и бивектора, является даже вектором. Разложение векторного бивекторного произведения по стандартным базисным векторам имеет следующий вид

Позволять ${ displaystyle r = { frac {1} {u}} (u wedge v) = { frac {u} {u ^ {2}}} (u wedge v) = { frac {1} { { Vert u Vert} ^ {2}}} и (и клин v)}$

Можно показать, что

${ displaystyle r = { frac {1} {{ Vert {u} Vert} ^ {2}}} sum _ {i$

(результат, который легче показать прямо из ${ displaystyle r = v - { hat {u}} ({ hat {u}} cdot v)}$).

Термин отклонения перпендикулярен ${ displaystyle u}$, поскольку ${ displaystyle { begin {vmatrix} u_ {i} & u_ {j} u_ {i} & u_ {j} end {vmatrix}} = 0}$ подразумевает ${ displaystyle r cdot u = 0}$.

Величина ${ displaystyle r}$ является

${ displaystyle { Vert r Vert} ^ {2} = r cdot v = { frac {1} {{ Vert {u} Vert} ^ {2}}} sum _ {я$

Итак, количество

${ displaystyle { Vert r Vert} ^ {2} { Vert {u} Vert} ^ {2} = sum _ {i$

- квадрат площади параллелограмма, образованного ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$.

Примечательно также, что бивектор можно выразить как

${ Displaystyle и клин v = сумма _ {я$

Так естественно, если рассматривать каждый термин ${ Displaystyle е_ {я} клин е_ {j}}$ как базисный вектор бивекторного пространства, чтобы определить (возведенную в квадрат) «длину» этого бивектора как (возведенную в квадрат) площадь.

Возвращаясь к выражению геометрического произведения для длины отклонения ${ Displaystyle { гидроразрыва {1} {и}} (и клин v)}$ мы видим, что длина частного, вектора, в данном случае равна «длине» бивектора, деленной на длину делителя.

Это может быть не общий результат для длины изделия из двух k-векторыОднако это результат, который может помочь составить некоторую интуицию о значении алгебраических операций. А именно,

Когда вектор разделяется из плоскости (отрезка параллелограмма), образованной из него и другого вектора, остается перпендикулярная составляющая оставшегося вектора, а его длина - это плоская площадь, деленная на длину вектора, который был разделен.

Площадь параллелограмма, определяемого u и v

Если A - площадь параллелограмма, определяемая ты и v, тогда

${ Displaystyle A ^ {2} = { Vert mathbf {u} times mathbf {v} Vert} ^ {2} = sum _ {i$

и

${ displaystyle A ^ {2} = - ( mathbf {u} wedge mathbf {v}) ^ {2} = sum _ {i$

Обратите внимание, что этот квадрат бивектора представляет собой геометрическое умножение; это вычисление можно альтернативно сформулировать как Определитель грамма двух векторов.

Угол между двумя векторами

${ displaystyle ({ sin theta}) ^ {2} = { frac {{ Vert mathbf {u} times mathbf {v} Vert} ^ {2}} {{ Vert mathbf { u} Vert} ^ {2} { Vert mathbf {v} Vert} ^ {2}}}}$

${ displaystyle ({ sin theta}) ^ {2} = - { frac {( mathbf {u} wedge mathbf {v}) ^ {2}} {{ mathbf {u}} ^ { 2} { mathbf {v}} ^ {2}}}}$

Объем параллелепипеда, образованного тремя векторами

В векторной алгебре объем параллелепипеда задается квадратным корнем из квадрата нормы скалярное тройное произведение:

${ Displaystyle V ^ {2} = { Vert ( mathbf {u} times mathbf {v}) cdot mathbf {w} Vert} ^ {2} = { begin {vmatrix} u_ {1 } & u_ {2} & u_ {3} v_ {1} & v_ {2} & v_ {3} w_ {1} & w_ {2} & w_ {3} end {vmatrix}} ^ {2}}$

${ Displaystyle V ^ {2} = - ( mathbf {u} wedge mathbf {v} wedge mathbf {w}) ^ {2} = - left ( sum _ {я$

Произведение вектора и бивектора

Чтобы оправдать приведенный выше результат нормали к плоскости, требуется общее исследование произведения вектора и бивектора. А именно,

${ Displaystyle ш (и клин v) = сумма _ {я, j$

Он состоит из двух частей: векторная часть, где ${ displaystyle i = j}$ или же ${ Displaystyle я = к}$, и части тривектора, у которых нет равных индексов. После некоторой уловки суммирования индексов, группировки членов и т. Д. Это

${ Displaystyle ш (и клин v) = сумма _ {я$

Член тривектора ${ Displaystyle ш клин и клин v}$. Расширение ${ Displaystyle (и клин v) ш}$ дает тот же член тривектора (это полностью симметричная часть), а член вектора инвертируется. Подобно геометрическому произведению двух векторов, это геометрическое произведение может быть сгруппировано на симметричную и антисимметричную части, одна из которых является чистым k-вектором. По аналогии антисимметричная часть этого произведения может быть названа обобщенным скалярным произведением и, грубо говоря, является скалярным произведением «плоскости» (бивектора) и вектора.

