Теорема о градиенте - Gradient theorem

В градиентная теорема, также известный как основная теорема исчисления для линейных интегралов, говорит, что линейный интеграл через поле градиента можно оценить, оценив исходное скалярное поле в конечных точках кривой. Теорема является обобщением основная теорема исчисления к любой кривой на плоскости или в пространстве (обычно п-размерный), а не просто реальная линия.

Позволять $φ : U \subseteq ℝ п \to ℝ$ - непрерывно дифференцируемая функция и $γ$ любая кривая в U который начинается в $п$ и заканчивается в $q$ . потом

{displaystyle int _ {gamma} abla varphi (mathbf {r}) cdot mathrm {d} mathbf {r} = varphi left (mathbf {q} ight) -varphi left (mathbf {p} ight)}

(куда $\nabla φ$ обозначает градиентное векторное поле $φ$ ).

Из градиентной теоремы следует, что линейные интегралы через градиентные поля равны независимый от пути. В физике эта теорема - один из способов определения консервативный сила. Поместив $φ$ как потенциал, $\nabla φ$ это консервативное поле. Работа Выполнение консервативными силами не зависит от пути, по которому следует объект, а только от конечных точек, как показывает приведенное выше уравнение.

Теорема градиента также имеет интересное обратное: любое независимое от пути векторное поле может быть выражено как градиент скалярное поле. Как и сама градиентная теорема, это обратное имеет множество поразительных следствий и приложений как в чистой, так и в прикладной математике.

Доказательство

Если $φ$ это дифференцируемая функция от некоторых открытое подмножество $U$ (из $ℝ п$ ) к $ℝ$ , и если $р$ является дифференцируемой функцией от некоторой замкнутой интервал $[а, б]$ к $U$ , то по правило многомерной цепочки, то составная функция $φ \circ р$ дифференцируема на $(а, б)$ и

{displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} (varphi circ mathbf {r}) (t) = abla varphi (mathbf {r} (t)) cdot mathbf {r} '(t) }

для всех $т$ в $(а, б)$ . Здесь $\cdot$ обозначает обычный внутренний продукт.

Теперь предположим, что домен $U$ из $φ$ содержит дифференцируемую кривую $γ$ с конечными точками $а$ и $б$ , (ориентированный в направлении от $а$ к $б$ ). Если $р$ параметризует $γ$ за $т$ в $[а, б]$ , то из приведенного выше видно, что ^[1]

{displaystyle {egin {выравнивается} int _ {gamma} abla varphi (mathbf {u}) cdot mathrm {d} mathbf {u} & = int _ {a} ^ {b} abla varphi (mathbf {r} (t) ) cdot mathbf {r} '(t) mathrm {d} t & = int _ {a} ^ {b} {frac {d} {dt}} varphi (mathbf {r} (t)) mathrm {d} t = varphi (mathbf {r} (b)) - varphi (mathbf {r} (a)) = varphi left (mathbf {q} ight) -varphi left (mathbf {p} ight), end {выровнено}}}

где определение линейного интеграла используется в первом равенстве, а основная теорема исчисления используется в третьем равенстве

Примеры

Пример 1

Предполагать $γ \subset ℝ 2$ - дуга окружности, ориентированная против часовой стрелки от $(5, 0)$ к $(-4, 3)$ . С использованием определение линейного интеграла,

{displaystyle {egin {align} int _ {gamma} y, mathrm {d} x + x, mathrm {d} y & = int _ {0} ^ {pi - an ^ {- 1}! left ({frac {3 } {4}} ight)} ((5sin t) (- 5sin t) + (5cos t) (5cos t)), mathrm {d} t & = int _ {0} ^ {pi - an ^ {- 1}! Left ({frac {3} {4}} ight)} 25left (-sin ^ {2} t + cos ^ {2} tight) mathrm {d} t & = int _ {0} ^ {pi - an ^ {- 1}! left ({frac {3} {4}} ight)} 25cos (2t) mathrm {d} t = left. {frac {25} {2}} sin (2t) ight | _ {0} ^ {pi - an ^ {- 1}! Left ({frac {3} {4}} ight)} [. 5em] & = {frac {25} {2}} sin left (2pi -2 an ^ {- 1} !! left ({frac {3} {4}} ight) ight) [. 5em] & = - {frac {25} {2}} sin left (2 an ^ {- 1} !! left ({frac {3} {4}} ight) ight) = - {frac {25 (3/4)} {(3/4) ^ {2} +1}} = - 12.end {выровнено }}}

