Многомерное распределение Лапласа - Википедия - Multivariate Laplace distribution

Многомерный Лаплас (симметричный)

Параметры	μ ∈ рk — место расположения Σ ∈ рк × к — ковариация (положительно определенная матрица )
Поддерживать	Икс ∈ μ + промежуток (Σ) ⊆ рk
PDF	Если ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = mathbf {0}}$, ${ displaystyle { frac {2} {(2 pi) ^ {k / 2} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {0.5}}} left ({ frac { mathbf {x} ' { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}} {2}} right) ^ {v / 2} K_ {v} left ({ sqrt {2 mathbf {x} ' { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}}} right),}$ куда ${ Displaystyle v = (2-к) / 2}$ и ${ displaystyle K_ {v}}$ это модифицированная функция Бесселя второго рода.
Иметь в виду	μ
Режим	μ
Дисперсия	Σ
Асимметрия	0
CF	${ displaystyle { frac { exp (я { boldsymbol { mu}} ' mathbf {t})} {1 + { tfrac {1} {2}} mathbf {t}' { boldsymbol { Sigma}} mathbf {t}}}}$

Многомерный Лаплас (асимметричный)

Параметры	μ ∈ рk — место расположения Σ ∈ рк × к — ковариация (положительно определенная матрица )
Поддерживать	Икс ∈ μ + промежуток (Σ) ⊆ рk
PDF	${ displaystyle { frac {2e ^ { mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}}} {(2 pi) ^ { frac { k} {2}} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {0.5}}} { Big (} { frac { mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}} {2 + { boldsymbol { mu}} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}}} { Big)} ^ { frac {v} {2}} K_ {v} { Big (} { sqrt {(2 + { boldsymbol { mu}} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}) ( mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x})}} { Big)}}$ куда ${ Displaystyle v = (2-к) / 2}$ и ${ displaystyle K_ {v}}$ это модифицированная функция Бесселя второго рода.
Иметь в виду	μ
Дисперсия	Σ + μ ' μ
Асимметрия	ненулевой, если только μ=0
CF	${ displaystyle { frac {1} {1 + { tfrac {1} {2}} mathbf {t} '{ boldsymbol { Sigma}} mathbf {t} -i { boldsymbol { mu} } mathbf {t}}}}$

В математической теории вероятностей многомерные распределения Лапласа являются продолжением Распределение Лапласа и асимметричное распределение Лапласа к нескольким переменным. В маржинальные распределения симметричных многомерных переменных распределения Лапласа являются распределениями Лапласа. Маргинальные распределения асимметричных многомерных переменных распределения Лапласа являются асимметричными распределениями Лапласа.^[1]

Симметричное многомерное распределение Лапласа

Типичная характеристика симметричного многомерного распределения Лапласа имеет характеристическая функция:

${ displaystyle varphi (t; { boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}}) = { frac { exp (я { boldsymbol { mu}} ' mathbf {t}) } {1 + { tfrac {1} {2}} mathbf {t} '{ boldsymbol { Sigma}} mathbf {t}}},}$

куда ${ displaystyle { boldsymbol { mu}}}$ вектор средства для каждой переменной и ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}}}$ это ковариационная матрица.^[2]

в отличие от многомерное нормальное распределение, даже если ковариационная матрица имеет нулевой ковариация и корреляция переменные не независимы.^[1] Симметричное многомерное распределение Лапласа имеет вид эллиптический.^[1]

Функция плотности вероятности

Если ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = mathbf {0}}$, то функция плотности вероятности (pdf) для k-мерное многомерное распределение Лапласа принимает вид:

${ displaystyle f _ { mathbf {x}} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) = { frac {2} {(2 pi) ^ {k / 2} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {0.5}}} left ({ frac { mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}} {2}} right) ^ {v / 2} K_ {v} left ({ sqrt {2 mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}}} right),}$

куда:

${ Displaystyle v = (2-к) / 2}$ и ${ displaystyle K_ {v}}$ это модифицированная функция Бесселя второго рода.^[1]

В коррелированном двумерном случае, т. Е. k = 2, причем ${ Displaystyle му _ {1} = му _ {2} = 0}$ PDF-файл сокращается до:

${ displaystyle f _ { mathbf {x}} (x_ {1}, x_ {2}) = { frac {1} { pi sigma _ {1} sigma _ {2} { sqrt {1- rho ^ {2}}}}} K_ {0} left ({ sqrt { frac {2 left ({ frac {x_ {1} ^ {2}} { sigma _ {1} ^ { 2}}} - { frac {2 rho x_ {1} x_ {2}} { sigma _ {1} sigma _ {2}}} + { frac {x_ {2} ^ {2}} { sigma _ {2} ^ {2}}} right)} {1- rho ^ {2}}}} right),}$

куда:

${ displaystyle sigma _ {1}}$ и ${ displaystyle sigma _ {2}}$ являются Стандартное отклонение из ${ displaystyle x_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$соответственно и ${ displaystyle rho}$ это коэффициент корреляции из ${ displaystyle x_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$.^[1]

Для независимого двумерного случая Лапласа, то есть k = 2, ${ Displaystyle му _ {1} = му _ {2} = rho = 0}$ и ${ Displaystyle sigma _ {1} = sigma _ {2} = 1}$, PDF-файл становится:

${ displaystyle f _ { mathbf {x}} (x_ {1}, x_ {2}) = { frac {1} { pi}} K_ {0} left ({ sqrt {2 (x_ {1 } ^ {2} + x_ {2} ^ {2})}} right).}$^[1]

Асимметричное многомерное распределение Лапласа

Типичная характеристика асимметричного многомерного распределения Лапласа имеет вид характеристическая функция:

${ displaystyle varphi (t; { boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}}) = { frac {1} {1 + { tfrac {1} {2}} mathbf {t } '{ boldsymbol { Sigma}} mathbf {t} -i { boldsymbol { mu}} mathbf {t}}}.}$^[1]

Как и в случае с симметричным многомерным распределением Лапласа, асимметричное многомерное распределение Лапласа имеет среднее значение ${ displaystyle { boldsymbol { mu}}}$, но ковариация становится ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} + { boldsymbol { mu}} '{ boldsymbol { mu}}}$.^[3] Асимметричное многомерное распределение Лапласа не является эллиптическим, если только ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = mathbf {0}}$, и в этом случае распределение сводится к симметричному многомерному распределению Лапласа с ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = mathbf {0}}$.^[1]

В функция плотности вероятности (pdf) для k-мерное асимметричное многомерное распределение Лапласа:

${ displaystyle f _ { mathbf {x}} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) = { frac {2e ^ { mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}}} {(2 pi) ^ {k / 2} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {0.5}}} { Big (} { frac { mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}} {2 + { boldsymbol { mu}}' { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}}} { Big)} ^ {v / 2} K_ {v} { Big (} { sqrt {(2 + { boldsymbol { mu}} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}) ( mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x})}} { Big)} ,}$

куда:

${ Displaystyle v = (2-к) / 2}$ и ${ displaystyle K_ {v}}$ это модифицированная функция Бесселя второго рода.^[1]

Асимметричное распределение Лапласа, включая частный случай ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = mathbf {0}}$, является примером геометрическое устойчивое распределение.^[3] Он представляет собой предельное распределение для суммы независимые, одинаково распределенные случайные величины с конечной дисперсией и ковариацией, где количество суммируемых элементов само по себе является независимой случайной величиной, распределенной в соответствии с геометрическое распределение.^[1] Такие геометрические суммы могут возникать в практических приложениях в биологии, экономике и страховании.^[1] Распределение также может быть применимо в более широких ситуациях для моделирования многомерных данных с более тяжелыми хвостами, чем нормальное распределение, но конечным моменты.^[1]

Отношения между экспоненциальное распределение и Распределение Лапласа позволяет использовать простой метод моделирования двумерных асимметричных переменных Лапласа (в том числе для случая ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = mathbf {0}}$). Моделируйте двумерный нормальный вектор случайных величин ${ displaystyle mathbf {Y}}$ из раздачи с ${ Displaystyle му _ {1} = му _ {2} = 0}$ и ковариационная матрица ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}}}$. Независимо моделируйте экспоненциальные случайные величины W из распределения Exp (1). ${ displaystyle mathbf {X} = { sqrt {W}} mathbf {Y} + W { boldsymbol { mu}}}$ будет распределенным (асимметричным) двумерным Лапласом со средним ${ displaystyle { boldsymbol { mu}}}$ и ковариационная матрица ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}}}$.^[1]

Рекомендации