Матричное t-распределение - Matrix t-distribution

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Матричное t-распределение»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Апрель 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Матрица т

Обозначение	${ displaystyle { rm {T}} _ {n, p} ( nu, mathbf {M}, { boldsymbol { Sigma}}, { boldsymbol { Omega}})}$
Параметры	${ displaystyle mathbf {M}}$ место расположения (настоящий ${ Displaystyle п раз р}$ матрица ) ${ displaystyle { boldsymbol { Omega}}}$ шкала (положительно определенный настоящий ${ displaystyle p times p}$ матрица ) ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}}}$ шкала (положительно определенный настоящий ${ Displaystyle п раз п}$ матрица ) ${ displaystyle nu}$ степени свободы
Поддерживать	${ Displaystyle mathbf {X} in mathbb {R} ^ {п раз p}}$
PDF	${ displaystyle { frac { Gamma _ {p} left ({ frac { nu + n + p-1} {2}} right)} {( pi) ^ { frac {np} { 2}} Gamma _ {p} left ({ frac { nu + p-1} {2}} right)}} | { boldsymbol { Omega}} | ^ {- { frac {n } {2}}} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {- { frac {p} {2}}}}$ ${ displaystyle times left | mathbf {I} _ {n} + { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} ( mathbf {X} - mathbf {M}) { boldsymbol { Omega }} ^ {- 1} ( mathbf {X} - mathbf {M}) ^ { rm {T}} right | ^ {- { frac { nu + n + p-1} {2} }}}$
CDF	Нет аналитического выражения
Иметь в виду	${ displaystyle mathbf {M}}$ если ${ Displaystyle ню + п-п> 1}$, иначе undefined
Режим	${ displaystyle mathbf {M}}$
Дисперсия	${ displaystyle { frac {{ boldsymbol { Sigma}} otimes { boldsymbol { Omega}}} { nu -2}}}$ если ${ displaystyle nu> 2}$, иначе undefined
CF	Смотри ниже

В статистика, то матрица т-распределение (или же матрица варьируется т-распределение) является обобщением многомерный т-распределение от векторов к матрицы.^[1] Матрица т-распределение имеет те же отношения с многомерным т-распределение, которое матричное нормальное распределение делится с многомерное нормальное распределение.^{[требуется разъяснение ]} Например, матрица т-распределение составное распределение который является результатом выборки из нормального распределения матрицы, в результате которой ковариационная матрица нормальной матрицы была выбрана из обратное распределение Уишарта.^{[нужна цитата ]}

В Байесовский анализ из многомерная линейная регрессия модель на основе нормального распределения матрицы, матрица т-распределение апостериорное прогнозирующее распределение.

Определение

Для матрицы т-распределение, функция плотности вероятности в момент ${ displaystyle mathbf {X}}$ из ${ Displaystyle п раз р}$ пространство

${ displaystyle f ( mathbf {X}; nu, mathbf {M}, { boldsymbol { Sigma}}, { boldsymbol { Omega}}) = K times left | mathbf {I} _ {n} + { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} ( mathbf {X} - mathbf {M}) { boldsymbol { Omega}} ^ {- 1} ( mathbf {X} - mathbf {M}) ^ { rm {T}} right | ^ {- { frac { nu + n + p-1} {2}}},}$

где постоянная интегрирования K дан кем-то

${ displaystyle K = { frac { Gamma _ {p} left ({ frac { nu + n + p-1} {2}} right)} {( pi) ^ { frac {np } {2}} Gamma _ {p} left ({ frac { nu + p-1} {2}} right)}} | { boldsymbol { Omega}} | ^ {- { frac {n} {2}}} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {- { frac {p} {2}}}.}$

Здесь ${ displaystyle Gamma _ {p}}$ это многомерная гамма-функция.

В характеристическая функция и различные другие свойства могут быть получены из обобщенной матрицы т-распространение (см. ниже).