Этот результат можно получить гораздо проще, если заметить, что функция ${displaystyle f (x, y) = xy}$ имеет градиент ${displaystyle abla f (x, y) = (y, x)}$ , поэтому по теореме о градиенте:

{displaystyle int _ {gamma} y, mathrm {d} x + x, mathrm {d} y = int _ {gamma} abla (xy) cdot (mathrm {d} x, mathrm {d} y) = xy, | _ {(5,0)} ^ {(- 4,3)} = - 4cdot 3-5cdot 0 = -12.}

Пример 2

Для более абстрактного примера предположим $γ \subset ℝ п$ имеет конечные точки $п$ , $q$ , с ориентацией от $п$ к $q$ . За $ты$ в $ℝ п$ , позволять $| ты |$ обозначить Евклидова норма из $ты$ . Если $α \geq 1$ это действительное число, тогда

{displaystyle {egin {align} int _ {gamma} | mathbf {x} | ^ {alpha -1} mathbf {x} cdot mathrm {d} mathbf {x} & = {frac {1} {alpha +1}} int _ {gamma} (альфа +1) | mathbf {x} | ^ {(alpha +1) -2} mathbf {x} cdot mathrm {d} mathbf {x} & = {frac {1} {alpha + 1}} int _ {gamma} abla | mathbf {x} | ^ {alpha +1} cdot mathrm {d} mathbf {x} = {frac {| mathbf {q} | ^ {alpha +1} - | mathbf { p} | ^ {альфа +1}} {альфа +1}} конец {выровнено}}}

Здесь окончательное равенство следует из градиентной теоремы, поскольку функция $ж (Икс) = | Икс | α +1$ дифференцируема на $ℝ п$ если $α \geq 1$ .

Если $α < 1$ то это равенство будет по-прежнему выполняться в большинстве случаев, но следует соблюдать осторожность, если γ проходит через начало координат или охватывает его, поскольку подынтегральное векторное поле $| Икс | α - 1 Икс$ не будет там определено. Однако случай $α = -1$ несколько иначе; в этом случае подынтегральное выражение принимает вид $| Икс | -2 Икс = \nabla (журнал | Икс |)$ , так что окончательное равенство принимает вид $журнал | q | - журнал | п |$ .

Обратите внимание, что если $п = 1$ , то этот пример представляет собой лишь небольшой вариант знакомого правило власти из исчисления с одной переменной.

Пример 3

Предположим, есть $п$ точечные сборы расположены в трехмерном пространстве, а $я$ -й балл имеет обвинять $Q я$ и находится в позиции $п я$ в $ℝ 3$ . Мы хотели бы рассчитать работай сделано на частице заряда $q$ как он путешествует из точки $а$ в точку $б$ в $ℝ 3$ . С помощью Закон Кулона, легко определить, что сила на частице в позиции $р$ будет

{displaystyle mathbf {F} (mathbf {r}) = kqsum _ {i = 1} ^ {n} {frac {Q_ {i} (mathbf {r} -mathbf {p} _ {i})} {left | mathbf {r} -mathbf {p} _ {i} ight | ^ {3}}}}

Здесь $| ты |$ обозначает Евклидова норма вектора $ты$ в $ℝ 3$ , и $k = 1/(4 πε 0)$ , куда $ε 0$ это диэлектрическая проницаемость вакуума.

Позволять $γ \subset ℝ 3 - {п 1, ..., п п}$ - произвольная дифференцируемая кривая из $а$ к $б$ . Тогда работа, проделанная с частицей, равна

{displaystyle W = int _ {gamma} mathbf {F} (mathbf {r}) cdot mathrm {d} mathbf {r} = int _ {gamma} left (kqsum _ {i = 1} ^ {n} {frac { Q_ {i} (mathbf {r} -mathbf {p} _ {i})} {left | mathbf {r} -mathbf {p} _ {i} ight | ^ {3}}} ight) cdot mathrm {d } mathbf {r} = kqsum _ {i = 1} ^ {n} left (Q_ {i} int _ {gamma} {frac {mathbf {r} -mathbf {p} _ {i}} {left | mathbf { r} -mathbf {p} _ {i} ight | ^ {3}}} cdot mathrm {d} mathbf {r} ight)}

Теперь для каждого $я$ , прямой расчет показывает, что

{displaystyle {frac {mathbf {r} -mathbf {p} _ {i}} {left | mathbf {r} -mathbf {p} _ {i} ight | ^ {3}}} = - abla {frac {1 } {left | mathbf {r} -mathbf {p} _ {i} ight |}}.}

