Псевдовектор - Pseudovector

Проволочная петля (черная), несущая текущий я, создает магнитное поле B (синий). Если положение и ток провода отражаются в плоскости, обозначенной пунктирной линией, создаваемое магнитное поле будет не отражаться: вместо этого он будет отражен и наоборот. Положение провода и его ток являются "истинными" векторами, но магнитное поле B псевдовектор.^[1]

В физика и математика, а псевдовектор (или осевой вектор) - величина, преобразующаяся как вектор под надлежащим вращение, но в трех измерениях получает дополнительный переворот знака под неправильное вращение например, отражение. Геометрически направление отраженного псевдовектора противоположно его направлению. зеркальное изображение, но с равной величиной. Напротив, отражение правда (или полярный) вектор точно такой же, как его зеркальное отображение.

В трех измерениях псевдовектор связан с завиток полярного вектора или с перекрестное произведение двух полярных векторов:^[2]

Одним из примеров псевдовектора является нормаль к ориентированному самолет. Ориентированная плоскость может быть определена двумя непараллельными векторами, а и б,^[3] которые охватывают самолет. Вектор а × б нормаль к плоскости (есть две нормали, по одной с каждой стороны - правило правой руки определит, какой), и является псевдовектором. Это имеет последствия в компьютерной графике, где это необходимо учитывать, когда преобразование нормалей поверхности.

Ряд величин в физике ведут себя как псевдовекторы, а не полярные векторы, в том числе магнитное поле и угловая скорость. В математике псевдовекторы эквивалентны трехмерным бивекторы, из которого могут быть получены правила преобразования псевдовекторов. В более общем плане в п-размерный геометрическая алгебра псевдовекторами являются элементы алгебры размерности п − 1, написано ⋀^п−1р^п. Ярлык "псевдо" можно обобщить на псевдоскаляры и псевдотензоры, оба из которых получают дополнительный переворот знака при неправильном повороте по сравнению с истинным скаляр или тензор.

Физические примеры

Физические примеры псевдовекторов включают: крутящий момент,^[3] угловая скорость, угловой момент,^[3] магнитное поле,^[3] и магнитный дипольный момент.

Каждое колесо машины слева, движущейся от наблюдателя, имеет псевдовектор углового момента, направленный влево. То же самое и с зеркальным отображением автомобиля. Тот факт, что стрелки указывают в одном направлении, а не являются зеркальным отображением друг друга, указывает на то, что они являются псевдовекторами.

Рассмотрим псевдовектор угловой момент L = р × п. Когда вы едете в машине и смотрите вперед, каждое колесо имеет вектор углового момента, направленный влево. Если мир отражается в зеркале, которое переключает левую и правую стороны автомобиля, «отражение» этого «вектора» углового момента (рассматриваемого как обычный вектор) указывает вправо, но актуальный Вектор углового момента колеса (которое все еще вращается вперед в отражении) все еще указывает влево, что соответствует дополнительному перевороту знака в отражении псевдовектора.

Различие между полярными векторами и псевдовекторами становится важным для понимания влияние симметрии на решение физических систем. Рассмотрим контур электрического тока в z = 0 плоскости, которая внутри петли создает магнитное поле, ориентированное в z направление. Эта система симметричный (инвариантный) относительно зеркальных отражений через эту плоскость, при этом магнитное поле не изменяется в результате отражения. Но можно ожидать, что отражение магнитного поля в виде вектора через эту плоскость обратит его; это ожидание корректируется осознанием того, что магнитное поле является псевдовектором, и дополнительный переворот знака оставляет его неизменным.

В физике псевдовекторы обычно возникают в результате перекрестное произведение двух полярных векторов или завиток полярного векторного поля. Перекрестное произведение и локон определяются по соглашению в соответствии с правилом правой руки, но с тем же успехом их можно было бы определить в терминах правила левой руки. Вся физика, которая имеет дело с (правосторонними) псевдовекторами и правилом правой руки, может быть без проблем заменена использованием (левых) псевдовекторов и правила левой руки. Определенные таким образом (левые) псевдовекторы будут противоположны по направлению тем, которые определены правилом правой руки.

