Линейность - Википедия - Linearity

Линейность является свойством математической связи (функция ) это может быть графически представлен как прямой линия. Линейность тесно связана с соразмерность. Примеры в физика включать линейную зависимость Напряжение и Текущий в электрический проводник (Закон Ома ), и отношения масса и масса. Напротив, более сложные отношения нелинейный.

Обобщено для функций более чем в одной измерение, линейность означает свойство функции быть совместимой с добавление и масштабирование, также известный как принцип суперпозиции.

Слово линейный происходит от латинский linearis, "относящиеся к линии или напоминающие ее".

По математике

В математике линейная карта или же линейная функция ж(Икс) - функция, которая удовлетворяет двум свойствам:^[1]

Аддитивность: ж(Икс + у) = ж(Икс) + ж(у).
Однородность степени 1: ж(αИкс) = α ж(Икс) для всех α.

Эти свойства известны как принцип суперпозиции. В этом определении Икс не обязательно настоящий номер, но в целом может быть элемент любой векторное пространство. Более специальное определение линейная функция, не совпадающее с определением линейного отображения, используется в элементарной математике (см. ниже).

Сама по себе аддитивность подразумевает однородность для рациональный α, поскольку ${ Displaystyle е (х + х) = е (х) + е (х)}$ подразумевает ${ Displaystyle f (nx) = nf (x)}$ для любого натуральное число п к математическая индукция, а потом ${ Displaystyle nf (x) = f (nx) = f (m { tfrac {n} {m}} x) = mf ({ tfrac {n} {m}} x)}$ подразумевает ${ displaystyle f ({ tfrac {n} {m}} x) = { tfrac {n} {m}} f (x)}$ . В плотность рациональных чисел в вещественных числах означает, что любая добавочная непрерывная функция однородна для любого действительного числа α и, следовательно, линейна.

Понятие линейности может быть расширено до линейного операторы. Важные примеры линейных операторов включают производная рассматривается как дифференциальный оператор, и другие операторы, построенные на его основе, например дель и Лапласиан. Когда дифференциальное уравнение может быть выражена в линейной форме, обычно ее можно решить, разбив уравнение на более мелкие части, решив каждую из этих частей и суммируя решения.

Линейная алгебра раздел математики, связанный с изучением векторов, векторные пространства (также называемые «линейными пространствами»), линейные преобразования (также называемые «линейными отображениями») и системы линейных уравнений.

Описание линейных и нелинейных уравнений см. В линейное уравнение.

Линейные многочлены

В другом использовании по сравнению с приведенным выше определением многочлен степени 1 называется линейной, поскольку график функции этой формы - прямая линия.^[2]

По реалам линейное уравнение это одна из форм:

{ Displaystyle е (х) = мх + Ь }

куда м часто называют склон или же градиент; б то y-перехват, что дает точку пересечения между графиком функции и у-ось.

Обратите внимание, что это использование термина линейный не то же самое, что и в предыдущем разделе, потому что линейные многочлены над действительными числами, как правило, не удовлетворяют ни аддитивности, ни однородности. На самом деле они так и делают если и только если б = 0. Следовательно, если б ≠ 0, функцию часто называют аффинная функция (см. в более общем виде аффинное преобразование ).

Логические функции

В Булева алгебра, линейная функция - это функция ${ displaystyle f}$ для которых существуют ${ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, ldots, a_ {n} in {0,1 }}$ такой, что

{ displaystyle f (b_ {1}, ldots, b_ {n}) = a_ {0} oplus (a_ {1} land b_ {1}) oplus cdots oplus (a_ {n} land b_ {n})}

, куда

{ displaystyle b_ {1}, ldots, b_ {n} in {0,1 }.}

Обратите внимание, что если ${ displaystyle a_ {0} = 1}$ , указанная выше функция считается аффинной в линейной алгебре (т.е.нелинейной).

Булева функция является линейной, если для функции выполняется одно из следующих условий: таблица истинности:

В каждой строке, в которой значение истинности функции равно Т, аргументам присвоено нечетное количество Ts, и в каждой строке, в которой функция F аргументам присвоено четное число T. Конкретно, ж(F, F, ..., F) = F, и эти функции соответствуют линейные карты над булевым векторным пространством.
В каждой строке, в которой значение функции равно T, аргументам функции присвоено четное число Ts; и в каждой строке, в которой значение истины функции - F, аргументам присвоено нечетное количество Ts. В этом случае, ж(F, F, ..., F) = T.

Другой способ выразить это: каждая переменная всегда влияет на значение истины операции, или это никогда не имеет значения.

Отрицание, Логическая двусмысленность, Эксклюзивный или, тавтология, и противоречие являются линейными функциями.

Физика

В физика, линейность является собственностью дифференциальные уравнения управление многими системами; например, Уравнения Максвелла или уравнение диффузии.^[3]

Линейность однородного дифференциальное уравнение означает, что если две функции ж и грамм являются решениями уравнения, то любые линейная комбинация аф + bg это слишком.

В приборостроении линейность означает, что данное изменение входной переменной дает такое же изменение выходного сигнала измерительного устройства: это очень желательно в научной работе. В общем, инструменты близки к линейным в определенном диапазоне и наиболее полезны в этом диапазоне. Напротив, человеческие чувства очень нелинейны: например, мозг полностью игнорирует приходящий свет, если он не превышает определенного абсолютный порог количество фотонов.

