В комплексный анализ, Лемма Джордана результат, часто используемый в сочетании с теорема о вычетах оценить контурные интегралы и несобственные интегралы. Он назван в честь французского математика. Камилла Джордан.
Заявление
Рассмотрим сложный -значен, непрерывная функция ж, определенная по полукруглому контуру
![C_R = {R e ^ {i theta} mid theta in [0, pi] }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8eb023ba7ce2e38acb3823078a036e77847324)
положительного радиуса р лежащий в верхняя полуплоскость с центром в начале координат. Если функция ж имеет форму
![f (z) = e ^ {i a z} g (z), quad z in C_R,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e342b9ce9b1d3b597724acac3efc20bd8653e8)
с положительным параметром а, то лемма Жордана устанавливает следующую верхнюю оценку контурного интеграла:
![left | int_ {C_R} f (z) , dz right | le frac { pi} {a} M_R quad text {где} quad M_R: = max _ { theta in [0, pi]} left | g left (R e ^ {i theta} right) right | .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0efa7b759225abf9cdf75f0de2431f2f16683a76)
с равенством, когда грамм обращается в нуль всюду, и в этом случае обе стороны тождественно равны нулю. Аналогичное утверждение для полукруглого контура в нижней полуплоскости справедливо при а < 0.
- Если ж непрерывна по полукруглому контуру Cр для всех больших р и
![lim_ {R to infty} M_R = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bed8c96fb310298103d6fd7be79adcf9535e9e) | | (*) |
- то по лемме Джордана
![lim_ {R to infty} int_ {C_R} f (z) , dz = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349583da05fa261b076437ad229c4c75fd97ffc7)
- По делу а = 0см. лемма об оценке.
- По сравнению с леммой об оценке верхняя оценка в лемме Жордана не зависит явно от длины контура Cр.
Применение леммы Джордана
Тропинка C это конкатенация путей C1 и C2.
Лемма Жордана дает простой способ вычисления интеграла по действительной оси функций ж(z) = ея а я грамм(z) голоморфный на верхней полуплоскости и непрерывный на замкнутой верхней полуплоскости, за исключением, возможно, конечного числа нереальных точек z1, z2, …, zп. Рассмотрим замкнутый контур C, который представляет собой конкатенацию путей C1 и C2 показано на картинке. По определению,
![oint_C f (z) , dz = int_ {C_1} f (z) , dz + int_ {C_2} f (z) , dz ,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212626e6d660711e99b47be46973d8cab1c8a9ac)
Поскольку на C2 переменная z действительный, второй интеграл действительный:
![int_ {C_2} f (z) , dz = int _ {- R} ^ {R} f (x) , dx ,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa686bc5850b38f3e96d2180eae7e20390977cab)
Левая часть может быть вычислена с использованием теорема о вычетах получить, для всех р больше, чем максимум |z1|, |z2|, …, |zп|,
![oint_ {C} f (z) , dz = 2 pi i sum_ {k = 1} ^ n operatorname {Res} (f, z_k) ,,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de400cc7124fc08da2280bbe061517a91dc8f622)
куда Res (ж, zk) обозначает остаток из ж в особенности zk. Следовательно, если ж удовлетворяет условию (*), затем переходя к пределу р стремится к бесконечности, контурный интеграл по C1 обращается в нуль по лемме Жордана, и мы получаем значение несобственного интеграла
![int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , dx = 2 pi i sum_ {k = 1} ^ n operatorname {Res} (f, z_k) ,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025ca8df3f002c6a1af3bf6d111bfc1fc8db80e0)
Пример
Функция