В то время как векторные отношения в физике могут быть выражены безкоординатным образом, система координат необходима для выражения векторов и псевдовекторов в виде числовых величин. Векторы представлены как упорядоченные тройки чисел: например, ${ displaystyle mathbf {a} = (a_ {x}, a_ {y}, a_ {z})}$, как и псевдовекторы. При преобразовании между левой и правой системами координат представления псевдовекторов не преобразуются как векторы, и обработка их как векторных представлений приведет к неправильному изменению знака, поэтому необходимо следить за тем, какие упорядоченные триплеты представляют векторы, и которые представляют собой псевдовекторы. Эта проблема не существует, если перекрестное произведение двух векторов заменить на внешний продукт двух векторов, что дает бивектор который является тензором 2-го ранга и представлен матрицей 3x3. Это представление 2-тензора правильно преобразуется между любыми двумя системами координат, независимо от их направленности.

подробности

Определение «вектора» в физике (включая как полярные векторы, так и псевдовекторы) более конкретное, чем математическое определение «вектора» (а именно, любой элемент абстрактного векторное пространство ). Согласно определению физики, "вектор" должен иметь компоненты которые "трансформируются" определенным образом под правильное вращение: В частности, если бы все во Вселенной вращалось, вектор вращался бы точно так же. (Система координат фиксируется в этом обсуждении; другими словами, это перспектива активные преобразования.) Математически, если все во Вселенной совершает вращение, описываемое матрица вращения р, так что вектор смещения Икс преобразован в Икс′ = рИкс, то любой "вектор" v должен быть аналогичным образом преобразован в v′ = рv. Это важное требование отличает вектор (который может состоять, например, из Икс-, у-, и z-компоненты скорость ) из любой другой тройки физических величин (например, длина, ширина и высота прямоугольного блока не можешь считаться тремя компонентами вектора, поскольку вращение прямоугольника не приводит к надлежащему преобразованию этих трех компонентов.)

(На языке дифференциальная геометрия, это требование эквивалентно определению вектор быть тензор из контравариантный ранг один. Тогда псевдовектор - это ковариантный тензор первого ранга. В этой более общей структуре тензоры более высокого ранга могут также иметь произвольное множество и одновременно смешанные ковариантные и контравариантные ранги, обозначенные повышенными и пониженными индексами в пределах Соглашение о суммировании Эйнштейна.

Базовым и довольно конкретным примером является пример векторов строк и столбцов при обычном операторе умножения матриц: в одном порядке они дают скалярное произведение, которое является просто скаляром и как таковой тензор нулевого ранга, в то время как в другом они дают диадический продукт, которая представляет собой матрицу, представляющую смешанный тензор второго ранга с одним контравариантным и одним ковариантным индексами. Таким образом, некоммутативность стандартной матричной алгебры может использоваться для отслеживания различия между ковариантными и контравариантными векторами. Фактически, именно так велась бухгалтерия до того, как появились более формальные и обобщенные тензорные обозначения. Он по-прежнему проявляется в том, как базисные векторы общих тензорных пространств выставляются для практического использования.)

Обсуждение до сих пор относится только к собственному вращению, то есть вращению вокруг оси. Однако можно также рассмотреть неправильные вращения, т.е. зеркальное отражение, возможно, с последующим собственным вращением. (Одним из примеров неправильного вращения является инверсия через точку в трехмерном пространстве.) Предположим, что все во Вселенной совершает неправильное вращение, описываемое неправильной матрицей вращения р, так что вектор положения Икс преобразован в Икс′ = рИкс. Если вектор v - полярный вектор, он преобразуется в v′ = рv. Если это псевдовектор, он преобразуется в v′ = −рv.

Правила преобразования полярных векторов и псевдовекторов можно компактно сформулировать как

${ displaystyle { begin {align} mathbf {v} '& = R mathbf {v} && { text {(полярный вектор)}} mathbf {v}' & = ( det R) ( R mathbf {v}) && { text {(псевдовектор)}} end {выровнен}}}$

где символы такие, как описано выше, а матрица вращения р может быть правильным или неправильным. Символ det обозначает детерминант; эта формула работает, потому что определитель матрицы правильного и неправильного вращения равен +1 и −1 соответственно.

