Лемма Джорданса - Википедия - Jordans lemma

В комплексный анализ, Лемма Джордана результат, часто используемый в сочетании с теорема о вычетах оценить контурные интегралы и несобственные интегралы. Он назван в честь французского математика. Камилла Джордан.

Заявление

Рассмотрим сложный -значен, непрерывная функция ж, определенная по полукруглому контуру

${ Displaystyle C_ {R} = {Re ^ {я theta} mid theta in [0, pi] }}$

положительного радиуса р лежащий в верхняя полуплоскость с центром в начале координат. Если функция ж имеет форму

${ Displaystyle е (г) = е ^ {iaz} г (г), четырехъядерный г в C_ {R},}$

с положительным параметром а, то лемма Жордана устанавливает следующую верхнюю оценку контурного интеграла:

${ displaystyle left | int _ {C_ {R}} f (z) , dz right | leq { frac { pi} {a}} M_ {R} quad { text {where} } quad M_ {R}: = max _ { theta in [0, pi]} left | g left (Re ^ {i theta} right) right |.}$

с равенством, когда грамм обращается в нуль всюду, и в этом случае обе стороны тождественно равны нулю. Аналогичное утверждение для полукруглого контура в нижней полуплоскости справедливо при а < 0.

Замечания

• Если ж непрерывна по полукруглому контуру C_р для всех больших р и

${ displaystyle lim _ {R to infty} M_ {R} = 0}$

(*)

то по лемме Джордана

${ displaystyle lim _ {R to infty} int _ {C_ {R}} f (z) , dz = 0.}$

• По делу а = 0см. лемма об оценке.
• По сравнению с леммой об оценке верхняя оценка в лемме Жордана не зависит явно от длины контура C_р.

Применение леммы Джордана

Тропинка C это конкатенация путей C₁ и C₂.

Лемма Жордана дает простой способ вычисления интеграла по действительной оси функций ж(z) = е^{я а я} грамм(z) голоморфный на верхней полуплоскости и непрерывный на замкнутой верхней полуплоскости, за исключением, возможно, конечного числа нереальных точек z₁, z₂, …, z_п. Рассмотрим замкнутый контур C, который представляет собой конкатенацию путей C₁ и C₂ показано на картинке. По определению,

${ Displaystyle oint _ {C} е (z) , dz = int _ {C_ {1}} f (z) , dz + int _ {C_ {2}} f (z) , dz ,.}$

Поскольку на C₂ переменная z действительный, второй интеграл действительный:

${ Displaystyle int _ {C_ {2}} f (z) , dz = int _ {- R} ^ {R} f (x) , dx ,.}$

Левая часть может быть вычислена с использованием теорема о вычетах получить, для всех р больше, чем максимум |z₁|, |z₂|, …, |z_п|,

${ Displaystyle oint _ {C} е (г) , dz = 2 пи я сумма _ {к = 1} ^ {n} OperatorName {Res} (f, z_ {k}) ,,}$

куда Res (ж, z_k) обозначает остаток из ж в особенности z_k. Следовательно, если ж удовлетворяет условию (*), затем переходя к пределу р стремится к бесконечности, контурный интеграл по C₁ обращается в нуль по лемме Жордана, и мы получаем значение несобственного интеграла

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , dx = 2 pi i sum _ {k = 1} ^ {n} operatorname {Res} (f, z_ { k}) ,.}$

Пример

Функция

${ displaystyle f (z) = { frac {e ^ {iz}} {1 + z ^ {2}}}, qquad z in { mathbb {C}} setminus {i, -i },}$

удовлетворяет условию леммы Жордана с а = 1 для всех р > 0 с р ≠ 1. Обратите внимание, что для р > 1,

${ Displaystyle M_ {R} = max _ { theta in [0, pi]} { frac {1} {| 1 + R ^ {2} e ^ {2i theta} |}} = { frac {1} {R ^ {2} -1}} ,,}$

следовательно (*) имеет место. Поскольку единственная особенность ж в верхней полуплоскости находится на z = я, указанное выше приложение дает

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {ix}} {1 + x ^ {2}}} , dx = 2 pi i , operatorname {Res } (е, я) ,.}$

С z = я это простой полюс из ж и 1 + z² = (z + я)(z − я), мы получаем

${ displaystyle operatorname {Res} (f, i) = lim _ {z to i} (zi) f (z) = lim _ {z to i} { frac {e ^ {iz}} {z + i}} = { frac {e ^ {- 1}} {2i}}}$

так что

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac { cos x} {1 + x ^ {2}}} , dx = operatorname {Re} int _ {- infty } ^ { infty} { frac {e ^ {ix}} {1 + x ^ {2}}} , dx = { frac { pi} {e}} ,.}$

Этот результат демонстрирует, как некоторые интегралы, которые трудно вычислить классическими методами, легко вычисляются с помощью комплексного анализа.

Доказательство леммы Жордана.

По определению комплексный линейный интеграл,

${ displaystyle int _ {C_ {R}} f (z) , dz = int _ {0} ^ { pi} g (Re ^ {i theta}) , e ^ {iaR ( cos theta + i sin theta)} , iRe ^ {i theta} , d theta = R int _ {0} ^ { pi} g (Re ^ {i theta}) , e ^ {aR (i cos theta - sin theta)} , т.е. ^ {i theta} , d theta ,.}$

Теперь неравенство

${ displaystyle { biggl |} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx { biggr |} leq int _ {a} ^ {b} left | f (x) право | , dx}$

дает

${ Displaystyle I_ {R}: = { biggl |} int _ {C_ {R}} f (z) , dz { biggr |} leq R int _ {0} ^ { pi} { bigl |} g (Re ^ {i theta}) , e ^ {aR (i cos theta - sin theta)} , т.е. ^ {i theta} { bigr |} , d theta = R int _ {0} ^ { pi} { bigl |} g (Re ^ {i theta}) { bigr |} , e ^ {- aR sin theta} , d тета ,.}$

С помощью M_р как определено в (*) и симметрия грех θ = грех (π – θ), мы получаем

${ Displaystyle I_ {R} leq RM_ {R} int _ {0} ^ { pi} e ^ {- aR sin theta} , d theta = 2RM_ {R} int _ {0} ^ { pi / 2} e ^ {- aR sin theta} , d theta ,.}$

Поскольку график грех θ является вогнутый на интервале θ ∈ [0, π ⁄ 2], график грех θ лежит выше прямой, соединяющей ее концы, следовательно,

${ displaystyle sin theta geq { frac {2 theta} { pi}} quad}$

для всех θ ∈ [0, π ⁄ 2], что в дальнейшем подразумевает

${ Displaystyle I_ {R} leq 2RM_ {R} int _ {0} ^ { pi / 2} e ^ {- 2aR theta / pi} , d theta = { frac { pi} {a}} (1-e ^ {- aR}) M_ {R} leq { frac { pi} {a}} M_ {R} ,.}$

Смотрите также

• Лемма об оценке

Рекомендации

• Браун, Джеймс У .; Черчилль, Руэль В. (2004). Комплексные переменные и приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу Хилл. С. 262–265. ISBN  0-07-287252-7.