Время попадания - Hitting time

При изучении случайные процессы в математика, а время удара (или же время первого удара) - это первый раз, когда данный процесс "попадает" в заданное подмножество пространства состояний. Время выхода и время возврата также являются примерами времени попадания.

Определения

Позволять Т быть заказанным набор индексов такой как натуральные числа, Nнеотрицательный действительные числа, [0, + ∞) или их подмножество; элементы т ∈ Т можно рассматривать как «времена». Учитывая вероятностное пространство (Ω, Σ, Pr) и a измеримое пространство состояний S, позволять Икс : Ω ×Т → S быть случайный процесс, и разреши А быть измеримое подмножество государственного пространства S. Тогда время первого удара τ_А : Ω → [0, + ∞] - это случайная переменная определяется

${displaystyle au _ {A} (omega): = inf {tin Tmid X_ {t} (omega) в A}.}$

В время первого выхода (из А) определяется как время первого обращения для S  А, то дополнять из А в S. Как ни странно, это также часто обозначается как τ_А.^[1]

В время первого возвращения определяется как время первого обращения к одиночка набор {Икс₀(ω)}, который обычно является заданным детерминированным элементом пространства состояний, например началом системы координат.

Примеры

• Любой время остановки время удачи для правильно выбранного процесса и набора целей. Это следует из обратного Теорема Дебю (Фишер, 2013).
• Позволять B обозначать стандарт Броуновское движение на реальная линия р начиная с начала координат. Тогда время удара τ_А удовлетворяет требованиям измеримости, чтобы быть временем остановки для каждого измеримого по Борелю множества А ⊆ р.
• За B как указано выше, пусть ${displaystyle au _ {r}}$ (${displaystyle r> 0}$) обозначают время первого выхода из интервала (-р, р), т.е. время первого совпадения для (−∞, -р] ∪ [р, + ∞). Тогда ожидаемое значение и отклонение из ${displaystyle au _ {r}}$ удовлетворить

${displaystyle operatorname {E} left [au _ {r} ight] = r ^ {2},}$

${displaystyle operatorname {Var} left [au _ {r} ight] = (2/3) r ^ {4}.}$

• За B как и выше, время попадания в единственную точку (отличную от начальной точки 0) имеет Распределение Леви.

Теорема Дебю

Время попадания в сет F также известен как дебют из F. Теорема Дебю утверждает, что время достижения измеримого множества F, для постепенно измеримый процесс, это время остановки. Постепенно измеримые процессы включают, в частности, все непрерывные справа и слева адаптированные процессы.Доказательство измеримости дебюта довольно сложное и включает в себя свойства аналитические множества. Теорема требует, чтобы лежащее в основе вероятностное пространство было полный или, по крайней мере, универсально завершенный.

В обратная теореме Дебю заявляет, что каждый время остановки определяется относительно фильтрация в реальном времени индекс может быть представлен временем срабатывания. В частности, практически для любого такого времени остановки существует адаптированный, невозрастающий процесс с путями càdlàg (RCLL), который принимает только значения 0 и 1, так что время достижения множества ${displaystyle {0}}$ этот процесс считается временем остановки. Доказательство очень простое.^[2]

Смотрите также

• Время остановки

Рекомендации