Объемный интеграл - Volume integral

В математика (особенно многомерное исчисление ), а объемный интеграл относится к интеграл через 3-х мерный домен; то есть это частный случай кратные интегралы. Объемные интегралы особенно важны в физика для многих приложений, например, для расчета поток плотности.

В координатах

Это также может означать тройной интеграл в пределах региона ${ Displaystyle D подмножество mathbb {R} ^ {3}}$ из функция ${ Displaystyle е (х, у, г),}$ и обычно записывается как:

{ Displaystyle iiint _ {D} е (х, y, z) , dx , dy , dz.}

Интеграл объема в цилиндрические координаты является

{ displaystyle iiint _ {D} е ( rho, varphi, z) rho , d rho , d varphi , dz,}

и интеграл по объему в сферические координаты (используя соглашение ISO для углов с ${ displaystyle varphi}$ как азимут и ${ displaystyle theta}$ измеряется от полярной оси (см. условности )) имеет вид

{ displaystyle iiint _ {D} f (r, theta, varphi) r ^ {2} sin theta , dr , d theta , d varphi.}

Пример 1

Интегрируя уравнение ${ displaystyle f (x, y, z) = 1}$ над единичным кубом дает следующий результат:

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} 1 , dx , dy , dz = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} (1-0) , dy , dz = int _ {0} ^ {1} (1-0) dz = 1-0 = 1}

Таким образом, объем единичного куба равен 1, как и ожидалось. Однако это довольно тривиально, а интеграл по объему гораздо более эффективен. Например, если у нас есть скалярная функция плотности на единичном кубе, то интеграл по объему даст полную массу куба. Например, для функции плотности:

{ displaystyle { begin {cases} f: mathbb {R} ^ {3} to mathbb {R} (x, y, z) longmapsto x + y + z end {cases}}}

общая масса куба:

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} (x + y + z) , dx , dy , dz = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} left ({ frac {1} {2}} + y + z right) , dy , dz = int _ {0} ^ {1} (1 + z) , dz = { frac {3} {2}}}

Объемный интеграл - Volume integral

Содержание

В координатах

Пример 1

Смотрите также

внешняя ссылка