Свойства этого обобщенного скалярного произведения еще предстоит изучить, но сначала приведем краткое изложение обозначений.

${ Displaystyle вес (и клин v) = вес cdot (и клин v) + ш клин и клин v}$

${ Displaystyle (и клин v) вес = -w cdot (и клин v) + ш клин и клин v}$

${ Displaystyle ш клин и клин v = { гидроразрыва {1} {2}} (вес (и клин v) + (и клин v) ш)}$

${ Displaystyle ш cdot (и клин v) = { гидроразрыва {1} {2}} (ш (и клин v) - (и клин v) ш)}$

Позволять ${ Displaystyle ш = х + у}$, куда ${ displaystyle x = au + bv}$, и ${ Displaystyle у cdot и = у cdot v = 0}$. Выражая ${ displaystyle w}$ и ${ Displaystyle и клин v}$, продукция по этим компонентам

${ Displaystyle вес (и клин v) = Икс (и клин v) + Y (и клин v) = х cdot (и клин v) + y cdot (и клин v) + y клин и клин v}$

Используя приведенные выше условия и определения, а также некоторые манипуляции, можно показать, что термин ${ Displaystyle у cdot (и клин v) = 0}$, что затем оправдывает предыдущее решение нормали к плоскости. Поскольку векторный член векторного бивекторного произведения имя скалярное произведение равно нулю, когда вектор перпендикулярен плоскости (бивектор), и этот вектор, бивекторное «скалярное произведение» выбирает только компоненты, которые находятся в плоскости, так что по аналогии скалярное произведение вектор-вектор. Это название само по себе оправдано не только тем фактом, что это неклиновое произведение геометрического произведения вектор-бивектор.

Производная единичного вектора

Можно показать, что производная единичного вектора может быть выражена с помощью векторного произведения

${ displaystyle { frac {d} {dt}} left ({ frac { mathbf {r}} { Vert mathbf {r} Vert}} right) = { frac {1} {{ Vert mathbf {r} Vert} ^ {3}}} left ( mathbf {r} times { frac {d mathbf {r}} {dt}} right) times mathbf {r } = left ({ hat { mathbf {r}}} times { frac {1} { Vert mathbf {r} Vert}} { frac {d mathbf {r}} {dt} } right) times { hat { mathbf {r}}}}$

Эквивалентное обобщение геометрического произведения

${ displaystyle { frac {d} {dt}} left ({ frac { mathbf {r}} { Vert mathbf {r} Vert}} right) = { frac {1} {{ Vert mathbf {r} Vert} ^ {3}}} mathbf {r} left ( mathbf {r} wedge { frac {d mathbf {r}} {dt}} right) = { frac {1} { mathbf {r}}} left ({ hat { mathbf {r}}} wedge { frac {d mathbf {r}} {dt}} right)}$

Таким образом, эта производная является компонентом ${ displaystyle { frac {1} { Vert mathbf {r} Vert}} { frac {d mathbf {r}} {dt}}}$ в направлении, перпендикулярном ${ displaystyle mathbf {r}}$. Другими словами, это ${ displaystyle { frac {1} { Vert mathbf {r} Vert}} { frac {d mathbf {r}} {dt}}}$ минус проекция этого вектора на ${ displaystyle { hat { mathbf {r}}}}$.

Это интуитивно понятно (но картинка может помочь), поскольку единичный вектор ограничен круговым движением, и любое изменение единичного вектора из-за изменения его порождающего вектора должно происходить в направлении отказа от ${ displaystyle { hat { mathbf {r}}}}$ из ${ displaystyle { frac {d mathbf {r}} {dt}}}$. Это отклонение необходимо масштабировать на 1 / | r | чтобы получить окончательный результат.

Когда цель не сравнивается с перекрестным произведением, также следует отметить, что производная единичного вектора может быть записана

${ displaystyle { mathbf {r}} { frac {d { hat { mathbf {r}}}} {dt}} = { hat { mathbf {r}}} wedge { frac {d mathbf {r}} {dt}}}$

Смотрите также

• Геометрическая алгебра
• Бивектор

Цитаты

Ссылки и дополнительная литература

• Волд, Терье Г. (1993), «Введение в геометрическую алгебру с приложением в механике твердого тела» (PDF), Американский журнал физики, 61 (6): 491, Bibcode:1993AmJPh..61..491V, Дои:10.1119/1.17201
• Gull, S.F .; Lasenby, A.N; Доран, C: J: L (1993), Мнимые числа не реальны - геометрическая алгебра пространства-времени (PDF)