Лемма Джорданса - Википедия - Jordans lemma

В комплексный анализ, Лемма Джордана результат, часто используемый в сочетании с теорема о вычетах оценить контурные интегралы и несобственные интегралы. Он назван в честь французского математика. Камилла Джордан.

Заявление

Рассмотрим сложный -значен, непрерывная функция ж, определенная по полукруглому контуру

положительного радиуса р лежащий в верхняя полуплоскость с центром в начале координат. Если функция ж имеет форму

с положительным параметром а, то лемма Жордана устанавливает следующую верхнюю оценку контурного интеграла:

с равенством, когда грамм обращается в нуль всюду, и в этом случае обе стороны тождественно равны нулю. Аналогичное утверждение для полукруглого контура в нижней полуплоскости справедливо при а < 0.

Замечания

  • Если ж непрерывна по полукруглому контуру Cр для всех больших р и

 

 

 

 

(*)

то по лемме Джордана
  • По делу а = 0см. лемма об оценке.
  • По сравнению с леммой об оценке верхняя оценка в лемме Жордана не зависит явно от длины контура Cр.

Применение леммы Джордана

Тропинка C это конкатенация путей C1 и C2.

Лемма Жордана дает простой способ вычисления интеграла по действительной оси функций ж(z) = ея а я грамм(z) голоморфный на верхней полуплоскости и непрерывный на замкнутой верхней полуплоскости, за исключением, возможно, конечного числа нереальных точек z1, z2, …, zп. Рассмотрим замкнутый контур C, который представляет собой конкатенацию путей C1 и C2 показано на картинке. По определению,

Поскольку на C2 переменная z действительный, второй интеграл действительный:

Левая часть может быть вычислена с использованием теорема о вычетах получить, для всех р больше, чем максимум |z1|, |z2|, …, |zп|,

куда Res (ж, zk) обозначает остаток из ж в особенности zk. Следовательно, если ж удовлетворяет условию (*), затем переходя к пределу р стремится к бесконечности, контурный интеграл по C1 обращается в нуль по лемме Жордана, и мы получаем значение несобственного интеграла

Пример

Функция

удовлетворяет условию леммы Жордана с а = 1 для всех р > 0 с р ≠ 1. Обратите внимание, что для р > 1,

следовательно (*) имеет место. Поскольку единственная особенность ж в верхней полуплоскости находится на z = я, указанное выше приложение дает

С z = я это простой полюс из ж и 1 + z2 = (z + я)(zя), мы получаем

так что

Этот результат демонстрирует, как некоторые интегралы, которые трудно вычислить классическими методами, легко вычисляются с помощью комплексного анализа.

Доказательство леммы Жордана.

По определению комплексный линейный интеграл,

Теперь неравенство

дает

С помощью Mр как определено в (*) и симметрия грех θ = грех (πθ), мы получаем

Поскольку график грех θ является вогнутый на интервале θ ∈ [0, π ⁄ 2], график грех θ лежит выше прямой, соединяющей ее концы, следовательно,

для всех θ ∈ [0, π ⁄ 2], что в дальнейшем подразумевает

Смотрите также

Рекомендации

  • Браун, Джеймс У .; Черчилль, Руэль В. (2004). Комплексные переменные и приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу Хилл. С. 262–265. ISBN  0-07-287252-7.