Параметризация распределений Коши Маккаллахом - Википедия - McCullaghs parametrization of the Cauchy distributions

В теория вероятности, стандарт" Распределение Коши это распределение вероятностей чей функция плотности вероятности (pdf) - это

${ Displaystyle е (х) = {1 над пи (1 + х ^ {2})}}$

за Икс настоящий. Это медиана 0, а также первый и третий квартили соответственно -1 и +1. Как правило, Распределение Коши любое распределение вероятностей, принадлежащее одному и тому же семья в масштабе местности как этот. Таким образом, если Икс имеет стандартное распределение Коши и μ любое действительное число и σ > 0, то Y = μ + σX имеет распределение Коши, медиана которого равна μ и чьи первый и третий квартили соответственно μ − σ и μ + σ.

Параметризация Маккаллаха, представлен Питер МакКаллах, профессор статистика на Чикагский университет, использует два параметра нестандартного распределения для формирования одного комплексного параметра, в частности, комплексное число θ = μ + я, куда я это мнимая единица. Он также расширяет обычный диапазон масштабного параметра, включая σ < 0.

Хотя параметр условно выражается с помощью комплексного числа, плотность по-прежнему является плотностью по реальной линии. В частности, плотность может быть записана с использованием параметров с действительным знаком μ и σ, каждый из которых может принимать положительные или отрицательные значения, как

${ Displaystyle е (х) = {1 над пи влево верт сигма вправо верт влево (1 + { гидроразрыва {(х- му) ^ {2}} { сигма ^ {2 }}}верно)},,}$

где распределение считается вырожденным, если σ = 0. Альтернативный вид плотности можно записать с помощью комплексного параметра θ = μ + я в качестве

${ Displaystyle е (х) = { влево верт им { тета} вправо верт над пи влево верт х- тета вправо верт ^ {2}} ,,}$

куда ${ Displaystyle Im { theta} = sigma}$.

На вопрос «Зачем вводить комплексные числа, когда только вещественные? случайные переменные вовлечены? », Маккаллах писал:

На этот вопрос я не могу дать лучшего ответа, чем представить любопытный результат, который

${ displaystyle Y ^ {*} = {aY + b over cY + d} sim C left ({a theta + b over c theta + d} right)}$

для всех действительных чисел а, б, c и d. ... индуцированное преобразование в пространстве параметров имеет ту же дробно-линейную форму, что и преобразование в пространстве выборки, только если пространство параметров принято как комплексная плоскость.

Другими словами, если случайная величина Y имеет распределение Коши с комплексным параметром θ, то случайная величина Y ^* определенное выше, имеет распределение Коши с параметром (aθ + б)/(cθ + d).

Маккаллах также писал: «Распределение первой точки выхода из верхней полуплоскости Броуновская частица начинается с θ - плотность Коши на вещественной прямой с параметром θ. »Кроме того, МакКуллах показывает, что комплексная параметризация позволяет установить простую связь между Коши и« круговым распределением Коши ».

Рекомендации

• Питер МакКаллах, «Условный вывод и модели Коши», Биометрика, том 79 (1992), страницы 247–259. PDF с домашней страницы McCullagh.