Обобщенная матрица т-распределение

Обобщенная матрица t

Обозначение	${ displaystyle { rm {T}} _ {n, p} ( alpha, beta, mathbf {M}, { boldsymbol { Sigma}}, { boldsymbol { Omega}})}$
Параметры	${ displaystyle mathbf {M}}$ место расположения (настоящий ${ Displaystyle п раз р}$ матрица ) ${ displaystyle { boldsymbol { Omega}}}$ шкала (положительно определенный настоящий ${ displaystyle p times p}$ матрица ) ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}}}$ шкала (положительно определенный настоящий ${ Displaystyle п раз п}$ матрица ) ${ Displaystyle альфа> (п-1) / 2}$ параметр формы ${ displaystyle beta> 0}$ параметр масштаба
Поддерживать	${ Displaystyle mathbf {X} in mathbb {R} ^ {п раз p}}$
PDF	${ displaystyle { frac { Gamma _ {p} ( alpha + n / 2)} {(2 pi / beta) ^ { frac {np} {2}} Gamma _ {p} ( альфа)}} | { boldsymbol { Omega}} | ^ {- { frac {n} {2}}} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {- { frac {p} {2} }}}$ ${ displaystyle times left | mathbf {I} _ {n} + { frac { beta} {2}} { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} ( mathbf {X} - mathbf {M}) { boldsymbol { Omega}} ^ {- 1} ( mathbf {X} - mathbf {M}) ^ { rm {T}} right | ^ {- ( alpha + n / 2)}}$ ${ displaystyle Gamma _ {p}}$ это многомерная гамма-функция.
CDF	Нет аналитического выражения
Иметь в виду	${ displaystyle mathbf {M}}$
Дисперсия	${ displaystyle { frac {2 ({ boldsymbol { Sigma}} otimes { boldsymbol { Omega}})} { beta (2 alpha -p-1)}}}$
CF	Смотри ниже

В обобщенная матрица т-распределение является обобщением матрицы т-распределение с двумя параметрами α и β на месте ν.^[2]

Это сводится к стандартной матрице т-распространение с ${ displaystyle beta = 2, alpha = { frac { nu + p-1} {2}}.}$

Обобщенная матрица т-распределение составное распределение что является результатом бесконечного смесь матричного нормального распределения с обратное многомерное гамма-распределение помещается над любой из его ковариационных матриц.

Характеристики

Если ${ displaystyle mathbf {X} sim { rm {T}} _ {n, p} ( alpha, beta, mathbf {M}, { boldsymbol { Sigma}}, { boldsymbol { Омега}})}$ тогда^{[нужна цитата ]}

${ Displaystyle mathbf {X} ^ { rm {T}} sim { rm {T}} _ {p, n} ( alpha, beta, mathbf {M} ^ { rm {T} }, { boldsymbol { Omega}}, { boldsymbol { Sigma}}).}.$

Указанное выше свойство исходит от Теорема сильвестра о детерминанте:

${ displaystyle det left ( mathbf {I} _ {n} + { frac { beta} {2}} { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} ( mathbf {X} - mathbf {M}) { boldsymbol { Omega}} ^ {- 1} ( mathbf {X} - mathbf {M}) ^ { rm {T}} right) =}$

${ displaystyle det left ( mathbf {I} _ {p} + { frac { beta} {2}} { boldsymbol { Omega}} ^ {- 1} ( mathbf {X} ^ { rm {T}} - mathbf {M} ^ { rm {T}}) { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} ( mathbf {X} ^ { rm {T}} - mathbf {M} ^ { rm {T}}) ^ { rm {T}} right).}$

Если ${ displaystyle mathbf {X} sim { rm {T}} _ {n, p} ( alpha, beta, mathbf {M}, { boldsymbol { Sigma}}, { boldsymbol { Омега}})}$ и ${ Displaystyle mathbf {A} (п раз п)}$ и ${ Displaystyle mathbf {B} (п раз р)}$ находятся невырожденные матрицы тогда^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle mathbf {AXB} sim { rm {T}} _ {n, p} ( alpha, beta, mathbf {AMB}, mathbf {A} { boldsymbol { Sigma}} mathbf {A} ^ { rm {T}}, mathbf {B} ^ { rm {T}} { boldsymbol { Omega}} mathbf {B}).}$

В характеристическая функция является^[2]

${ displaystyle phi _ {T} ( mathbf {Z}) = { frac { exp ({ rm {tr}} (я mathbf {Z} ' mathbf {M})) | { boldsymbol { Omega}} | ^ { alpha}} { Gamma _ {p} ( alpha) (2 beta) ^ { alpha p}}} | mathbf {Z} '{ boldsymbol { Sigma} } mathbf {Z} | ^ { alpha} B _ { alpha} left ({ frac {1} {2 beta}} mathbf {Z} '{ boldsymbol { Sigma}} mathbf {Z } { boldsymbol { Omega}} right),}$

куда

${ displaystyle B _ { delta} ( mathbf {WZ}) = | mathbf {W} | ^ {- delta} int _ { mathbf {S}> 0} exp left ({ rm { tr}} (- mathbf {SW} - mathbf {S ^ {- 1} Z}) right) | mathbf {S} | ^ {- delta - { frac {1} {2}} ( p + 1)} d mathbf {S},}$

и где ${ displaystyle B _ { delta}}$ это второй тип Функция Бесселя Герца^{[требуется разъяснение ]} матричного аргумента.

Смотрите также

• Многомерный т-распределение
• Матричное нормальное распределение

Примечания

внешняя ссылка

• Библиотека C ++ для генератора случайных матриц