Таким образом, продолжая сверху и используя градиентную теорему,

{displaystyle W = -kqsum _ {i = 1} ^ {n} left (Q_ {i} int _ {gamma} abla {frac {1} {left | mathbf {r} -mathbf {p} _ {i} ight) |}} cdot mathrm {d} mathbf {r} ight) = kqsum _ {i = 1} ^ {n} Q_ {i} left ({frac {1} {left | mathbf {a} -mathbf {p} _ {i} ight |}} - {frac {1} {left | mathbf {b} -mathbf {p} _ {i} ight |}} ight)}

Мы закончили. Конечно, мы могли бы легко выполнить этот расчет, используя мощный язык электростатический потенциал или же электростатическая потенциальная энергия (по знакомым формулам $W = -Δ U = - q Δ V$ ). Однако у нас еще нет определенный потенциальная или потенциальная энергия, потому что разговаривать градиентной теоремы требуется, чтобы доказать, что это хорошо определенные дифференцируемые функции и что эти формулы верны (Смотри ниже ). Таким образом, мы решили эту проблему, используя только закон Кулона, определение работы и градиентную теорему.

Обратное к градиентной теореме

Градиентная теорема утверждает, что если векторное поле $F$ - градиент некоторой скалярной функции (т. е. если $F$ является консервативный ), тогда $F$ является независимым от путей векторным полем (т.е. интегралом от $F$ над некоторой кусочно-дифференцируемой кривой зависит только от концов). У этой теоремы есть сильное обратное:

Если $F$ является независимым от путей векторным полем, то $F$ - градиент некоторой скалярнозначной функции.^[2]

Несложно показать, что векторное поле не зависит от пути тогда и только тогда, когда интеграл векторного поля по каждому замкнутому контуру в его области равен нулю. Таким образом, обратное можно также сформулировать следующим образом: если интеграл от $F$ по каждому замкнутому циклу в области $F$ равно нулю, то $F$ - градиент некоторой скалярной функции.

Доказательство обратного
Предполагать $U$ является открыто, соединенный путём подмножество $ℝ п$ , и $F : U \to ℝ п$ это непрерывный и независимое от пути векторное поле. Исправить какой-то элемент $а$ из $U$ , и определим $ж : U \to ℝ$ к ${displaystyle f (mathbf {x}): = int _ {gamma [mathbf {a}, mathbf {x}]} mathbf {F} (mathbf {u}) cdot mathrm {d} mathbf {u}}$ Здесь $γ [а, Икс]$ - любая (дифференцируемая) кривая в $U$ происходящий из $а$ и заканчивается в $Икс$ . Мы знаем это $ж$ является четко определенный потому что $F$ не зависит от пути. Позволять $v$ - любой ненулевой вектор из $ℝ п$ . По определению производная по направлению, ${displaystyle {egin {выравнивается} {frac {partial f} {partial mathbf {v}}} (mathbf {x}) & = lim _ {t o 0} {frac {f (mathbf {x} + tmathbf {v}) ) -f (mathbf {x})} {t}} & = lim _ {t o 0} {frac {int _ {gamma [mathbf {a}, mathbf {x} + tmathbf {v}]} mathbf { F} (mathbf {u}) cdot mathrm {d} mathbf {u} -int _ {gamma [mathbf {a}, mathbf {x}]} mathbf {F} (mathbf {u}) cdot dmathbf {u}} {t}} & = lim _ {t o 0} {frac {1} {t}} int _ {gamma [mathbf {x}, mathbf {x} + tmathbf {v}]} mathbf {F} (mathbf {u}) cdot mathrm {d} mathbf {u} конец {выровнено}}}$ Чтобы вычислить интеграл в конечном пределе, мы должны параметризовать $γ [Икс, Икс + т v]$ . С $F$ не зависит от пути, $U$ открыто, и $т$ приближается к нулю, мы можем предположить, что этот путь является прямой линией, и параметризовать его как $ты (s) = Икс + s v$ за $0 < s < т$ . Теперь, поскольку $ты (s) = v$ , предел становится ${displaystyle lim _ {t o 0} {frac {1} {t}} int _ {0} ^ {t} mathbf {F} (mathbf {u} (s)) cdot mathbf {u} '(s), mathrm {d} s = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} int _ {0} ^ {t} mathbf {F} (mathbf {x} + smathbf {v}) cdot mathbf {v }, mathrm {d} s {igg \|} _ {t = 0} = mathbf {F} (mathbf {x}) cdot mathbf {v}}$ Таким образом, у нас есть формула для $\partial v ж$ , куда $v$ произвольно. Позволять $Икс = (Икс 1, Икс 2, ..., Икс п)$ и разреши $е я$ обозначить $я$ -го стандартный базисный вектор, так что ${displaystyle abla f (mathbf {x}) = {igg (} {frac {partial f (mathbf {x})} {partial x_ {1}}}, {frac {partial f (mathbf {x})} {partial x_ {2}}}, точки, {frac {partial f (mathbf {x})} {partial x_ {n}}} {igg)} = (mathbf {F} (mathbf {x}) cdot mathbf {e} _ {1}, mathbf {F} (mathbf {x}) cdot mathbf {e} _ {2}, dots, mathbf {F} (mathbf {x}) cdot mathbf {e} _ {n}) = mathbf { F} (mathbf {x})}$ Таким образом, мы нашли скалярную функцию $ж$ градиент которого является независимым от пути векторным полем $F$ , по желанию.^[2]