Электроника

В электроника, линейная рабочая область устройства, например транзистор, это где зависимая переменная (например, коллектор транзистора Текущий ) прямо пропорциональный для независимая переменная (например, базовый ток). Это гарантирует, что аналоговый выход является точным представлением входа, обычно с более высокой амплитудой (усиленный). Типичным примером линейного оборудования является высокая точность аудио усилитель, который должен усиливать сигнал без изменения его формы волны. Другие линейные фильтры, линейные регуляторы, и линейные усилители в целом.

В большинстве научный и технологический в отличие от математических приложений, что-то может быть описано как линейное, если характеристика является приблизительно, но не совсем прямой линией; и линейность может быть действительной только в определенной рабочей области - например, усилитель с высоким качеством воспроизведения может искажать слабый сигнал, но достаточно мало, чтобы быть приемлемым (приемлемая, но несовершенная линейность); и может очень сильно искажаться, если ввод превышает определенное значение.^[4]

Интегральная линейность

Для электронного устройства (или другого физического устройства), которое преобразует количество в другое количество, Бертрам С. Кольтс пишет:^[5]^[6]

Обычно используются три основных определения интегральной линейности: независимая линейность, линейность с отсчетом от нуля и конечная, или конечная точка, линейность. В каждом случае линейность определяет, насколько фактическая производительность устройства в указанном рабочем диапазоне приближается к прямой. Линейность обычно измеряется в единицах отклонения или нелинейности от идеальной прямой линии и обычно выражается в процентах от полная шкала, или в ppm (миллионных долях) полной шкалы. Обычно прямую линию получают путем аппроксимации данных методом наименьших квадратов. Эти три определения различаются по способу расположения прямой линии относительно фактических характеристик устройства. Кроме того, все три из этих определений игнорируют любые ошибки усиления или смещения, которые могут присутствовать в фактических рабочих характеристиках устройства.

Военно-тактические соединения

В военно-тактические формирования, «линейные образования» были адаптированы, исходя из фаланговидных образований щука защищен ручным огнестрельным оружием, по отношению к неглубоким группам стрелков, защищенных все меньшим количеством копий. Этот вид формации становился все тоньше, пока не достиг своего предела в эпоху Веллингтона.Тонкая красная линия '. В конечном итоге он был заменен на приказ о перестрелке когда изобретение казенник винтовка позволяли солдатам передвигаться и вести огонь небольшими мобильными подразделениями, не поддерживаемыми крупными формированиями любой формы.

Изобразительное искусство

Линейный одна из пяти категорий, предложенных швейцарским искусствоведом Генрих Вельфлин отличить "Классический", или Искусство эпохи Возрождения, от Барокко. Согласно Вёльфлину, художники пятнадцатого и начала шестнадцатого веков (Леонардо да Винчи, Рафаэль или же Альбрехт Дюрер ) более линейны, чем "живописно «Художники эпохи барокко XVII века (Питер Пауль Рубенс, Рембрандт, и Веласкес ), потому что они в основном используют контур для создания форма.^[7] На линейность в искусстве можно также сослаться в цифровое искусство. Например, гипертекстовая фантастика может быть примером нелинейное повествование, но есть также веб-сайты, разработанные так, чтобы они работали определенным, организованным образом, следуя линейному пути.

Музыка

В музыке линейный аспект. последовательность, либо интервалы или же мелодия, в отличие от одновременность или вертикальный аспект.

Измерение

При измерении термин «линейный фут» относится к количеству футов на прямой линии материала (такого как брус или ткань), как правило, без учета ширины. Иногда это неправильно называют «прямой ногой»; тем не менее, «lineal» обычно используется для обозначения линий происхождения или наследственности.[1]

Смотрите также

внешняя ссылка

Словарное определение линейность в Викисловарь

[1] Эдвардс, Гарольд М. (1995). Линейная алгебра. Springer. п. 78. ISBN 9780817637316.

[2] Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансцендентальные теории, 6-е изд., Обучение Бруксу Коулу Сениджэджу. ISBN 978-0-495-01166-8, Раздел 1.2

[3] Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998], Уравнения с частными производными (PDF), Аспирантура по математике, 19 (2-е изд.), Providence, R.I .: Американское математическое общество, Дои:10,1090 / г / м2 / 019, ISBN 978-0-8218-4974-3, МИСТЕР 2597943

[Whitaker-4] Уитакер, Джерри К. (2002). Справочник по системам передачи РЧ. CRC Press. ISBN 978-0-8493-0973-1.

[5] Кольтс, Бертрам С. (2005). «Понимание линейности и монотонности» (PDF). analogZONE. Архивировано из оригинал (PDF) 4 февраля 2012 г.. Получено 24 сентября, 2014.

[6] Кольц, Бертрам С. (2005). «Понимание линейности и монотонности». Зарубежная электронная измерительная техника. 24 (5): 30–31. Получено 25 сентября, 2014.

[7] Вельфлин, Генрих (1950). Хоттингер, доктор медицины (ред.). Основы истории искусства: проблема развития стиля в позднем искусстве. Нью-Йорк: Дувр. стр.18–72.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]