Поведение при сложении, вычитании, скалярном умножении

Предположим v₁ и v₂ - известные псевдовекторы, и v₃ определяется как их сумма, v₃ = v₁ + v₂. Если Вселенная преобразована матрицей вращения р, тогда v₃ преобразован в

${ displaystyle { begin {align} mathbf {v_ {3}} '= mathbf {v_ {1}}' + mathbf {v_ {2}} '& = ( det R) (R mathbf { v_ {1}}) + ( det R) (R mathbf {v_ {2}}) & = ( det R) (R ( mathbf {v_ {1}} + mathbf {v_ {2) }})) = ( det R) (R mathbf {v_ {3}}). end {выравнивается}}}$

Так v₃ тоже псевдовектор. Точно так же можно показать, что разница между двумя псевдовекторами является псевдовектором, что сумма или разность двух полярных векторов является полярным вектором, что умножение полярного вектора на любое действительное число дает другой полярный вектор и что умножение псевдовектора на любое действительное число число дает еще один псевдовектор.

С другой стороны, предположим v₁ известен как полярный вектор, v₂ известен как псевдовектор, и v₃ определяется как их сумма, v₃ = v₁ + v₂. Если Вселенная преобразована неправильной матрицей вращения р, тогда v₃ преобразован в

${ displaystyle mathbf {v_ {3}} '= mathbf {v_ {1}}' + mathbf {v_ {2}} '= (R mathbf {v_ {1}}) + ( det R) (R mathbf {v_ {2}}) = R ( mathbf {v_ {1}} + ( det R) mathbf {v_ {2}}).}$

Следовательно, v₃ не является ни полярным вектором, ни псевдовектором (хотя по определению физики он все еще является вектором). При неправильном вращении v₃ в целом даже не сохраняет ту же величину:

${ displaystyle | mathbf {v_ {3}} | = | mathbf {v_ {1}} + mathbf {v_ {2}} |, { text {but}} left | mathbf {v_ {3 }} ' right | = left | mathbf {v_ {1}}' - mathbf {v_ {2}} ' right |}$.

Если величина v₃ должны были описать измеримую физическую величину, это означало бы, что законы физики не казались бы такими же, если бы Вселенная рассматривалась в зеркале. Фактически, именно это и происходит в слабое взаимодействие: Некоторые радиоактивные распады по-разному трактуют «левый» и «правый», явление, которое можно проследить как суммирование полярного вектора с псевдовектором в основной теории. (Видеть нарушение четности.)

Поведение при перекрестных произведениях

При инверсии два вектора меняют знак, но их перекрестное произведение инвариантно [черные - два исходных вектора, серый - инвертированные векторы, а красный - их взаимное перекрестное произведение].

Для матрицы вращения рСледующее математическое уравнение, правильное или неправильное, всегда верно:

${ displaystyle (R mathbf {v_ {1}}) times (R mathbf {v_ {2}}) = ( det R) (R ( mathbf {v_ {1}} times mathbf {v_) {2}}))}$,

где v₁ и v₂ - любые трехмерные векторы. (Это уравнение может быть доказано либо с помощью геометрического аргумента, либо с помощью алгебраических вычислений.)

Предположим v₁ и v₂ - известные полярные векторы, и v₃ определяется как их перекрестный продукт, v₃ = v₁ × v₂. Если Вселенная преобразована матрицей вращения р, тогда v₃ преобразован в

${ displaystyle mathbf {v_ {3}} '= mathbf {v_ {1}}' times mathbf {v_ {2}} '= (R mathbf {v_ {1}}) times (R mathbf {v_ {2}}) = ( det R) (R ( mathbf {v_ {1}} times mathbf {v_ {2}})) = ( det R) (R mathbf {v_ { 3}}).}$

Так v₃ псевдовектор. Аналогично можно показать:

• полярный вектор × полярный вектор = псевдовектор
• псевдовектор × псевдовектор = псевдовектор
• полярный вектор × псевдовектор = полярный вектор
• псевдовектор × полярный вектор = полярный вектор

Это изоморфно сложению по модулю 2, где «полярный» соответствует 1, а «псевдо» - 0.