Пример обратного принципа

Чтобы проиллюстрировать силу этого обратного принципа, мы приводим пример, физический последствия. В классический электромагнетизм, то электрическая сила независимая от пути сила; то есть работай выполняется на частице, которая вернулась в исходное положение в пределах электрическое поле равно нулю (при условии, что не меняется магнитные поля присутствуют).

Следовательно, из приведенной выше теоремы следует, что электрическая силовое поле $F е : S \to ℝ 3$ консервативен (здесь $S$ есть некоторые открыто, соединенный путём подмножество $ℝ 3$ который содержит обвинять распределение). Следуя идеям приведенного выше доказательства, мы можем установить некоторую точку отсчета $а$ в $S$ , и определим функцию $U е : S \to ℝ$ к

{displaystyle U_ {e} (mathbf {r}): = - int _ {gamma [mathbf {a}, mathbf {r}]} mathbf {F} _ {e} (mathbf {u}) cdot mathrm {d} mathbf {u}}

Используя приведенное выше доказательство, мы знаем $U е$ хорошо определена и дифференцируема, и $F е = -\nabla U е$ (из этой формулы мы можем использовать градиентную теорему, чтобы легко вывести известную формулу для расчета работы, выполняемой консервативными силами: $W = -Δ U$ ). Эта функция $U е$ часто называют электростатическая потенциальная энергия системы сборов в $S$ (со ссылкой на нулевой потенциал $а$ ). Во многих случаях домен $S$ предполагается неограниченный и ориентир $а$ принимается за "бесконечность", что может быть сделано тщательный используя ограничивающие техники. Эта функция $U е$ незаменимый инструмент, используемый при анализе многих физических систем.

Обобщения

Многие критические теоремы векторного исчисления элегантно обобщаются на утверждения о интеграция дифференциальных форм на коллекторы. На языке дифференциальные формы и внешние производные, градиентная теорема утверждает, что

{displaystyle int _ {частичная гамма} phi = int _ {gamma} mathrm {d} phi}

для любого 0-форма, $ϕ$ , заданная на некоторой дифференцируемой кривой $γ \subset ℝ п$ (здесь интеграл от $ϕ$ через границу $γ$ понимается как оценка $ϕ$ в конечных точках γ).

Обратите внимание на поразительное сходство между этим утверждением и обобщенной версией Теорема Стокса, что говорит о том, что интеграл любого компактно поддерживается дифференциальная форма $ω$ над граница некоторых ориентируемый многообразие $Ω$ равен интегралу от своего внешняя производная $d ω$ по всему $Ω$ , т.е.

{displaystyle int _ {частичная Omega} omega = int _ {Omega} mathrm {d} omega}

Это мощное утверждение является обобщением градиентной теоремы от 1-форм, определенных на одномерных многообразиях, до дифференциальных форм, определенных на многообразиях произвольной размерности.

Обратное утверждение градиентной теоремы также имеет мощное обобщение в терминах дифференциальных форм на многообразиях. В частности, предположим $ω$ форма, определенная на договорный домен, а интеграл $ω$ над любым замкнутым многообразием равен нулю. Тогда существует форма $ψ$ такой, что $ω = d ψ$ . Таким образом, на стягиваемой области каждое закрыто форма точный. Этот результат резюмируется Лемма Пуанкаре.