![f (z) = frac {e ^ {iz}} {1 + z ^ 2}, qquad z in { mathbb C} setminus {i, -i },](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eaa86891ab2e1694fbdcfac81362b8e745e5225)
удовлетворяет условию леммы Жордана с а = 1 для всех р > 0 с р ≠ 1. Обратите внимание, что для р > 1,
![M_R = max _ { theta in [0, pi]} frac1 {| 1 + R ^ 2e ^ {2i theta} |} = frac1 {R ^ 2-1} ,,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903dee19462fa937a84af5d7f5d2becd1861df0a)
следовательно (*) имеет место. Поскольку единственная особенность ж в верхней полуплоскости находится на z = я, указанное выше приложение дает
![int _ {- infty} ^ infty frac {e ^ {ix}} {1 + x ^ 2} , dx = 2 pi i , operatorname {Res} (f, i) ,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d332971e522f853ac846a5408d94d98e77b45899)
С z = я это простой полюс из ж и 1 + z2 = (z + я)(z − я), мы получаем
![operatorname {Res} (f, i) = lim_ {z to i} (z-i) f (z)
= lim_ {z to i} frac {e ^ {iz}} {z + i} = frac {e ^ {- 1}} {2i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24e5b9d4898e0159b8a13fd12e23acb78e21843)
так что
![int _ {- infty} ^ infty frac { cos x} {1 + x ^ 2} , dx = operatorname {Re} int _ {- infty} ^ infty frac {e ^ {ix }} {1 + x ^ 2} , dx = frac { pi} {e} ,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848df69847cbc94ef9678775eddacd021ad052a2)
Этот результат демонстрирует, как некоторые интегралы, которые трудно вычислить классическими методами, легко вычисляются с помощью комплексного анализа.
Доказательство леммы Жордана.
По определению комплексный линейный интеграл,
![int_ {C_R} f (z) , dz
= int_0 ^ pi g (Re ^ {i theta}) , e ^ {iaR ( cos theta + i sin theta)} , i Re ^ {i theta} , d theta
= R int_0 ^ pi g (Re ^ {i theta}) , e ^ {aR (i cos theta- sin theta)} , т.е. ^ {i theta} , d theta ,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817be4395eaf45b79e07d8cad605d5787de65cfa)
Теперь неравенство
![biggl | int_a ^ b f (x) , dx biggr | le int_a ^ b left | f (x) right | , dx](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a738f8388e2a460bad01e8f1926f07efcb2720)
дает
![I_R: = biggl | int_ {C_R} f (z) , dz biggr |
le R int_0 ^ pi bigl | g (Re ^ {i theta}) , e ^ {aR (i cos theta- sin theta)} , т.е. ^ {i theta} bigr | , d theta
= R int_0 ^ pi bigl | g (Re ^ {i theta}) bigr | , e ^ {- aR sin theta} , d theta ,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a459dc437207bcc43c7b29b05fd1192fa1f21bf)
С помощью Mр как определено в (*) и симметрия грех θ = грех (π – θ), мы получаем
![I_R le RM_R int_0 ^ pi e ^ {- aR sin theta} , d theta = 2RM_R int_0 ^ { pi / 2} e ^ {- aR sin theta} , d theta ,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476b8bc8dc38ca59f2ad1b196d6cd4f759a6dfa5)
Поскольку график грех θ является вогнутый на интервале θ ∈ [0, π ⁄ 2], график грех θ лежит выше прямой, соединяющей ее концы, следовательно,
![sin theta ge frac {2 theta} { pi} quad](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f01b2026e0236bc238f246f82adf686dc46f448)
для всех θ ∈ [0, π ⁄ 2], что в дальнейшем подразумевает
![I_R
le 2RM_R int_0 ^ { pi / 2} e ^ {- 2aR theta / pi} , d theta
= frac { pi} {a} (1-e ^ {- a R}) M_R le frac pi {a} M_R ,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1892c66fedde31fa40ce9dc0a87932b047a8ae2b)
Смотрите также
Рекомендации
- Браун, Джеймс У .; Черчилль, Руэль В. (2004). Комплексные переменные и приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу Хилл. С. 262–265. ISBN 0-07-287252-7.