Примеры

Из определения ясно, что вектор смещения - это полярный вектор. Вектор скорости - это вектор смещения (полярный вектор), деленный на время (скаляр), так же как и полярный вектор. Точно так же вектор импульса - это вектор скорости (полярный вектор), умноженный на массу (скаляр), как и полярный вектор. Угловой момент - это произведение смещения (полярный вектор) и импульса (полярный вектор), и поэтому он является псевдовектором. Продолжая этот путь, легко классифицировать любой из общих векторов в физике либо как псевдовектор, либо как полярный вектор. (В теории слабых взаимодействий есть векторы, нарушающие четность, которые не являются ни полярными векторами, ни псевдовекторами. Однако в физике они встречаются очень редко.)

Правило правой руки

Выше были рассмотрены псевдовекторы с использованием активные преобразования. Альтернативный подход, больше похожий на пассивные преобразования, чтобы сохранить вселенную, но переключить "правило правой руки "с" правилом левой руки "везде в математике и физике, в том числе в определении перекрестное произведение. Любой полярный вектор (например, вектор трансляции) не изменился бы, но псевдовекторы (например, вектор магнитного поля в точке) поменяли бы знаки. Тем не менее, не было бы никаких физических последствий, кроме нарушающий четность такие явления, как определенные радиоактивные распады.^[4]

Формализация

Один из способов формализации псевдовекторов следующий: если V является п-размерный векторное пространство, потом псевдовектор из V является элементом (п - 1) -й внешняя сила из V: ⋀^п−1(V). Псевдовекторы V образуют векторное пространство с той же размерностью, что и V.

Это определение не эквивалентно тому, что требует смены знака при неправильном повороте, но является общим для всех векторных пространств. В частности, когда п четный, такой псевдовектор не испытывает переворота знака, и когда характеристика лежащих в основе поле из V равно 2, переворот знака не действует. В остальном определения эквивалентны, хотя следует иметь в виду, что без дополнительной структуры (в частности, либо объемная форма или ориентация ) естественного отождествления ⋀^п−1(V) с участием V.

Геометрическая алгебра

В геометрическая алгебра базовыми элементами являются векторы, и они используются для построения иерархии элементов с использованием определений продуктов в этой алгебре. В частности, алгебра строит псевдовекторы из векторов.

Основное умножение в геометрической алгебре - это геометрический продукт, обозначается простым сопоставлением двух векторов, как в ab. Этот продукт выражается как:

${ Displaystyle mathbf {ab} = mathbf {a cdot b} + mathbf {a wedge b} ,}$

где главный член - это обычный вектор скалярное произведение а второй член называется клин. Используя постулаты алгебры, можно оценить все комбинации точечных и клиновидных произведений. Предоставляется терминология для описания различных комбинаций. Например, многовекторный представляет собой сумму kскладные клиновые изделия различных k-ценности. А k-складчатое изделие-клин также называется k-лезвие.

В данном контексте псевдовектор одна из этих комбинаций. Этот термин относится к разным мультивекторам в зависимости от Габаритные размеры пространства (то есть количество линейно независимый векторы в пространстве). В трех измерениях обычно используются 2 лезвия или бивектор может быть выражена как произведение двух векторов и является псевдовектором.^[5] Однако в четырех измерениях псевдовекторы тривекторы.^[6] В общем, это (п − 1)-клинок, где п это размерность пространства и алгебры.^[7] An п-мерное пространство имеет п базисные векторы, а также п базисные псевдовекторы. Каждый базисный псевдовектор формируется из внешнего (клинового) произведения всех, кроме одного, п базисные векторы. Например, в четырех измерениях, где базисными векторами считаются {е₁, е₂, е₃, е₄}, псевдовекторы можно записать как: {е₂₃₄, е₁₃₄, е₁₂₄, е₁₂₃}.

Трансформации в трех измерениях

Трансформационные свойства псевдовектора в трех измерениях сравнивались со свойствами преобразования. векторное произведение пользователя Baylis.^[8] Он говорит: «Условия осевой вектор и псевдовектор часто рассматриваются как синонимы, но весьма полезно иметь возможность отличить бивектор от двойственного ». Перефразируя Бейлиса: даны два полярных вектора (то есть истинные векторы) а и б в трех измерениях, перекрестное произведение, составленное из а и б вектор, нормальный к их плоскости, заданный формулой c = а × б. Учитывая набор правосторонних ортонормированных базисные векторы { е_ℓ }, перекрестное произведение выражается с точки зрения его компонентов как:

${ displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} = left (a ^ {2} b ^ {3} -a ^ {3} b ^ {2} right) mathbf {e} _ { 1} + left (a ^ {3} b ^ {1} -a ^ {1} b ^ {3} right) mathbf {e} _ {2} + left (a ^ {1} b ^ {2} -a ^ {2} b ^ {1} right) mathbf {e} _ {3},}$

где верхний индекс обозначает компоненты вектора. С другой стороны, плоскость двух векторов представлена внешний продукт или клиновое изделие, обозначаемое а ∧ б. В контексте геометрической алгебры это бивектор называется псевдовектором и является Ходж Дуал перекрестного произведения.^[9] В двойной из е₁ вводится как е₂₃ ≡ е₂е₃ = е₂ ∧ е₃, и так далее. То есть двойственное е₁ - подпространство, перпендикулярное е₁, а именно подпространство, натянутое на е₂ и е₃. С этим пониманием,^[10]

${ displaystyle mathbf {a} wedge mathbf {b} = left (a ^ {2} b ^ {3} -a ^ {3} b ^ {2} right) mathbf {e} _ { 23} + left (a ^ {3} b ^ {1} -a ^ {1} b ^ {3} right) mathbf {e} _ {31} + left (a ^ {1} b ^ {2} -a ^ {2} b ^ {1} right) mathbf {e} _ {12} .}$

Подробнее см. Звездный оператор Ходжа § Трехмерный. Поперечное произведение и произведение клина связаны между собой:

${ Displaystyle mathbf {a} клин mathbf {b} = { mathit {i}} mathbf {a} times mathbf {b} ,}$

где я = е₁ ∧ е₂ ∧ е₃ называется псевдоскалярный модуль.^[11][12] Он имеет свойство:^[13]

${ displaystyle { mathit {i}} ^ {2} = - 1 .}$

Используя приведенные выше соотношения, видно, что если векторы а и б инвертируются путем изменения знаков их компонентов, оставляя фиксированные базисные векторы, и псевдовектор, и кросс-произведение остаются неизменными. С другой стороны, если компоненты фиксированы и базисные векторы е_ℓ инвертируются, то псевдовектор инвариантен, но перекрестное произведение меняет знак. Такое поведение перекрестных произведений согласуется с их определением как векторных элементов, которые меняют знак при преобразовании из правой системы координат в левую, в отличие от полярных векторов.

Примечание по использованию

В качестве отступления можно отметить, что не все авторы в области геометрической алгебры используют термин псевдовектор, а некоторые авторы следуют терминологии, которая не делает различия между псевдовектором и перекрестным произведением.^[14] Однако, поскольку перекрестное произведение не обобщается только на три измерения,^[15]понятие псевдовектора, основанное на перекрестном произведении, также не может быть распространено на пространство любого другого числа измерений. Псевдовектор как (п – 1)-клинок в п-мерное пространство таким образом не ограничивается.

Еще одно важное замечание: псевдовекторы, несмотря на свое название, являются «векторами» в том смысле, что они являются элементами векторное пространство. Идея о том, что «псевдовектор отличается от вектора», верна только при другом и более конкретном определении термина «вектор», как обсуждалось выше.

Смотрите также

• Алгебра грассмана
• Алгебра Клиффорда
• Противовоспалительное средство, обобщение псевдовектора в алгебре Клиффорда
• Ориентация (математика) - Описание ориентированных пространств, необходимых для псевдовекторов.
• Ориентируемость - Обсуждение неориентируемых пространств.
• Тензорная плотность

Примечания

использованная литература